数学文卷·2019届北京101中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届北京101中学高二上学期期末考试（2018-01）

北京101中学2017-2018学年度第一学期期末考试 高二数学（文）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．‎ ‎1．如果命题为真命题，为假命题，那么（ ）．‎ ‎ A．命题，均为真命题 B．命题，均为假命题 C．命题，有且只有一个为真命题 D．命题为真命题，为假命题 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】为真命题，即至少有个为真，‎ 为假命题，即至少有个为假，‎ ‎∴，一真一假．‎ 故选．‎ ‎2．已知函数的图象在点处的切线方程，则的值是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，即，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎3．已知是抛物线的一条焦点弦，，则的中点的横坐标是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，由抛物线定义可知，‎ ‎，，‎ ‎∴横坐标为．‎ 故选．‎ ‎4．函数的最小值是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎∴当时，，单减，‎ 当时，，单增，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎5．“”是“函数在上单调递增”的（ ）．‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎∵，当时，恒成立，‎ ‎∴当时，恒增，当恒增时，‎ 可以为．‎ 故选．‎ ‎6．已知双曲线的一个焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，点为双曲线的对称中心，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线方程为，，‎ 在渐近线上，为等腰直角三角形，‎ 只能或，均有，‎ 即，∴．‎ 故选．‎ ‎7．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）．‎ ‎ A．，，， B．，，，‎ C．，，， D．，，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】，由图可知，‎ 在，上为增函数，‎ 为减函数，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，．‎ 故选．‎ ‎8．如图，抛物线与圆交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，与轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知，周长，‎ 为抛物线上点，准线方程，‎ 延长交准线方程于，∴，‎ ‎∴周长为，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 当在上，最短，当为圆轴交点时最长，‎ ‎∴周长．‎ 故选．‎ 二、填空题共6小题．‎ ‎9．命题，的否定是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】否定为：，．‎ ‎10．若椭圆的离心率为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎11．函数在闭区间上的最大值是__________最小值是__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，‎ ‎∴当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎12．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】若命题为真，则，，‎ ‎∴或．‎ ‎13．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，准线方程为，‎ 双曲线渐近线方程为，‎ ‎∴交点分别为，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎14．设函数 ‎（）若，则的最大值__________．‎ ‎（）若无最大值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】（）；（）．‎ ‎【解析】（）若，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴在上为增，在为减，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）由①可知，在，上为增函数，‎ 在上为减函数，如图所示：‎ ‎①当时，最大值为，‎ ‎②当时，，‎ ‎③当时，没有最大值．‎ 综上，当时，函数没有最大值．‎ 三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎15．设函数满足，．‎ ‎（）求，的值及曲线在点处的切线方程．‎ ‎（）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（）∵，依题意，‎ ‎∴，，，‎ ‎，∴，，‎ ‎∴切点坐标为，∴切线方程．‎ ‎（）∵且，令，‎ ‎∴，，‎ 极大 极小 ‎∴，，‎ 若有个不同零点，则，，‎ ‎∴．‎ ‎16．已知椭圆的离心率为，右焦点为．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）设点为坐标原点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（），得，，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（）依题意，直线斜率不为，设方程为，‎ 设，，‎ 联立：，消，‎ ‎∵相交，∴，，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，直线方程为．‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（）求曲线在点处的切线方程．‎ ‎（）求证：当时，．‎ ‎（）若对任意恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（）．（）见解析．（）．‎ ‎【解析】（）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴切线方程为，．‎ ‎（）证明：设，，‎ ‎，‎ 则，‎ 当时，，减函数，‎ 当时，，增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）设，，‎ 则，‎ ‎①当时，对恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上成立，‎ ‎∴成立．‎ ‎②当时，令，‎ ‎∴且，‎ 当时，，∴单减，‎ 当时，，∴单增，‎ ‎∴，∴不成立，‎ 故，．‎ ‎18．已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．‎ ‎（）求圆和椭圆的方程．‎ ‎（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．‎ ‎【答案】（）；；（）见解析．‎ ‎【解析】（）依题意，得，，‎ ‎∴圆方程，椭圆方程．‎ ‎（）设，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵方程，令时，，‎ 方程为，令得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎