数学卷·2018届河北省保定三中高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河北省保定三中高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

河北省保定三中2016-2017学年高二（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）‎ ‎　‎ 一、选择题（共22小题，每题4分，共88分）‎ ‎1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则x+y+z等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎2．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（　　）‎ A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x ‎4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎5．设=（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量， =（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（　　）‎ A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α或l⊥α D．l∥α或l⊂α ‎6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎8．函数y=﹣3x+9的零点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，那么l1与l2所成的角是（　　）‎ A．30° B．45° C．150° D．160°‎ ‎11．曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ A． e2 B．2e2 C．e2 D． e2‎ ‎12．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎13．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x+1，则的值为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20‎ ‎14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎15．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎16．已知函数f（x）=mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣8] B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣∞，﹣6] D．（﹣∞，﹣6）‎ ‎17．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（　　）‎ A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π ‎18．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）‎ A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1‎ ‎19．已知函数 f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时，AE=（　　）‎ A．1 B． C．2﹣ D．2﹣‎ ‎21．定义在R上的函数f（x）满足，当x∈[0，2）时，，函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，﹣2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．‎ ‎22．已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．f（1）＜2ef（2） B．ef（1）＜f（2） C．f（1）＜0 D．ef（e）＜2f（2）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　　．‎ ‎24．若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=　　．‎ ‎25．已知f（x）是定义在R上奇函数，又f（2）=0，若x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是　　．‎ ‎26．设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，其中27、28、29每题10分，30题12分，共42分）‎ ‎27．（10分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1‎ ‎（1）求直线AD1与B1D所成角；‎ ‎（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．‎ ‎28．（10分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x3+x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．‎ ‎（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；‎ ‎（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．‎ ‎29．（10分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BM ‎（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．‎ ‎30．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣alnx．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，+∞）内任取两个不相等的实数x1，x2，不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共22小题，每题4分，共88分）‎ ‎1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则x+y+z等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，用、、表示出，将它和题中已知的的解析式作对照，‎ 求出x、y、z 的值．‎ ‎【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，‎ 又∵=++，∴x=1，2y=1，3z=1，‎ ‎∴x=1，y=，z=，∴x+y+z=1++=，‎ 故选 D．‎ ‎【点评】本题考查空间向量基本定理及其意义，空间向量的加减和数乘运算，用待定系数法求出x、y、z 的值．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．‎ ‎∵两向量垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．‎ ‎∴k=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（　　）‎ A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x ‎【考点】简单复合函数的导数．‎ ‎【分析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．‎ ‎【解答】解：‎ 将y=sin2x写成，‎ y=u2，u=sinx的形式．‎ 对外函数求导为y′=2u，‎ 对内函数求导为u′=cosx，‎ 故可以得到y=sin2x的导数为 y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x 故选D ‎【点评】考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．‎ ‎【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）‎ ‎∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，‎ 解得f′（1）=﹣1，‎ 故选B；‎ ‎【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；‎ ‎　‎ ‎5．设=（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量， =（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（　　）‎ A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α或l⊥α D．l∥α或l⊂α ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵ •=3﹣4+1=0，‎ ‎∴．‎ ‎∴l∥α或l⊂α，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系、法向量的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知 ‎，，设面DBA1的法向量，由，知，由向量法能求出D1到平面A1BD的距离．‎ ‎【解答】解：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，‎ ‎∴D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），‎ ‎∴，，‎ 设面DBA1的法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴D1到平面A1BD的距离d===．‎ 故选D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查点线面间的距离计算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．‎ ‎【解答】解：y=x2的导数为y′=2x，‎ 在点的切线的斜率为k=2×=1，‎ 设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），‎ 由k=tanα=1，‎ 解得α=45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=﹣3x+9的零点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】先利用导数判断函数的单调性，然后说明f（x）存在零点，由此即可得到答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3），令（x+1）（x﹣3）=0，可得x=﹣1，x=3，‎ 函数有两个极值点，并且f（﹣1）=＞0，f（3）=9﹣9﹣9+9=0，‎ x∈（﹣∞，﹣1），x∈（3，+∞），f′（x）＞0，x∈（﹣1，3），f′（x）＜0，‎ x=﹣1函数取得极大值，x=3时，函数取得极小值，‎ 所以f（x）的零点个数为2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题的考点是函数零点，用导函数判断函数单调性，属中档题．‎ ‎　‎ ‎9．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．‎ ‎【解答】解：由题意 ‎=++‎ ‎=+﹣+‎ ‎=﹣++﹣‎ ‎=﹣++‎ 又=， =， =‎ ‎∴=﹣++‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．‎ ‎　‎ ‎10．直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，那么l1与l2所成的角是（　　）‎ A．30° B．45° C．150° D．160°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】l1与l2所成的角与直线的方向向量所成的角相等或者互补，由此得到所求．‎ ‎【解答】解：因为直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，‎ 那么两个方向向量所成的角的余弦值为=；‎ 所以方向向量所成的角为135°，所以l1与l2所成的角是45°；‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了利用直线的方向向量所成的角求直线所成的角；注意角度范围．‎ ‎　‎ ‎11．曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ A． e2 B．2e2 C．e2 D． e2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【解答】解析：依题意得y′=ex，‎ 因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，‎ 相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），‎ 当x=0时，y=﹣e2‎ 即y=0时，x=1，‎ ‎∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：‎ S=×e2×1=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，‎ ‎∴f′（x）=x2cosx+cosx，‎ ‎∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），‎ ‎∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，‎ 当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x+1，则的值为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】=﹣2×=﹣2f′（1），再利用导数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：f（x）=2ln（3x）+8x+1，‎ ‎∴f′（x）=+8=+8．‎ ‎∴f′（1）=10．‎ 则=﹣2×=﹣2f′（1）=﹣2×10=﹣20．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了导数的定义及其运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；‎ 根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；‎ 根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；‎ 例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．‎ ‎【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；‎ ‎∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；‎ ‎∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．‎ ‎　‎ ‎15．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】以A为坐标原点，、的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DBC1与平面CBC1所成的角．‎ ‎【解答】解：以A为坐标原点，、的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 设底面边长为2a，侧棱长为2b，‎ 则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（a，a，0），C1（0，2a，2b），B1（a，a，2b）．‎ ‎=（），=（﹣，a，2b），=（，0，0），=（0，a，2b），‎ 由AB1⊥BC1，得•=2a2﹣4b2=0，即2b2=a2．‎ 设=（x，y，z）为平面DBC1的一个法向量，‎ 则•=0， •=0．‎ 即，又2b2=a2，令z=1，解得=（0，﹣，1）．‎ 同理可求得平面CBC1的一个法向量为=（1，，0）．‎ 设平面DBC1与平面CBC1所成的角为θ，‎ 则 cos θ==，解得θ=45°．‎ ‎∴平面DBC1与平面CBC1所成的角为45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣8] B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣∞，﹣6] D．（﹣∞，﹣6）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，得到m≤2x2﹣8x在[1，+∞），令h（x）=2x2﹣8x，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=+8﹣2x=，‎ 令g（x）=﹣2x2+8x+m，‎ 若函数f（x）=mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，‎ 则﹣2x2+8x+m≤0在[1，+∞）成立，‎ 则m≤2x2﹣8x在[1，+∞），‎ 令h（x）=2x2﹣8x，x∈[1，+∞），‎ h′（x）=4x﹣8，令h′（x）＞0，解得：x＞2，‎ 令h′（x）＜0，解得：1≤x＜2，‎ 故h（x）在[1，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 故h（x）min=h（2）=﹣8，‎ 故m≤﹣8，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎17．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（　　）‎ A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，即可求函数f（x）的各极大值之和．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），‎ ‎∴f′（x）=（ex）′（sinx﹣cosx）+ex（sinx﹣cosx）′=2exsinx，‎ ‎∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）递减，‎ 故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，‎ 其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]‎ ‎=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））‎ ‎=e2kπ+π，‎ 又0≤x≤4π，‎ ‎∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+π时，f（x）取极大值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎18．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）‎ A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1‎ ‎【考点】空间直角坐标系．‎ ‎【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，‎ 在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．‎ 在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.‎ 在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，‎ 则S3=S2且S3≠S1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数 f（x）=‎ ‎﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，‎ g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，‎ 若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，‎ 即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，‎ 即恒成立，‎ 即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，‎ 令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，‎ 当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，‎ 即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，‎ 由于h′（1）=0，‎ ‎∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，‎ 当1≤x≤2时，h′（x）＜0，‎ ‎∴h（x）≤h（1）=1，‎ ‎∴a≥1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时，AE=（　　）‎ A．1 B． C．2﹣ D．2﹣‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】过点D作DF⊥CE于F，连接PF，由三垂线定理证出DF⊥CE，从而∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角，即∠PFD=．等腰Rt△PDF中，得到PD=DF=1．矩形ABCD中，利用△EBC与△CFD相似，求出EC=2，最后在Rt△BCE中，根据勾股定理，算出出BE=，从而得出AE=2﹣．‎ ‎【解答】解：过点D作DF⊥CE于F，连接PF ‎∵PD⊥平面ABCD，∴DF是PF在平面ABCD内的射影 ‎∵DF⊥CE，‎ ‎∴PF⊥CE，可得∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角，即∠PFD=‎ Rt△PDF中，PD=DF=1‎ ‎∵矩形ABCD中，△EBC∽△CFD ‎∴=，得EC==2‎ Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE==‎ ‎∴AE=AB﹣BE=2﹣‎ 故选：D ‎【点评】本题在特殊四棱锥中已知二面角的大小，求线段AE的长．着重考查了线面垂直的判定与性质和二面角的平面角及求法等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．定义在R上的函数f（x）满足，当x∈[0，2）时，，函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，﹣2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，∀s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：∀t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵当x∈[0，2）时，，‎ ‎∴x∈[0，2），f（0）=为最大值，‎ ‎∵f（x+2）=f（x），‎ ‎∴f（x）=2f（x+2），‎ ‎∵x∈[﹣2，0]，‎ ‎∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1，‎ ‎∵x∈[﹣4，﹣3]，‎ ‎∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，‎ ‎∵∀s∈[﹣4，2），‎ ‎∴f（s）最大=2，‎ ‎∵f（x）=2f（x+2），‎ x∈[﹣2，0]，‎ ‎∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，‎ ‎∵x∈[﹣4，﹣3]，‎ ‎∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，‎ ‎∵∀s∈[﹣4，2），‎ ‎∴f（s）最小=﹣8，‎ ‎∵函数g（x）=x3+3x2+m，‎ ‎∴g′（x）=3x2+6x，‎ ‎3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，‎ ‎3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0，‎ ‎3x2+6x=0，x=0，x=﹣2，‎ ‎∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．‎ 在（﹣2，0）单调递减，‎ ‎∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，‎ ‎∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，‎ ‎∴﹣8≥m﹣16，‎ 故实数满足：m≤8，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的图象的应用，判断最大值，最小值问题，来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．f（1）＜2ef（2） B．ef（1）＜f（2） C．f（1）＜0 D．ef（e）＜2f（2）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥‎ ‎0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、‎ ‎【解答】解：构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，‎ ‎∴函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴F（1）＜F（2），‎ ‎∴f（1）＜2ef（2），‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　﹣3　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，‎ 曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，‎ ‎∴y′=2ax﹣，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 故a+b=﹣3，‎ 故答案为：﹣3‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎24．若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=　2：3：（﹣4）　．‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】求出、 的坐标，由•=0，及•=0，用y表示出 x 和z的值，即得法向量的坐标之比．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎∴．‎ 故答案为 2：3：﹣4．‎ ‎【点评】本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．‎ ‎　‎ ‎25．已知f（x）是定义在R上奇函数，又f（2）=0，若x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是　（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由题意设g（x）=xf（x）并求出g′（x），由条件和导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在（0，+∞‎ ‎）上的单调性，由f（x）是奇函数判断出g（x）是偶函数，根据条件、偶函数的性质、g（x）的单调性等价转化不等式xf（x）＞0，即可求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：由题意设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），‎ ‎∵x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∵f（x）是定义在R上奇函数，‎ ‎∴g（x）是定义在R上偶函数，‎ 又f（2）=0，则g（2）=2f（2）=0，‎ ‎∴不等式xf（x）＞0为g（x）＞0=g（2），‎ 等价于|x|＞2，解得x＜﹣2或x＞2，‎ ‎∴不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及判断，偶函数的单调性，以及导数与函数单调性的关系，考查构造法，转化思想，化简、变形能力．‎ ‎　‎ ‎26．设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是　（，1）　．‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）‎ ‎∴=（1，1，﹣1），∴=（λ，λ，﹣λ），‎ ‎∴=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）‎ ‎=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）‎ 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0‎ ‎∴‎ ‎∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1‎ 因此，λ的取值范围是（，1）‎ 故答案为：（，1）‎ ‎【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，其中27、28、29每题10分，30题12分，共42分）‎ ‎27．（10分）（2015秋•福州校级期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1‎ ‎（1）求直线AD1与B1D所成角；‎ ‎（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；‎ ‎（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．‎ ‎【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．‎ ‎∴，‎ ‎∴cos==0，‎ ‎∴=90°，‎ ‎∴直线AD1与B1D所成角为90°；‎ ‎（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则 ‎∵， =（﹣1，2，0），‎ ‎∴，‎ ‎∴可取=（2，1，0），‎ ‎∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．‎ ‎【点评】本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2013•惠州一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x3+‎ x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．‎ ‎（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；‎ ‎（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）先确定直线l的方程为y=x﹣1，利用直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），建立方程，即可求得g（x）的解析式；‎ ‎（2）确定函数h（x）的解析式，利用导数求得函数的单调性，即可求函数h（x）的极大值．‎ ‎【解答】解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，‎ ‎∴直线l的方程为y=x﹣1．…（2分）‎ 又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），‎ ‎∴在点（1，0）的导函数值为1．‎ ‎∴，∴，…‎ ‎∴…（6分）‎ ‎（2）∵h（x）=f（x）﹣g′（x）=lnx﹣x2﹣x+1（x＞0）…（7分）‎ ‎∴…（9分）‎ 令h′（x）=0，得或x=﹣1（舍）…（10分）‎ 当时，h′（x）＞0，h（x）递增；当时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）‎ 因此，当时，h（x）取得极大值，‎ ‎∴[h（x）]极大=…（14分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，正确求导是关键．‎ ‎　‎ ‎29．（10分）（2017•岳阳一模）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BM ‎（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM ‎（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，‎ ‎∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．‎ ‎∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM ‎∴BM⊥平面ADM ‎∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM； ‎ ‎（2）建立如图所示的直角坐标系，设，‎ 则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为 ‎=（x，y，z），则，‎ ‎ 取y=1，得x=0，z=，‎ 则=（0，1，），‎ ‎∵cos＜，＞==，∴求得，‎ 故E为BD的中点．‎ ‎【点评】本题主要考查空间线面垂直性质以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．‎ ‎　‎ ‎30．（12分）（2016秋•张家口期末）已知函数f（x）=（x+1）2﹣alnx．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，+∞）内任取两个不相等的实数x1，x2，不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，导函数，①当a≤0时，②当a＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调性．‎ ‎（Ⅱ）不妨令x1＞x2，则x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），则x+1∈（1，+∞），不等式，推出f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1），设函数g（x）=f（x）﹣x，‎ 利用函数的导数利用函数的单调性与最值求解即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为x＞0，，…（2分）‎ ‎①当a≤0时，f'（x）＞0在x＞0上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）‎ ‎②当a＞0时，方程2x2+2x﹣a=0有一正根一负根，在（0，+∞）上的根为，‎ 所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）不妨令x1＞x2，则x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），则x+1∈（1，+∞），‎ 由 f（x1+1）﹣f（x2+1）＞（x1+1）﹣（x2+1）⇒f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1）…（8分）‎ 设函数g（x）=f（x）﹣x，‎ 则函数g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函数，所以 ‎，…（10分）‎ 又函数g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函数，‎ 只要在（1，+∞）上2x2+x≥a恒成立，y=2x2+x，在（1，+∞）上y＞3，所以a≤3．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值以及函数的单调性最值的求法，考查转化思想以及计算能力．‎