【推荐】专题04+直击轨迹方程问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修2-1）x

【推荐】专题04+直击轨迹方程问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修2-1）x

一、选择题 ‎1．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为， ， ， ，点， 分别在线段， 上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 本题选择A选项.‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.‎ ‎(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程 ‎2．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点， ，动点满足，则点的轨迹为（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．‎ ‎3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A. (x－1)2＋y2＝4 B. (x－1)2＋y2＝2 C. y2＝2x D. y2＝－2x ‎【答案】B ‎【解析】设圆(x－1)2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，选B.‎ 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎4．【四川省达州市高级中学高2015级零诊】若方程C： （是常数）则下列结论正确的是（ ）‎ A. ，方程C表示椭圆 B. ，方程C表示双曲线 C. ，方程C表示椭圆 D. ，方程C表示抛物线 ‎【答案】B ‎∵不论 取何值，方程C： 中没有一次项 方程不能表示抛物线，故D项不正确 综上所述，可得B为正确答案 ‎ 故选B ‎5．【江西师大附中2017-2018学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ 二、解答题 ‎6．【2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三（上）10月月考】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点G（0， ）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） （2）在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）直线l的方程可设为 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m ‎），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得 ，即 ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．‎ ‎（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．‎ 则+= ， = ，‎ 假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，‎ 则，即．‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴= + = + ‎ ‎ ‎ ‎∴ ，解得m=﹣1．‎ 因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．‎ 点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等.‎ ‎7．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方， ，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.‎ 化简，得点的轨迹方程为 方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，‎ 因为点的坐标为在点的轨迹上，所以 所以解得.‎ 方法二：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 得，代入（1）得 ‎.‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 代入（1）得， ，‎ ‎， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 方法五设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以解得.‎ 点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎8．【北京昌平一中2016-2017学年高二上学期期中】已知点的坐标为，圆的方程为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且．‎ ‎（1）求点的轨迹方程．‎ ‎（2）过点作圆的两条切线， ，分别与圆相切于点， ，求直线的方程，并判断直线与点所在曲线的位置关系．‎ ‎【答案】（1）（2），相交 试题解析：‎ ‎（1）设，点的坐标为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且，则点为， 的中点，所以得代入圆的方程．‎ ‎（2）过点作圆的两条切线， ，分别与圆相切于点， ，则 ，则，设圆以为圆心，以为半径，‎ ‎，∴，‎ ‎∴．则EF为圆与圆的公共弦，‎ 联立， ，作差得直线EF方程 ‎∴， ，∴相交．‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的方程的应用，第一问求轨迹的方程是相关点法，设所求点的坐标为，找出所求点与已知点的等量关系，借助已知点所满足的方程求出所求，此外还有定义法，直接法，参数法.‎ ‎9．【云南省德宏州芒市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知圆C： 为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为M.若点P运动到（1,3）处，求此时切线；‎ 求满足条件的点P的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1) 或；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；‎ ‎（2）设出P点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.‎ ‎（2）设,则，‎ ‎，由得： ，‎ 化简得： ‎ ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于的关系，化简即可求出轨迹方程.‎ ‎10．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】两点，，曲线上的动点满足．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程．‎ ‎（Ⅱ）曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2) 存在和 ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义判断并确定基本量，写出其标准方程（2）设点坐标，利用向量数量积得点坐标关系式，再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标 ‎（Ⅱ）假设存在点，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴存在和，‎ 满足条件．‎ ‎11．【云南省昆明一中2018届高三一模】已知动点满足： .‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.‎ 试题解析：（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，‎ 且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，‎ 所以，动点的轨迹的方程： . ‎ ‎（2）设， ，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为： ‎ 由　得，‎ 所以， ， ‎ 直线的方程为： ，所以，‎ 令，则，‎ 所以直线与轴交于定点.　　　　　　　　　‎ ‎12．【湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期第三次双周考】已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为，D是AB的中点．‎ ‎（1）求动点D的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，当|PQ|＝3时，求直线l的方程。‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝3.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设A(a，a)，B(b，－b),根据AB的长为2得(a－b)2＋(a＋b)2＝12，再根据D是AB的中点得a－b=2y,a+b=2x,代入化简可得点D的轨迹C的方程（2）设直线点斜式方程，根据垂径定理列式解斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意。‎ ‎ ‎ ‎(2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，‎ 此时|PQ|＝2，不符合题意；‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，‎ 由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).‎ ‎13．【2018届云南省名校月考（一）】已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在上，连结并延长至点，使得，设点的轨迹为.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)设为坐标原点，点，连结交于点，若直线的斜率与直线的斜率存在且不为零，证明: 这两条直线的斜率之比为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ 试题解析：（1）设椭圆的长轴为，短轴长为，焦距为，则，所以.因为，所以，又点在上，故，所以.设，则，化简得.所以.‎ ‎14．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点在圆上， 的坐标分别为， ，线段的垂直平分线交线段于点 ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）矩形的面积的最大值为，此时，‎ 四个点的坐标为： ， ， ， ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由线段垂直平分线性质得，再根据椭圆定义确定轨迹，最后根据基本量求方程（2）由题意得四边形为矩形，各点关于对称轴对称，因此可设点坐标，表示四边形的面积，再根据基本不等式求最值，最后求对应点坐标 试题解析：解：（Ⅰ）由已知得： ，而，‎ 所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长的椭圆，‎ 设，所以点的轨迹的方程： ． ‎ ‎ ‎ ‎15．【河北省定州中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】如图，设 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数，‎ ‎ （1）求点 的轨迹曲线的方程：‎ ‎ （2）过定点的直线 交曲线于 两点，以 三点（ 为坐标原点）为顶点作平行四边形 ,若点刚好在曲线上，求直线 的方程．‎ ‎【答案】（1） ;(2) ;‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)设点M的坐标为M（x，y），结合点到直线距离公式可得，整理可得曲线C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)‎ 很明显直线斜率不存在时不满足题意，当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到关于斜率的方程，解方程可得，则直线 的方程是.‎ ‎（Ⅱ）当直线l 2的斜率不存在时，显然不适合题意；‎ 当直线l 2的斜率存在时，设直线l 2的方程：‎ 联立方程：，得，‎ 设，，则，，‎ 即P,又点P刚好在曲线C上，∴‎ 解得：.‎ 所以直线l 2的方程为：‎ ‎16．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二12月月考】已知动点到定点的距离与到直线的距离之比为.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程； ‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于两点，且为线段中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）按照题目意思点到点的距离与点到线的距离成比例列出轨迹方程 ‎(2)因为知道中点，可以采用点差法求得直线方程。‎ 试题解析： 到定点的距离与到直线的距离之比为 ‎ …(3分)点的轨迹的方程为.‎ 注：此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.‎ 又 ，‎ ‎ ，直线的方程为 解法二：设，，中点不在轴上，.‎ 设联立 ‎ 直线的方程为 点睛：当题目的条件里给出了“某条直线与曲线相交两点，一点为中点”并给出点坐标时，往往可以运用点差法求出直线斜率，然后再求出直线方程。将问题转化为其几何意义，先求斜率再求直线方程。‎ ‎17．【江西科技学院附属中学2017-2018学年上学期高二第一次月考】已知， ，动点满足.设动点的轨迹为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是图形：轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过A，再利用PA⊥QA，求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．‎ ‎18．【湖北省黄冈中学2017届高三下学期高考三模】如图，在平面直角坐标系中，已知圆： ，点，点（），以为圆心， 为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.‎ ‎（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线 过点 ，且与曲线交于两点，记面积为， 面积为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点， 的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程． （II）设直线l：x=my-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），推导出，由得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出的取值范围.‎ ‎（2）由题可知，设直线 ： ，不妨设 ， ‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴ .‎ ‎19．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期期末】已知点是平面直角坐标系中的动点，，，在中，.‎ ‎(Ⅰ) 求点的轨迹的方程及求的周长的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 直线与轨迹的另一交点为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 点的轨迹方程为. 的周长的取值范围 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ） 利用直接法求点 的轨迹的方程；利用特殊位置，即可求 的周长的取值范围； （Ⅱ） 直线 与轨迹的另一交点为 ， ‎ ‎，利用韦达定理，即可求的取值范围．‎ 试题解析：(Ⅰ)由已知有，‎ ‎∴点的轨迹方程为. ‎ ‎∵在中，，则 的周长 ‎∴的周长的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系的运用，对学生的思维能力和计算能力要求较高 ‎20．【广东省汕头市金山中学2018届高三上学期期中】在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线 的弦. ，设. 的中点分别为．‎ 问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，‎ 如果不是，说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直线恒过定点 ．‎ ‎【解析】试题分析: （1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程． （2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点．‎ 其方程为： ．‎ ‎(Ⅱ) 设， ，‎ 由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为 ‎ 则 ‎（1）—（2）得，即， ‎ 代入方程，解得．所以点Ｍ的坐标为．‎ 同理可得： 的坐标为． ‎ 直线的斜率为，方程为 ‎，整理得， ‎ 显然，不论为何值， 均满足方程，所以直线恒过定点 ．‎