数学理卷·2018届河北省定州市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届河北省定州市高二上学期期末考试（2017-01）

河北省定州市2016-2017学年高二上学期期末考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.“”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要必要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎2. 曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.双曲线的一个焦点到渐近线的距离为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.在空间直角坐标系中三点的坐标分别为，若，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 执行图中程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露 出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 在正方体中分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 在平面直角坐标系中，已知定点，直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9. 任取，直线与圆相交于两点，则的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 如图动直线与抛物线交于点，与椭圆交于抛物线右侧的点为抛物线的焦点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 设函数，则函数的各极大值之和为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 某校老年教师人、中年教师人和青年教师人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为 ．‎ ‎14. 若命题“”，使得“”为真命题，则实数的范围为 ．‎ ‎15. 定义在上的连续函数满足，且在上的导函数 ‎，则不等式的解集为 ．‎ ‎16. 如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知椭圆的离心率为，且经过点是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点在椭圆上运动，求的最大值.‎ ‎18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽祥，获得了某年位居民毎人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；‎ ‎（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值(精确到)，并说明理由.‎ ‎19. 如图四棱锥中，四边形为平行四边形，为等边三角形，是以为直角的等腰直角三角形，且.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明: 平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为千元，半球部分每平方米的费用为千元，设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（1）求关于的函数关系，并求其定义域；‎ ‎（2）求建造费用最小时的.‎ ‎21. 已知的圆心为的圆心为,一动圆与圆内切，与圆外切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨方迹方程；‎ ‎（2）设分别为曲线与轴的左右两个交点，过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎22. 已知函数 .‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个零点,证明.‎ 河北省定州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）‎ 试题参考答案 一、选择题 ‎1-5: BDCCB 6-10: ADBCA 11-12：DD 二、填空题 ‎13. 14.或 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1) 由题意，得，解得,所以椭圆的方程是.‎ ‎(2) 由均值定理.又，所以,当且仅当时等号成立，所以的最大值为.‎ ‎18. 解：(1) 由概率统计相关知识，各组频率之和的值为,频率=(频率/组距) 组距, ‎ ‎，解得.‎ ‎(2) 由图，不低于吨的人数所占比例为,全市月圴用水量不低于吨的人数为(万).‎ ‎(3) 由图可知，月圴用水量小于吨的居民人数所占比例为.即的居民用水量小于吨，同理，的居民用水量小于吨，故.‎ 假设月圴用水量平均分布，则(吨).‎ ‎19. 解：(1) 设为的中点，连接与，则.设,则 ‎,所以，故平面平面.‎ ‎(2) 由（1）可知两两互相垂直，设的方向为轴正方向，为单位长，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.则 ‎,所以 ‎.设是平面的法向量，则,即,所以可取,设是平面的法向量，则,同理可取,则,所以二面角的余弦值为.‎ ‎20. 解：(1) 由容积为立方米，得,解得,又圆柱的侧面积为，半球的表面积为，所以建造费用，定义域为.‎ ‎(2) ，又，所以，所以建造费用，在定义域上单调递减，所以当时建造费用最小.‎ ‎21. 解：(1) 设动圆的半径为，则两式相，得，由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，焦距为实轴长为的椭圆，其方程为.‎ ‎(2) 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则,则，当直线的斜率存在时，设直线的方程为,设,朕立,消去得,则有，‎ ‎.由已知，得,解得.故直线的方程为.‎ ‎22. 解：(1), 当时,;当时,,所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎(2) ,不妨设，又由（1）可知，又函数在上单调递减，所以等价于，即.又，而，所以,设，则，当时，，而，故当时，.所以而恒成立，所以当时,,故. ‎