2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二4月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二4月月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二4月月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出含有绝对值的不等式的解集，根据小范围推大范围得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 解得到假设，一定有反之不一定，故是成立的充分不必要条件.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入曲线化简可得到式子.‎ ‎【详解】‎ 将代入曲线方程得到，进而得到结果。‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得到三角形的底边长为，高有最大值和最小值，最小值为最大值为进而得到面积的范围.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得到，三角形面积的大小，取决于三角形的高的大小，点P到AB的距离，最小是圆心到直线的距离减半径，最大是圆心到直线的距离加半径，根据点到直线的距离得到，三角形的高最大值为 ‎ 三角形的高的最小值为面积为：故范围是：.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.‎ ‎4．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，得到根据切线方程得到 ‎【详解】‎ 曲线,,切线方程,故得到 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了基本初等函数的求导公式，以及导数的几何意义，题目比较简单.‎ ‎5．已知函数，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的求导公式得到，再由两角和公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 函数, ‎ 则 ‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了三角函数的二倍角公式的应用,题目比较简单.‎ ‎6．已知直线的参数方程为 ，则直线的倾斜角为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的参数方程得到倾斜角为 通过三角函数的诱导公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 直线的参数方程为(t为参数）进而得到直线的倾斜角为 ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了直线的参数方程的应用，考查了参数方程中系数的几何意义.‎ ‎7．已知直线：(为参数)和抛物线：，与分别交于点，则点到两点距离之和是(　　)‎ A．10 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线和抛物线方程，根据参数t的几何意义得到.‎ ‎【详解】‎ 直线：(为参数)和抛物线：联立得到，‎ 根据参数t的几何意义得到点到两点距离之和是：‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．在的条件下，五个结论：①； ②；③‎ ‎；④；⑤设都是正数，则三个数至少有一个不小于，其中正确的个数是( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质以及变形做差的方法得到①②③④正确，⑤由反证法可得证.‎ ‎【详解】‎ 对于①等价于，恒成立，故正确；②，等价于恒成立，故正确；③，等价于恒成立，故正确；④，等价于 ‎ ‎ 这个不等式应该是非负的，故不正确；⑤设都是正数，设三个数全都小于2，因为，如果每个值都小于2，则这三组的和应小于6，这互相矛盾，故原命题正确.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了命题真假的判断，不等式性质的应用，以及反证法的应用，题目比较综合.‎ ‎9．设曲线C的参数方程为,直线的方程为,则曲线上到直线的距离为4的点的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线C表示以（2，﹣1）为圆心，以3为半径的圆，圆心C（2，﹣1）到直线l的距离 d＜3，从而直线与圆相交．所以与l平行的直线与圆的2个交点满足题意．‎ ‎【详解】‎ 由曲线C的参数方程为,‎ 得（x﹣2）2+（y+1）2＝9．‎ ‎∴曲线C表示以（2，﹣1）为圆心，以3为半径的圆，‎ 则圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d＝‎ 所以直线与圆相交．所以与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，‎ 又3﹣d＜4，故满足题意的点有2个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线C上到直线l距离为4的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式合理运用．‎ ‎10．已知，且，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解.‎ ‎【详解】‎ 根据柯西不等式得到 ‎ ‎ ‎ 进而得到最小值是：‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.‎ ‎11．已知，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质将原式化简为化简得到.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎ ‎ ‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎12．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，（ ）.若直线与圆相交于， 两点， 的面积为2，则值为（ ）‎ A．或3 B．1或5 C．或 D．2或6‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的普通方程为 ，所以圆心为 ，半径为 ，由 ，可得 等腰直角三角形， 到 的距离为 ，直线化为直角坐标方程为 ，即 ，由点到直线的距离公式可得 ，得 或 ，故选C.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数，且，则______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 赋值法，令x=-1,1解方程得到，再代入得到结果.‎ ‎【详解】‎ 函数,‎ ‎ ‎ ‎ ，进而得到 ‎ ‎-1.‎ 故答案为：-1.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数的基本运算，以及赋值法的应用，比较基础.‎ ‎14．在极坐标系 中，曲线与的交点的极坐标为______________________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 转化为直角坐标系下与的交点为（0，），该点在极坐标系下表示为 ‎15．已知最小值为5，则_____________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论a的范围，分情况去掉绝对值，找到不同情况下的最值，进而得到参数值.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 已知 ，‎ 此时最小值是当时，代入得到a=12或-18，故此时a=12;‎ 当时， 、‎ 此时函数在x=处取得最小值，代入得到a=-18.‎ 故答案为：12或-18.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了绝对值不等式的最值的求法，常见的解法是零点分区间去掉不等式.‎ ‎16．若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：x=0时，恒成立；‎ x＞0时，3x2﹣2ax≥x﹣可化为2a≤3x+﹣1，∵3x+≥2=3，∴2a≤3﹣1，∴a≤1；‎ x＜0时，3x2﹣2ax≥﹣x﹣可化为﹣2a≤（﹣3x）﹣﹣1，∵﹣3x﹣≥3，∴﹣2a≤3﹣1，∴a≥﹣1‎ ‎∴﹣1≤a≤1．‎ 考点：函数恒成立问题，等式的解法．‎ 点评：本题考查了函数恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查分类讨论．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设函数 ‎(1)解不等式 ‎(2)若在上有实数解,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）零点分区间写出函数的表达式，分段解决即可；（2）由绝对值三角不等式得到，故原不等式转化为 ，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 零点分区间，函数 ，‎ ‎ ‎ 解得： 解集为.‎ ‎（2）=‎ 根据绝对值三角不等式得到 ‎ 故得到 ‎ 若在上有实数解,即 ‎ 根据二次函数的性质得到解为： .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的有解问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化有解问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.‎ ‎18．平面直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线，在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程为化直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式分别得到直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）联立直线的参数方程和曲线C的一般方程，根据t的几何意义得到 ‎，根据三角函数的值域的求法，结合判别式大于0得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线，根据这一条件可得到：；‎ 曲线的极坐标方程为 ‎ 根据代入上式化简得到，化简得到.‎ ‎(2) ‎ 联立直线的参数方程和曲线C的一般方程得到 ‎ ‎ ‎ ‎,根据上图知当时，取得最大值24，由图知直线倾斜角可以取到这一值；‎ ‎，代入上式得到 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数，且的解集为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若均为正数，且，求①的最大值；②的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据f（x+2）的解析式得出f（x+2）的单调性和奇偶性，根据解集得出f（5）＝0，故而可求出m；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x+2）＝m﹣|x|，有解则m>0,解集为： ‎ ‎ (2)①均为正数，且,由柯西不等式得到： ‎ 最大值为3.‎ ‎②， ‎ 故得到最大值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，属于基础题．‎ ‎20．已知椭圆： （为参数），是上的动点，且满足（为坐标原点），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为 ‎（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；‎ ‎（2）证明：为定值，并求面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据点DA、的直角坐标，求出线段AD的中点,消去参数得M的轨迹E的普通方程；（2）椭圆C的极坐标方程为：⇒‎ ‎,；设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）， ,△AOB面积由均值不等式得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）n 点D的直角坐标为（﹣2，﹣2），由题意设A（3cos，sin），‎ ‎∴线段AD的中点，∴点M的参数方程为：，消去参数：.‎ M的轨迹E的普通方程：;‎ ‎（2）椭圆C的普通方程为：，化为极坐标方程为：⇒,‎ ‎∵OA⊥OB，∴设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）‎ 即+＝＝（定值）‎ ‎△AOB面积，因为 ‎ 故面积的最大值为：.‎ ‎△AOB面积的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、极坐标的应用、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎21．已知三棱柱中,三个侧面均为矩形,底面为等腰直角三角形, ,点为棱的中点,点在棱上运动.‎ ‎（1）求证 ；‎ ‎（2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试确定线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，为中点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A1C⊥AE，可证,只需证明，利用向量的数量积运算即可证明；（2）分别求出平面EA1D、平面A1DB的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的条件下，设F（x，y，0），可知与平面A1DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出||，即得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），‎ C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），‎ ‎＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），‎ 因为＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，‎ 所以⊥，即A1C⊥AE；‎ ‎（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），‎ 设＝（x，y，z）为平面EA1D的一个法向量，‎ 则，即，取＝（2，m，﹣2m），‎ ‎＝（2，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，‎ 则，即，取＝（1，﹣1，2），‎ 由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，得||＝，解得m＝1，‎ 平面A1DB的一个法向量＝（1，﹣1，2），根据点E到面的距离为：.‎ ‎（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）为平面A1DB的一个法向量，‎ 设F（x，y，0），则＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，‎ 所以＝（﹣1，1，﹣2），||＝＝，‎ 故EF的长度为，此时点F（0，1，0）．存在F点为AC中点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查重点考查直线与平面垂直的性质、二面角的平面角及其求法、空间点、线、面间距离计算，考查学生空间想象能力、推理论证能力．‎ ‎22．随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收4元．‎ 该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：‎ 表1：‎ 公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：‎ 表2：‎ ‎(1)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率；‎ ‎(2)①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：‎ ‎②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人?‎ ‎【答案】(1) (2) ①12 ②应裁减1人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据独立重复时间概率计算公式，可得未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率。‎ ‎(2) ①求出收件费用与收件质量的函数关系式，再由平均数定义即可求得平均收件费用。‎ ‎②根据收件数量与收件单价，可分别计算出裁减人员前后的利润，比较即可判断出是否需要裁减人员。‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率为独立重复事件 样本中包裹件数在100～299之间的天数为30，频率为 ‎ 所以 ‎ ‎ (2) ①设收件费用为y，收件质量为x，则 收件费用与收件质量的关系式为y=8+4（x-1）=4x+4‎ 所以每件包裹收取快递费的平均值为 ‎ ‎ ‎②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：‎ ‎ 包裹件数范围 ‎ 0～100‎ ‎101～200‎ ‎ 201～300‎ ‎ 301～400‎ ‎ 401～500‎ ‎ 实际揽件数（取中值）‎ ‎ 50‎ ‎ 150‎ ‎ 250‎ ‎ 350‎ ‎ 450‎ ‎ 频率 ‎ 0.1‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.5‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.1‎ ‎ EY ‎ 50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240‎ 所以公司每日利润的期望值为元 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：‎ ‎ 包裹件数范围 ‎ 0～100‎ ‎101～200‎ ‎ 201～300‎ ‎ 301～400‎ ‎ 401～500‎ ‎ 实际揽件数（取中值）‎ ‎ 50‎ ‎ 150‎ ‎ 250‎ ‎ 350‎ ‎400‎ ‎ 频率 ‎ 0.1‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.5‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.1‎ ‎ EY ‎ 50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235‎ 所以公司每日利润的期望值为元 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了统计与概率的综合应用，数学期望的求法，关键是理解好题意，注意数值的范围，属于中档题。‎