2016年高考数学（文科）真题分类汇编I单元　统计

2016年高考数学（文科）真题分类汇编I单元　统计

数 学 I单元　统计 ‎ I1　随机抽样 I2　用样本估计总体 ‎4．I2[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图11中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　　)‎ 图11‎ A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 ‎4．D　[解析] 平均最高气温高于20℃的月份有七、八2个月．‎ ‎3．I2[2016·山东卷] 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图11所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)‎ 图11‎ A．56 B．60‎ C．120 D．140‎ ‎3．D　[解析] 由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(0.16＋0.08＋0.04)×2.5×200＝140.‎ ‎4．I2[2016·上海卷] 某次体检，5位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是________(米)．‎ ‎4．1.76　[解析] 将这5位同学的身高按照从小到大排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，这5个数的中位数是1.76.‎ ‎4．I2[2016·江苏卷] 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．‎ ‎4．0.1　[解析] 因为＝5＋‎ ＝5.1，‎ 所以s2＝×(0.42＋0.32＋0.32＋0.42)＝0.1.‎ ‎19．B1，I2，K4[2016·全国卷Ⅰ] 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 图15‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；‎ ‎(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；‎ ‎(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎19．解：(1)当x≤19时，y＝3800；‎ 当x>19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.‎ 所以y与x的函数解析式为 y＝(x∈N)．‎ ‎(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.‎ ‎(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)．‎ 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ×(4000×90＋4500×10)＝4050(元)．‎ 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．‎ ‎17．I2[2016·北京卷] 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图13所示的频率分布直方图：‎ 图13‎ ‎(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？‎ ‎(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．‎ ‎17．解：(1)由用水量的频率分布直方图知，‎ 该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15，‎ 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.‎ 依题意，w至少定为3.‎ ‎(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 ‎[2，4]‎ ‎(4，6]‎ ‎(6，8]‎ ‎(8，10]‎ ‎(10，12]‎ ‎(12，17]‎ ‎(17，22]‎ ‎(22，27]‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为 ‎4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．‎ I3 正态分布 I4　变量的相关性与统计案例 ‎18．I4[2016·全国卷Ⅲ] 图14是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．‎ 图14‎ 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据： t，‎ ‎＝0.55，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数r＝，‎ 回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ＝ ， ‎ 解：由折线图中数据和附注中参考数据得，，‎ ‎＝40.17－4×9.32＝2.89，‎ r＝≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．‎ ‎(2)由y＝≈1.331及(1)得＝‎ ‎＝≈0.103，‎ ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以，y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.‎ 将2016年对应的年份代码t＝9代入回归方程，得＝0.92＋0.10×9＝1.82，‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．‎ I5 单元综合 ‎ ‎16．I5[2016·四川卷] 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图13所示的频率分布直方图．‎ 图13‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎(3)估计居民月均用水量的中位数．‎ ‎16．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，‎ 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，‎ 解得a＝0.30.‎ ‎(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.‎ ‎(3)设中位数为x吨．‎ 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04，‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．‎ ‎ ‎ ‎3．[2016·沈阳教学质量监测(一)]从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成如图K481所示的频率分布直方图．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18名同学参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为(　　 )‎ 图K481‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．B　[解析] 由图知(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)×10＝1，解得a＝0.030，所以身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生总人数为100×(0.030＋0.020＋0.010)×10＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为100×0.010×10＝10，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为×18＝3.‎ ‎3．[2016·西北师大附中期末]已知一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其样本的中心点为(2，3)，若其回归直线的斜率的估计值为－1.2，则该回归直线的方程为(　　)‎ A．y＝－1.2x＋2 B．y＝1.2x＋3‎ C．y＝－1.2x＋5.4 D．y＝1.2x＋0.6‎ ‎3．C　[解析] 设该回归直线方程为＝x＋.∵斜率的估计值为－1.2，∴＝－1.2，又样本的中心点(2，3)在回归直线上，∴将(2，3)代入＝－1.2x＋，可得＝5.4，故所求的回归直线方程为＝－1.2x＋5.4.‎ ‎9．[2016·济南期末]如图K484所示的茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩(单位：环)，若两位运动员的平均成绩相同，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员的成绩的方差为________．‎ 图K484‎ ‎9．2　[解析] 甲的平均成绩x甲＝＝90.∵甲、乙的平均成绩相同，∴x乙＝x甲＝90，‎ 即＝90, 解得x＝2.‎ 甲的成绩的方差s＝×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4，‎ 乙的成绩的方差s＝×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.‎ ‎∵s>s，∴乙运动员的成绩稳定，且其方差为2.‎