2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题，总有，则为　　‎ A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎【答案】B ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题p：，总有，‎ 则为：，使得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎2．“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件： ‎ 故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.‎ 故答案为：B.‎ ‎3．已知空间四边形，其对角线分别是边的中点，点在线段 上，且使，用向量，表示向量是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．‎ ‎4．已知实数满足不等式组，则函数的最大值为（ ）‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，‎ 由得。‎ 平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点C时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值。‎ 由，解得，故点C的坐标为（1,2）。‎ ‎∴。选D。‎ ‎5．椭圆的离心率是，则的最小值为　　‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，，代入，利用基本不等式可求最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 即,‎ ‎,‎ 则 当且仅当即时取等号 的最小值为 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合.‎ ‎6．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线 与直线夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝‎ ‎7．点在圆上运动，则点的轨迹是　　‎ A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】根据变形，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 点在圆上，‎ ‎，‎ ‎，‎ 点是椭圆上的点．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题．‎ ‎8．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．‎ 详解：正实数 满足则 =4，‎ 当且仅当，取得最小值4． 由x有解，可得 解得或． 故选 D ．‎ 点睛：本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属中档题．‎ ‎9．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于　　‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.‎ ‎10．已知数列的首项，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，可得，‎ 是以为公差，以为首项的等差数列， ，故选C.‎ ‎11．给出以下命题，其中真命题的个数是　　‎ 若“或”是假命题，则“且”是真命题 命题“若，则或”为真命题 已知空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；‎ 直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】(1)若“或”是假命题，则是假命题p是真命题，是假命题是真命题，故且真命题,选项正确.‎ ‎(2) 命题“若，则或”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.‎ ‎（3）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（3）正确，‎ ‎（4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，‎ ‎∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，‎ ‎∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，‎ 则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，‎ 当x=c=3时，得，即=，即则y=±，‎ 此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误，‎ 故答案为：C.‎ ‎12．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点若，则的离心率是　　‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知渐近线方程为l1：，l2：，‎ 由条件得F到渐近线的距离，则，‎ 在Rt△AOF中，，则.‎ 设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.‎ 在Rt△AOF中，，在Rt△AOB中，.‎ ‎∵，即，即a2=3b2，‎ ‎∴a2=3(c2-a2)，‎ ‎∴，即.‎ 故选C.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、解答题 ‎13．已知命题方程表示圆；命题双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解．‎ 试题解析：若命题为真命题 ，则，即 整理得，解得4分 若命题为真命题 ，则，解得8分 因为命题为假命题， 为真命题，所以中一真一假， 10分 若真假，则; 若假真，则，‎ 所以实数的取值范围为． 12分 ‎【考点】1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．‎ ‎14．如图，四棱锥 底面为正方形，已知 ，，点 为线段 上任意一点（不含端点），点 在线段 上，且 ．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若 为线段 中点，求直线 与平面 所成的角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）延长，交于点，只需证明MN//PG,通过可证明，从而证明MN//PG。（2）由于，以为轴建立空间直角坐标系,利用线面角的向量公式解题。‎ 试题解析：（Ⅰ）延长，交于点，由相似知，‎ ‎ 平面，平面，则直线//平面；‎ ‎（Ⅱ）由于，以为轴建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设，则，，，， ‎ ‎ 则，平面的法向量为，‎ ‎ 则向量与的夹角为，则，则与平面夹角的余弦值为.‎ ‎15．在锐角中，角所对的边分别为，已知 ‎．‎ 证明：；‎ 若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；‎ ‎(2)利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果.‎ 详解：（1）证明：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，即.‎ ‎（2）解： .‎ 又.‎ ‎， .‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件灵活应用，即可求得结果.‎ ‎16．直三棱柱中，，分别是，的中点，，为棱上的点．‎ 证明：；‎ 证明：；‎ 是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当D为中点．‎ ‎【解析】根据线面垂直的性质定理证明面即可．‎ 建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．‎ 求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 证明：，，，‎ 又，，面．‎ 又面，，‎ 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则有，‎ 设且，‎ 即y，，0，，则0，，，‎ ‎，，所以；‎ 结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，理由如下：‎ 由题可知面ABC的法向量，设面DEF的法向量为，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 令，则．‎ 平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或舍，‎ 所以当D为中点时满足要求．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键考查学生的运算和推理能力．‎ ‎17．已知数列的前项和为，，且，为等比数列，，．‎ 求和的通项公式；‎ 设，，数列的前项和为，若对均满足，求整数的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）1345.‎ ‎【解析】运用数列的递推式和恒等式，化简可得，；再由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；‎ 求得，由裂项相消求和，可得，再由数列的单调性可得最小值和不等式恒成立思想，可得m的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎，且，‎ 当时，，‎ 即为，‎ 即有，‎ 上式对也成立，‎ 则，；‎ 为公比设为q的等比数列，，．‎ 可得，，则，即，‎ ‎，；‎ ‎，‎ 前n项和为，‎ ‎，‎ 即，可得递增，则的最小值为，‎ 可得，即，‎ 则m的最大值为1345．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式的运用，数列的递推式和恒等式的运用，以及数列的单调性的运用：求恒成立问题，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎18．已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点.‎ ‎ (1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；‎ ‎ (2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为,证明是定值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 解:因为抛物线的焦点为,所以,故.‎ 所以椭圆.‎ ‎ (1)设,则 两式相减得 ，‎ 又的中点为,所以.‎ 所以.‎ 显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.‎ ‎ (2)椭圆右焦点.‎ 当直线的斜率不存在或者为时, .‎ 当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，‎ 设,联立方程得 消去并化简得 ，‎ 因为 ，‎ 所以，.‎ 所以 ‎ 同理可得.‎ 所以 为定值.‎ ‎【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.‎ 详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.‎ 所以椭圆.‎ ‎（1）设，，则 两式相减得，‎ 又的中点为，所以，.‎ 所以.‎ 显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.‎ ‎（2）椭圆右焦点.‎ 当直线的斜率不存在或者为时，.‎ 当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，‎ 设，，联立方程得 消去并化简得，‎ 因为，‎ 所以，.‎ 所以，‎ 同理可得.‎ 所以为定值.‎ 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.‎ 三、填空题 ‎19．已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．‎ ‎【答案】4018‎ ‎【解析】由题意写出数列的前几项，可得数列的最小正周期为6，求得一个周期的和，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，‎ 可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，‎ 即有数列的最小正周期为6，‎ 可得一个周期的和为0，‎ 由，可得．‎ 故答案为：4018．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的求和，注意运用数列的周期，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎20．在正三棱柱中，若，点是的中点，求点到平面的距离______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．‎ ‎【详解】‎ 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎0，，0，，，4，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 点到平面的距离：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎21．已知空间三点2，，5，，3，，则以为邻边的平行四边形的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以，为邻边的平行四边形的面积.‎ 详解：由题意可得，‎ ‎，所以，所以，所以以，为邻边的平行四边形的面积为，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.‎ ‎22．已知点在离心率为的双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设P为双曲线的右支上一点，，，，运用双曲线的定义和直角三角形的外接圆的外心为斜边的中点，运用等积法求得内切圆的半径，结合离心率公式，化简即可得到所求比值．‎ ‎【详解】‎ 设P为双曲线的右支上一点，，，，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 由即，可得，‎ 可得，‎ 则，‎ 由直角三角形可得外接圆的半径为，‎ 内切圆的半径设为r，‎ 可得，‎ 即有，‎ 由，可得，‎ 则，‎ 可得，‎ 则则的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的外接圆和内切圆的半径，考查等积法求内切圆的半径，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎