数学理·陕西省西安一中大学区2017届高三上学期期中数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·陕西省西安一中大学区2017届高三上学期期中数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年陕西省西安一中大学区高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1．已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩∁RB=（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0）‎ ‎2．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；‎ ‎②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；‎ ‎③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．复数z满足（3﹣2i）•z=4+3i，则复平面内表示复数z的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知数列{an}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015的值为（　　）‎ A． B．2015 C．2016 D．2013‎ ‎6．已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为（　　）‎ A．6 B．13 C．22 D．33‎ ‎7．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎8．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎9．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．随α，β的值而定 ‎10．设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（　　）‎ A． B． C．1+ln2 D．ln2﹣1‎ ‎11．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（　　）‎ A．26 B．29 C．212 D．215‎ ‎12．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）.‎ ‎13．设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=x+sinx．项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a18）+f（a19）=0，则当k=　　时，f（ak）=0．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为　　．‎ ‎16．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是　　．‎ ‎　‎ 三、简答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17．已知函数f（x）=x﹣，g（x）=x2﹣2ax+4，若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知函数的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值； ‎ ‎（2）讨论f（x）在区间上的单调性．‎ ‎19．在等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}的通项公式为，求数列{an•bn}的前n项的和Tn．‎ ‎20．已知三角形ABC中，．‎ ‎（1）若．求三角形ABC的面积S△；‎ ‎（2）求三角形ABC的面积S△．‎ ‎21．设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．‎ ‎　‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-4；坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎　‎ ‎[选修：不等式选讲]‎ ‎23．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西安一中大学区高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1．已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩∁RB=（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中的不等式解得：﹣1＜x+1＜1，即﹣2＜x＜0，‎ ‎∴A=（﹣2，0），‎ 由B中的不等式变形得：（）x≥2=（）﹣1，‎ 解得：x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]，‎ ‎∵全集为R，∴∁RB=（﹣1，+∞），‎ 则A∩（∁RB）=（﹣1，0）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；‎ ‎②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；‎ ‎③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；‎ ‎（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；‎ ‎（3）用特例法验证（3）是否正确；‎ ‎（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．‎ ‎【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，‎ ‎∴（1）正确；‎ ‎（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，‎ ‎∴（2）正确；‎ ‎（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2xmax=4，‎ ‎∴（3）不正确；‎ ‎（4）∵，当θ=π时， •＜0．‎ ‎∴（4）错误．‎ ‎∴正确的命题是（1）（2）．‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．复数z满足（3﹣2i）•z=4+3i，则复平面内表示复数z的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由（3﹣2i）•z=4+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由（3﹣2i）•z=4+3i，‎ 得，‎ 则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．‎ ‎【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），‎ ‎∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），‎ ‎∵所得的图象关于y轴对称，‎ ‎∴m+=kπ+（k∈Z），‎ 则m的最小值为．‎ 故选B ‎　‎ ‎5．已知数列{an}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015的值为（　　）‎ A． B．2015 C．2016 D．2013‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用向量共线定理可得：a3+a2013=1，再利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，‎ ‎∴a3+a2013=1，‎ ‎∴a1+a2015=a3+a2013=1，‎ ‎∴S2015==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为（　　）‎ A．6 B．13 C．22 D．33‎ ‎【考点】对数函数的值域与最值．‎ ‎【分析】将f（x）=2+log3x（1≤x≤9）代入y=[f（x）]2+f（x2）中，整理化简为关于log3x的函数，利用换元法求最值．‎ ‎【解答】解：y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，‎ ‎∵f（x）=2+log3x（1≤x≤9），‎ ‎∴‎ ‎∴y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，的定义域是{x|1≤x≤3}．‎ 令log3x=t，因为1≤x≤3，所以0≤t≤1，‎ 则上式变为y=t2+6t+6，0≤t≤1，‎ y=t2+6t+6在[0，1]上是增函数 当t=1时，y取最大值13‎ 故选B ‎　‎ ‎7．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ ‎∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，‎ ‎∴a2≤b2+c2﹣bc，‎ ‎∴bc≤b2+c2﹣a2‎ ‎∴cosA=≥‎ ‎∴A≤‎ ‎∵A＞0‎ ‎∴A的取值范围是（0，]‎ 故选C ‎　‎ ‎8．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，‎ ‎∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，‎ 解得：AC=1，‎ 由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，‎ 则BC=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．随α，β的值而定 ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】只要求出圆心到直线的距离，与半径比较，可以判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：由已知得到||=2，||=3，‎ ‎•=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）=6cos60°=3，‎ 所以cos（α﹣β）=，‎ 圆心到直线的距离为： =|cos（α﹣β）+|=1，‎ 圆的半径为，1＞，‎ 所以直线与圆相离；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（　　）‎ A． B． C．1+ln2 D．ln2﹣1‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用．‎ ‎【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），‎ 求导数得y′=2x﹣=（x＞0）‎ 令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜∴函数在（0，）上为单调减函数，‎ 令y′＞0，∵x＞0，∴x＞∴函数在（，+∞）上为单调增函数，‎ ‎∴x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为： ln=‎ 故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值：‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（　　）‎ A．26 B．29 C．212 D．215‎ ‎【考点】导数的运算；等比数列的性质．‎ ‎【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，‎ 得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）‎ 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．‎ ‎．‎ ‎①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．‎ ‎②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，‎ ‎∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．‎ ‎∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，‎ ‎∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．‎ 故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，‎ ‎∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减． ‎ ‎∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）.‎ ‎13．设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=　　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．‎ ‎【解答】解：∵；‎ ‎∴；‎ 即x+2（x+1）=0；‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=x+sinx．项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a18）+f（a19）=0，则当k=　10　时，f（ak）=0．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】由函数f（x）=x+sinx，可得图象关于原点对称，图象过原点，根据项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0，我们易得a1，a2，…，a19前后相应项关于原点对称，则f（a10）=0，易得k值．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=x+sinx是奇函数，‎ 所以图象关于原点对称，图象过原点．‎ 而等差数列{an}有19项，an∈，‎ 若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a19）=0，‎ 则必有f（a10）=0，‎ 所以k=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为　　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理关于三角形面积的公式结合余弦定理化简题中的等式，可得sinC=cosC．再由同角三角函数的基本关系，得到tanC=，结合C∈（0，π）可得C=，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，‎ ‎∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）‎ ‎∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，‎ ‎∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==‎ ‎∵C∈（0，π），∴C=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是　1　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】分段函数f（x）在不同区间有不同对应法则，可先计算f（1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵1＞0，∴f（1）=lg1=0，‎ ‎∴f（0）=0+3t2dt==a3，‎ 又f（f（1））=1，‎ ‎∴a3=1，‎ ‎∴a=1，‎ 故答案是1．‎ ‎　‎ 三、简答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17．已知函数f（x）=x﹣，g（x）=x2﹣2ax+4，若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．‎ ‎【分析】若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），即存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，即x2﹣2ax+5≤0，解得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：由于f′（x）=1+＞0，因此函数f（x）在[0，1]上单调递增，‎ 所以x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=﹣1．‎ 根据题意可知存在x∈[1，2]，‎ 使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，即x2﹣2ax+5≤0，即a≥+能成立，‎ 令h（x）=+，则要使a≥h（x）在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）min，‎ 又函数h（x）=+在x∈[1，2]上单调递减，‎ 所以h（x）min=h（2）=，故只需a≥．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值； ‎ ‎（2）讨论f（x）在区间上的单调性．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）将函数进行化简，再利用周期公式求ω的值．‎ ‎（2）当x在区间上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求单调性．‎ ‎【解答】解：函数．‎ 化简得Lf（x）=4cosωx（cosωx﹣sinωx）=2cos2ωx﹣sin2ωx=1+cos2ωx﹣sin2ωx=2cos（2ωx）+1．‎ ‎（1）因为函数的最小正周期为π，即T=，‎ 解得：ω=1，‎ 则：f（x）=2cos（2x）+1．‎ 故得ω的值为1，‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=2cos（2x）+1．‎ 当x在区间上时，故得：，‎ 当时，即时，函数f（x）=2cos（2x）+1为减函数．‎ 当π时，即时，函数f（x）=2cos（2x）+1为增函数．‎ 所以，函数f（x）=2cos（2x）+1为减区间为，增区间为．‎ ‎　‎ ‎19．在等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}的通项公式为，求数列{an•bn}的前n项的和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）由（1）可知．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）•d．‎ 由a2=6，a3+a6=27，可得解得．‎ 从而，an=3n．‎ ‎（2）由（1）可知an=3n，‎ ‎∴．①‎ ‎②‎ ‎①﹣②，得：‎ 故．‎ ‎　‎ ‎20．已知三角形ABC中，．‎ ‎（1）若．求三角形ABC的面积S△；‎ ‎（2）求三角形ABC的面积S△．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）根据平面向量数量积的运算，得⊥，求出三角形ABC的面积S△=||×||；‎ ‎（2）利用三角形的面积公式，结合平面向量的数量积公式，即可求出三角形的面积S△．‎ ‎【解答】解：（1）时，‎ ‎||==，‎ ‎||==，‎ 且•=3×（﹣1）+1×3=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴三角形ABC的面积为S△=||×||=××=5；‎ ‎（2）三角形ABC的面积为S△，‎ 则，‎ ‎，‎ 得：，①‎ ‎，②‎ 由①+②，得：，‎ 又；‎ 代入化简，得：．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．‎ ‎【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a ‎①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数 …‎ ‎②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减 又 ‎∴‎ ‎∴当时，方程f（x）=t有两解 …‎ ‎（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），‎ 只需证：‎ 设，则…‎ 由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减 …‎ ‎∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n ‎∴g（m）＜g（n），故原不等式成立． …‎ ‎　‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-4；坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．‎ ‎∵α∈[0，π），‎ ‎∴或．‎ ‎∴直线的倾斜角或．‎ ‎　‎ ‎[选修：不等式选讲]‎ ‎23．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；‎ ‎（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；‎ 当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；‎ 当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．‎ 故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．‎ ‎（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），‎ 当且仅当a=b=c=时，等号成立．‎ 此时，ab+bc取得最大值=1．‎ ‎　‎ ‎2016年12月20日