数学理卷·2017届河北省武邑中学高三下学期第三次模拟（2017

数学理卷·2017届河北省武邑中学高三下学期第三次模拟（2017

河北武邑中学2016-2017学年高三年级第三次模拟考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，则下列关系中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知函数 ，则“”是“函数在上为增函数”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和，则输出的值是 （ ）‎ A． 0 B． 1 C． -1 D． 3‎ ‎4.已知正项等比数列中，为其前项和，且则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.函数在区间上的简图是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6. 定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 （ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 设分别为的三边的中点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设为不等式组，表示的平面区域，点为第一象限内一点，若对于区域内的任一点都有成立，则的最大值等于 （ ）‎ A． 0 B． 1 C. 2 D．3‎ ‎9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ）‎ A． 1 B． C. 2 D．3‎ ‎10.下列有关结论正确的个数为（ ）‎ ‎①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“‎ ‎4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；‎ ‎②设函数存在导数且满足，则曲线在点处的切线斜率为-1；‎ ‎③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为；‎ A．0 B． 1 C. 2 D．3‎ ‎11.如图，平面平面，直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线上分别是线段的中点，下列判断正确的是（ ）‎ A．当时，两点不可能重合 ‎ B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交 ‎ C. 当与相交，直线平行于时，直线可以与相交 ‎ D．当是异面直线时，直线可能与平行 ‎12. 设函数，若方程恰有两个不相等的实根，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13. 设，则 ．‎ ‎14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为 ．‎ ‎15.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积.设隙积共层，上底由长为个物体，宽为个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层成为长为个物体，宽为个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为.已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为 ．‎ ‎16.数列中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.如图，在中，，角的平分线交于点，设.（1）求；（2）若，求的长.‎ ‎18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家队的平均分比队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据，求出队第六位选手的成绩；‎ ‎（2）主持人从队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率；‎ ‎（3）主持人从两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19. 如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形，.‎ ‎（1）求证：直线直线；‎ ‎（2）若直线与底面成的角为60°，求二面角的余弦值．‎ ‎20. 已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点，且当线段的中点在轴上时，．‎ ‎（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．‎ ‎21. 已知函数，其中常数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，若，在内恒成立，则称为函数的“类对称点”．当 时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的极坐标方程与的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为为上的一点，且的面积等于1，求点的直角坐标．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；（2）若对于，有，，求证：‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CACBA 6-10: DACCD 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. 3 15. 85 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由正弦定理，得，即，∴，‎ 又，∴，由上两式解得，‎ 又由得，∴．‎ ‎18.解：（1）设队第六位选手的成绩为，‎ 由题意得：，‎ 解得，‎ ‎∴队第六位选手的成绩为．‎ ‎（2）由（1）知队6位选手中成绩不少于21分的有2位，即队6位选手中有2人获得“晋级”，主持人从队所有选手成绩中随机抽2个，基本事件总数，‎ 至少有一个为“晋级”的概率．‎ ‎（3）由题意队6位选手中有2人获得“晋级”，队6位选手中有4人获得“晋级”，主持人从两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，则的可能取值为0，1，2，3，4，………‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎．‎ ‎19.解：‎ ‎（1）证明：连接，因为，侧面为菱形，‎ 所以，‎ 又与相互垂直，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，所以直线直线．‎ ‎（2）由（1）知，平面平面，由作的垂线，垂足为，则平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴为的中点，‎ 过作的平行线，交于点，则平面，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，设，‎ 则为平面的一个法向量，‎ 则，，‎ 设平面的法向量，‎ ‎，，‎ 取，‎ ‎，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎20.解：（1）当线段的中点在轴上时，垂直于轴，为直角三角形，‎ 因为，所以，‎ 易知，‎ 由椭圆的定义可得，‎ 则，即；即，即有；‎ ‎（2）由（1）得椭圆方程为，焦点坐标为，‎ ‎①当的斜率都存在时，设，‎ 则直线的方程为，代入椭圆方程得：‎ ‎，‎ 可得，又，‎ 同理，可得；‎ ‎（2）若轴，则，，这时；‎ 若轴，则，这时也有；‎ 综上所述，是定值6．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 令，即，∵，∴或，‎ 所以函数的单调递增区间是；‎ ‎（2）当时， ，‎ 所以在点处的切线方程，‎ 若函数存在“类对称点”，‎ 则等价于当时，，当时，恒成立，‎ ‎①当时，恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 即当时，，则，‎ 要使在恒成立，只要在单调递增即可．‎ 又∵，…‎ ‎∴，即；‎ ‎②当时，恒成立时，，…，∴，‎ 所以存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，即，‎ 因为，所以的极坐标方程为，‎ 的直角坐标方程为；‎ ‎（2）将代入，‎ 得得，‎ 所以，‎ 因为的面积等于1，所以点到直线即距离为，‎ 设，则或-4，‎ 点坐标为或．‎ ‎23.（1）解：不等式化为，‎ ‎①当时，不等式为，解得，故；‎ ‎②当时，不等式为，解得，故；‎ ‎③当时，不等式为，解得，故，‎ 综上，原不等式的解集为；‎ ‎（2）．‎