2019-2020学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知命题，总有，则为（　　）‎ A． 使得 B． 使得 C． 总有 D．,总有 ‎【答案】B ‎【解析】利用全称命题的否定解答即得解.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎2．一直平面内的定点A，B和动点P，则“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】‎ 若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数成立是定值．‎ 若动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数，当，此时的轨迹不是椭圆．‎ ‎“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的必要不充分条件．‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．‎ ‎3．直线l经过两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A．∪ B．[0，π)‎ C． D．∪‎ ‎【答案】A ‎【解析】先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值取值范围。‎ ‎【详解】‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 已知直线上两点求斜率利用公式。需要注意的是斜率不存在的情况。‎ ‎4．已知直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原位置，则斜率（ ）．‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数图像的平移，求平移后的解析式，再求参数的值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：将直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿轴正方向平移1个单位长度后，所得直线方程为 ，‎ 由题意可知，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的平移，属基础题.‎ ‎5．已知椭圆的短轴长为4，上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为，则椭圆的焦距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，且，列方程组求.‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆的短轴长为4，可得，‎ 上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为，‎ 可得，即，所以，，可得，，‎ 椭圆的焦距为：．‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．‎ ‎6．已知实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】其中表示两点与所确定直线的斜率，由图知， 所以的取值范围是的取值范围是选C.‎ ‎7．过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，‎ ‎∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，‎ ‎∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，‎ 所以此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，‎ ‎∴四边形AOBP的外接圆的方程为，‎ ‎∴△AOB外接圆的方程为，‎ 故选 A．‎ ‎8．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆的定义可知，又恰好与圆相切于点P，可知且，即可列出方程求椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由恰好与圆相切于点P，可知，且 ，‎ 又，可知，‎ 在中，，‎ 即 所以，‎ 解得，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.‎ ‎9．唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出点关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短．‎ ‎【详解】‎ 设点A关于直线的对称点，，‎ 的中点为，故解得，，‎ 要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，‎ 即为点和圆上的点连线的最小值，为点和圆心的距离减半径，‎ ‎“将军饮马”的最短总路程为，‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．‎ ‎10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点不重合），则的面积最大值是（ ）．‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出时，交点，；当时，利用基本不等式求的面积最大值，综合得解.‎ ‎【详解】‎ 动直线，令，解得，‎ 因此此直线过定点．‎ 动直线，即，‎ 令，，‎ 解得，，‎ 因此此直线过定点.‎ 时，两条直线分别为，，交点，‎ ‎．‎ 时，两条直线的斜率分别为：，，‎ 则，‎ 因此两条直线相互垂直．‎ 当时，的面积取得最大值．‎ 综上可得：的面积最大值是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．设椭圆C：上的一点P到两条直线和的距离分别是，，则的最小值（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，由题意可得：，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：设，，‎ 由题意可得：．‎ 当且仅当时取等号．‎ 的最小值为8．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，由点Q在椭圆的内部，可得以为直径的圆在椭圆内，可得；于是，再根据临界值，由点的位置建立不等式，确定即可得出e的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，‎ 点Q在椭圆的内部，以为直径的圆在椭圆内，；‎ ‎，，‎ 故．‎ ‎，,‎ 设，，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，①‎ ‎，‎ 由已知可知，点在以为直径的圆上，不包含，两个点，‎ 当点与重合时，此时，的最大值是 ‎ 由图象可知其他满足条件的满足条件时，需满足 ②‎ 由①②可知 ， ‎ ‎，‎ 解得： ，‎ 综上可知：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，本题的关键是根据满足条件的点的位置确定，建立面积条件的的不等关系，求出离心率的范围.‎ 二、填空题 ‎13．已知直线l过点（1，2），且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为__________．‎ ‎【答案】x=1或3x﹣4y+5=0‎ ‎【解析】分两种情况，当斜率不存在时，验证是否满足题意；当斜率存在时，设出点斜式方程，再由点到直线的距离公式求出斜率即可求解.‎ ‎【详解】‎ 直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：x=1，满足题意；‎ 直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1），化为：kx﹣y+2﹣k=0．‎ 由题意可得：，解得：k，‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣2（x﹣1），化为：3x﹣4y+5=0，‎ 综上可得：直线l的方程为：x=1或3x﹣4y+5=0，‎ 故答案为：x=1或3x﹣4y+5=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的点斜式方程、点到直线的距离公式，注意斜率不存在的情况，考查分类讨论的思想，属于基础题 ‎14．若椭圆的焦距为1，则______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】讨论焦点的位置，然后利用，求的值.‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆的焦距为1，‎ 当焦点在轴时，， ‎ ‎ ，解得： ‎ 当焦点在轴时，，，‎ ‎，解得：.‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆方程的形式求参数，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．‎ ‎15．已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据待定系数法求椭圆方程，再利用点差法求和与的斜率关系，最后利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ 不妨设，根据题意可知，解得： ‎ 椭圆方程是 ‎ 设 ‎ ‎ ，两式相减得 ‎ 整理为： ‎ 当，且时，，‎ ‎，即，‎ 同理：，‎ ‎，即 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎ ， ‎ ‎.‎ 当且仅当时等号成立，即时，‎ 故的最大值是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 考查点差法求斜率关系式，和利用基本不等式求最值，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用点差法求斜率间的关系.‎ ‎16．已知直线与圆交于两点A，B，若(其中O为坐标原点)，则实数b的取值范围______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用平行四边形法则，转化为，借助于弦长公式，求得 ，利用点到直线的距离求的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：设AB中点为D，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 直线与圆交于不同的两点A、B，‎ ‎．‎ ‎，则．‎ 或．‎ 即实数b的取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的推理和计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知和的交点为．‎ ‎（1）求经过点且与直线垂直的直线的方程 ‎（2）直线经过点与轴、轴交于、两点，且为线段的中点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】（1）联立两条直线的方程，解方程组求得点坐标，根据的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中点的坐标以及为中点这一条件，求得两点的坐标，进而求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）联立，解得交点的坐标为，‎ ‎∵与垂直，‎ ‎∴的斜率，‎ ‎∴的方程为，即.‎ ‎（2）∵为的中点，已知，，即，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.‎ ‎18．已知P：方程表示圆心在第三象限的圆，q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 若为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若“”为假，“为真”，求m的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】（1）首先求为真命题时，的取值范围，再求其补集，就是为真时，的取值范围；‎ ‎（2）求出命题q为真时m的取值范围，利用“”为假，“为真”时p、q一真一假；从而列不等式求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：方程可化为；‎ 若P为真命题，则，解得；‎ 所以为真命题时，实数m的取值范围是；‎ 命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 若q为真命题时，；‎ 由“”为假，“为真”，则p、q一真一假；‎ 当p真q假时，，即；‎ 当p假q真时，，即；‎ 综上知，实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的方程与椭圆的标准方程应用问题，也考查了简单的复合命题真假性判断问题，是基础题．‎ ‎19．若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；‎ ‎(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令方程中的，得，令，得.‎ 所以点的坐标分别为.‎ 所以圆的圆心是，半径是，‎ 所以圆的标准方程为.‎ ‎(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.‎ 若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.‎ 若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.‎ 圆的圆心到直线的距离，解得.‎ 则直线的方程为，即.‎ 综上，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线的斜率是否存在，是中档题。‎ ‎20．如图，，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，链接M，N两地之间的铁路是圆心在上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且，点N到，距离分别为4km和5km．‎ 建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；‎ 若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距离点O的最近距离．注：校址视为一个点 ‎【答案】(1) (2)距O最近6km的地方．‎ ‎【解析】建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程．‎ 据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题.‎ ‎【详解】‎ 解：分别以、为x轴，y轴建立如图坐标系．‎ 据题意得，，，‎ MN中点为，‎ 线段MN的垂直平分线方程为：，‎ 故圆心A的坐标为，‎ 半径．‎ 弧MN的方程为：‎ 设校址选在，‎ 对恒成立．‎ 即，对恒成立 整理得：，对恒成立 令．‎ ‎，，‎ 在上为减函数．，‎ 解得，‎ 即校址选在距O最近6km的地方．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求圆的方程的方法，函数的恒成立问题，利用二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，意在考查抽象和概括，将实际问题转化为数学问题，属于中档题．‎ ‎21．已知椭圆C：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．‎ 求椭圆C的方程；‎ 如图所示，该椭圆C的左、右焦点，作两条平行的直线分别交椭圆于A，B，C，D四个点，试求平行四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2) 最大值为．‎ ‎【解析】由题意离心率可得，再结合面积求解a，b的值，则椭圆方程可求；‎ 由知，，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形ABCD的面积用三角形OAB的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，，则，即．‎ 又，，．‎ 椭圆C的方程为；‎ 由知，，且直线AB的斜率不为0，‎ 设直线AB的方程为，，，‎ 联立，消去x得：．‎ 得，．‎ 四边形是平行四边形，根据对称性可知和关于点对称，‎ ‎．‎ 令，则，‎ ‎．‎ ‎，且函数在上单调递增，‎ 当，即时，平行四边形ABCD面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与函数的单调性求最值，是中档题．‎ ‎22．已知的两个顶点为，，平面内P，Q同时满足；；．‎ 求顶点A的轨迹E的方程；‎ 过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2) 直线MN过定点 ‎【解析】由已知向量等式可知P为三角形ABC的重心，设，则，再由，知Q是三角形ABC的外心，结合得 由列式求解顶点A的轨迹E的方程；‎ 设出直线的方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，同理求得N的坐标，求得MN 的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线MN过定点 ‎【详解】‎ 解：，为三角形ABC的重心，设，则，‎ 由，知Q是三角形ABC的外心，在x轴上，‎ 又，‎ 由，得，整理得．‎ ‎，B，C三点不共线，‎ 顶点A的轨迹方程为；‎ 由知，为A的轨迹E的右焦点，‎ 设，，‎ 由，得．‎ 则，，‎ ‎．‎ 由中点坐标公式得，‎ 同理可求得 则当时，．‎ 直线MN的方程为．‎ 即．‎ 直线MN过定点 ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线方程的求法，考查平面向量的应用，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎