数学理卷·2017届福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校高三上学期第二次（12月）联考（2016

数学理卷·2017届福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校高三上学期第二次（12月）联考（2016

‎“华安、连城、泉港、永安、漳平一中，龙海二中”六校联考 ‎2016-2017学年上学期第二次月考 高三数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1. 设集合 ‎ ‎ ‎2. 已知等差数列前9项和为27，‎ A． 100 B. ‎99 C. 98 D. 97【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3. 已知，，，则（ ） ‎ A． B. C. D.‎ ‎4. 已知，，则的值等于（ ） ‎ ‎ A． B. C. D. ‎ ‎5. 设是公比为的等比数列,则“”是“为递减数列”的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D.充要条件 ‎6.若函数与函数在点(1 , 0)处有共同的切线，则的值是（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎7. 若非零向量与满足：，，，则（ ）‎ A．　　　　B.　　　　 C.　　 　 D. ‎ ‎8. 在中，若的面积为，，则( ) ‎ A．　　　　B. 　　　　 C. 　　 　 D.‎ ‎9. 定义域为的奇函数满足，当时，‎ ‎，则（ ） ‎ A． B. C. D. ‎ ‎10. ‎ ‎（ ） ‎ A． 函数 为上增函数 B. 函数 为上减函数 ‎ C. 函数 在上单调性不确定 D. 命题为假命题 ‎ ‎11. 函数的图象大致是（ ）‎ ‎12. 已知函数满足条件：对于任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得.当成立时，则实数（ ）‎ ‎ A． B. C. D. ‎ 二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置).‎ ‎13. 定积分 .‎ ‎14. 设等比数列满足 .‎ ‎15. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.‎ 从点测得点的仰角，从点测得点的仰角以及，从点测得.‎ 已知山高，则山高 . ‎ ‎16. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，关于函数有以下四个命题：‎ ‎①； ②函数是奇函数 ‎③任意一个非零无理数,对任意恒成立；‎ ‎④存在三个点，使得为等边三角形.‎ 其中真命题的序号为 .（写出所有正确命题的序号）.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎ 17.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得 若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎18．（本小题满分12分） ‎ 已知定义在上的函数，满足：最大值为，其图像相邻两个最低点之间距离为，且函数的图象关于点对称.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式； ‎ ‎（Ⅱ）若向量，，，‎ 设函数，求函数的值域. ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 记为数列的前项和，已知, （）‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 中，内角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，边上的中线的长为，求的面积．‎ ‎21. （本小题满分12分） 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．‎ 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ （Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点的直角坐标为，曲线与直线交于两点，求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎“永安、连城、华安、漳平一中、泉港一中、龙海二中”六校联考 ‎2016-2017学年上学期第二次月考 高三数学（理科）试卷 参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C A C C D B D B D A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．　 14． 15．　　　16．①④‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分 ‎17. 解：（1）设数列公差为d,由 …………2分 解得d=0或d=4 ………………4分 故=2或=4n-2 ………………6分 ‎(2)当=2时， ………7分 ‎.不存在正整数n，使得…………8分 当=4n-2时， ……………9分 由 解得n>30或n<-10(舍去) ‎ 此时存在正整数n使得且n的最小值为31. ……………11分 综上，当=2时，不存在正整数n，使得 当=4n-2时，存在正整数n使得且n的最小值为31. ……………12分 ‎18.解：（1）由题意可得，，∴，………………2分 所以， ‎ 又∵函数的图象关于点对称.‎ ‎ ∴‎ ‎∴，，………………3分 ‎∴，，又∵， ∴， ………………5分 ‎ ∴………………6分 ‎（2）∵‎ ‎∴ ………………7分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∵，，，‎ ‎∴‎ ‎ ………………9分 令，∵，则，………………10分 ‎∴函数可化为 又∵ ∴当时，，‎ 当时，‎ 函数的值域为 ………………12分 ‎19解：(1)由 得 相减得 即 ‎ 因为>0 解得 （）‎ 故数列为等差数列，且公差d=1 ………………4分 ‎ ‎ 故=n+1 ………………6分 ‎ ‎ ‎ ……………10分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ……………12分 ‎20.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由， 可得， ………………1分 整理得， 所以，即 ………………4分 因为，所以，………………5分 又因为，所以．………………6分 （Ⅱ）如图，延长至点，使得，连接，．………………7分 因为为的中点，所以四边形为平行四边形， ………………8分 所以，． 在中，根据余弦定理，得，…………9分 即 即，………………10分 解得，所以．………………11分 所以的面积．……………12分 （Ⅱ）解法二：因为是边上的中线，所以，……………7分 所以， 即．………………8分 ‎ 所以， 即，………………10分 解得，即． ………………11分 所以的面积．………………12分 （Ⅱ）解法三：设，．………………7分 在中，根据余弦定理，可得， 即……………①． ………………7分 在中，根据余弦定理可得， ．………………8分 在中，同理可得， ．………………9分 因为， ‎ 所以，所以， 即……………②． ………………10分 由①②可得，所以，即．………………11分 所以的面积．………………12分 ‎21.解： (Ⅰ) a＝0时， f(x)＝ex－3－x， f′(x)＝ex－1. …………1分 当 x∈(－∞，0)时， f′(x)＜0；当 x∈(0，＋∞)时， f′(x)＞0.‎ 故 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．……………………4分 (Ⅱ) f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1) a＝0时知ex≥1＋x，当且仅当 x＝0时等号成立，……………5分 故 f′(x)≥x－2ax＝(1－‎2a)x， …………………………………………6分 当 时, 1－‎2a≥0, f′(x)≥0(x≥0),在R上是增函数, ‎ 又f(0)＝-2,于是当 x≥0时，f(x)≥-2. 符合题意. ……………………………8分 当时,由ex＞1＋x(x≠0)可得e－x＞1－x( x≠0)． 所以f′(x)＜ex－1＋‎2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－‎2a)， 故当 x∈(0，ln‎2a)时， f′(x)＜0，而 f(0)＝-2，‎ 于是当 x∈(0，ln‎2a)时，f(x)＜-2 ……11分 综合得 a的取值范围为．………………………………………12分 ‎ ‎22. (1) 直线的普通方程为： ………………………………2分 ‎ 圆C的直角坐标方程为： ………………………………5分 ‎(2)把直线的参数方程（t为参数）代入圆C的方程得：‎ 化简得： ………………………………8分 所以，，<0‎ 所以∣PA∣+∣PB∣== = = ………………10分 法二；‎ ‎∣PA∣+∣PB∣== ………………10分 ‎ 23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为： 即： 由得 由得 ………………………………4分 综上原不等式的解为………………………………5分 ‎（Ⅱ）原不等式等价于的解集非空 令，即 所以即，…9分 所以．…………………………………………………………10分