2013新课标全国卷Ⅱ（文）数学试题
2013·新课标全国卷Ⅱ(文科数学)
1． 已知集合M＝{x|－3
b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．D [解析] 设PF2＝x, 则PF1＝2x，由椭圆定义得3x＝2a，结合图形知，＝⇒＝，故选D.
6． 已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
6．A [解析] cos2＝＝＝，故选A.
图1－2
7． 执行右面的程序框图1－2，如果输入的N＝4，那么输出的S＝( )
A．1＋＋＋
B．1＋＋＋
C．1＋＋＋＋
D．1＋＋＋＋
7．B [解析] k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝，S＝1＋；k＝3，T＝，S＝1＋＋；k＝4，T＝，S＝1＋＋＋，k＝5>4成立，输出S，答案为B.
8．， 设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
8．D [解析] a－b＝log32－log52＝－＝>0⇒a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案为D.
9． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
图1－3
9．A [解析] 在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.
图1－4
10． 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
10．C [解析] 抛物线的焦点为F(1，0)，若A在第一象限，如图1－5，设AF＝3m，BF＝m.过B作AD的垂线交AD于G，则AG＝2m，由于AB＝4m，故BG＝2m，tan∠GAB＝.∴直线AB的斜率为.同理，若A在第四象限，直线AB的斜率为－，故答案为C.
图1－5
11．，，， 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．∃x0∈，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．C [解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，∃x0∈，f(x0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1x－成立，即a>.由于x－是(0，＋∞)上的增函数，故x－>0－＝－1，所以a>－1.答案为D.
13． 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
13．0.2 [解析] 任取两个数有10种取法，和为5的取法有2种，故概率为＝0.2.
14．， 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则·＝________．
14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则
＝(1，2)，＝(－2，2)，所以·＝2.
图1－6
15． 已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
15．24π [解析] 设O到底面的距离为h，则×3×h＝⇒h＝，OA＝＝，故球的表面积为4π×()2＝24π.
16． 函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
16. [解析] 由已知，y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移得到y＝cos(2x－π＋φ)＝－cos(2x＋φ)．y＝sin＝－cos＝－cos，两个函数图像重合，故φ＝π.
17．， 已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
17．解：(1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而
Sn＝(a1＋a3n－2)
＝(－6n＋56)
＝－3n2＋28n.
18．，， 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
图1－7
18．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
图1－8
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以VC－A1DE＝××××＝1.
图1－9
19．， 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
19．解：(1)当X∈[100，130)时，
T＝500X－300(130－X)
＝800X－39 000.
当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当
120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
20．， 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线段长为2 .
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
20．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得
＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
21．， 已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(0，2)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为
y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x轴上的截距为
m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 ，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．
综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．
22． 选修4－1：几何证明选讲
如图1－10，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
图1－10
22．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
图1－11
(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB＝BE，有CE＝DC.
又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，
故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
23． 选修4－4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α ，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24． 选修4－5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1.
证明：(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
24．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
