高考数学热点难点突破技巧第08讲立体几何探究点的位置的方法

高考数学热点难点突破技巧第08讲立体几何探究点的位置的方法

第 08 讲：立体几何探究点的位置的方法 【知识要点】 一、立体几何中经常出现探究点的位置的习题，有些同学遇到这种类型的习题, 感到比较迷 茫. 立体几何中探究点的位置的方法一般有三种：猜想证明法、直接探究法和设点解方程法. 二、由于文科生没有空间向量，所以文科生一般不用设点解方程法，文科生一般选择猜想证 明法和直接探究法. 【方法讲评】 方法一 猜想证明法 使用情景 点的位置刚好很特殊（中点或 1:2 等分点等），证明也比较方便. 解题步骤 一般先猜想特殊位置（中点， 等分点等），再证明. 【例 1】如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ， ，侧面 底面 . 若 . （1）求证： 平面 ； （2）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并证明， 若不存在，请说明理由； （3）求二面角 的余弦值. 在底面 中，因为 ， ， 所以 ， 所以 . 又因为 ， 所以 平面 . （3）由（1）知， 底面 ，以 为原点， 分别为 轴建立空 间直角坐标系 ，设 ，则 （0，0，1）， (1,0,0)， (0,2,0), (1,1,0)， 则 =(1,1,-1), =(-1,1,0)， 显然 平面 ，所以 为平面 的一个法向量. 设面 的一个法向量 =( )， 则 = =0 且 = =0，取 =1，则 =1， =2，则 . 设二面角 的大小为 ，由图可知， 为锐角， 所以 ， 即二面角 的余弦值为 . 【点评】 (1)由于 ,所以观察联想取 的中点 试验证明，刚好又可以证明点 满足条件，所以这种方法此时是可行的. （2）这种猜想证明法是有局限的，如果动点不 是特殊点，那就不好处理，既浪费了考试的时间， 又给自己制造了紧张气氛 . 【反馈检测 1】在长方体 中， ，过 ， ， 三点的平 面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，这个几何体的体积为 . （1）证明：直线 ∥平面 ； （2）求棱 的长； （3）在线段 上是否存在点 ，使直线 与 垂直，如果存在，求线段 的长， 如果不存在，请说明理由. 方法二 直接探究法 使用情景 直接求解. 解题步骤 直接通过解三角形(正弦定理、余弦定理、直角三角函数和相似三角形) 等求 解. 【例 2】如图,直三棱柱 中，侧棱长为 2， , 是 的中点， 上是否存在点 , 交于点 ,且 ,如果存在， 求线段 的长. 【解析】假设 上是否存在点 ，设 则 . 【点评】（1）本题如果利用猜想证明法，猜想中点，但是本题恰好不是中点，所以显示出猜 想证明法的局限性了. (2)本题利用的是直接探究法，直接通过解三角形（相似三角形）求 得. 解三角形可以利用正弦定理、余弦定理、三角函数和相似三角形. 【反馈检测 2】如图，四边形 为矩形， 平面 ， ， 平面 ，且点 在 上． (1)求证： ；(2)求三棱锥 的体积； (3)设点 在线段 上，且满足 ，试在线段 上确定一点 ，使得 平面 . 方法三 设点解方程法 使用情景 方法比较普遍，已知条件适合建立空间直角坐标系，适用于大多数题目 .（文 科生一般不用此法，因为文科没有空间向量） 解题步骤 先设 点 , 且 ，再 用 表示 点 的坐 标 ，最后把点 的坐标代入已知的某个条件等式求出 的值， 即得点 的位置. 【 例 3 】 如 图 ， 四 棱 柱 中 , 侧 棱 底 面 ， ， ， ， 为棱 的中点. (1) 证明： ；(2) 设点 在线段 上, 且直线 与平面 所成角 的正弦值为 , 求线段 的长. (2) 设 有 .可取 为平面 的一个法向量. 设 为直线 与平面 所成角，则 于是 解得 所以 . 【点评】(1)本题试验 中点，发现证明不了，所以最好直接利用设点解方程组法.先设 点 ,且 ，再用 表示点 的坐标 ，最 后把点 的坐标代入已知的某个条件等式求出 的值，即得点 的位置.(2)在设点时，要 注意 的范围，以免出现增解.(3)设点时，有时不需要设三个未知数，要结合实际情况， 确定未知数的个数，未知数越少越好. 【 反 馈 检 测 3 】 如 图 所 示 ， 正 方 形 与 矩 形 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， ，点 为 的中点. （1）求证： ∥平面 ；（2）求证： ； （3）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由. 【反馈检测 4】如图， 的外接圆 的半径为 ， 所在的平面， ， ， ，且 ， ． （1）求证：平面 平面 ． （2）试问线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？ 若存在，确定点 的位置，若不存在，请说明理由． 高中数学热点难点突破技巧第 08 讲： 立体几何探究点的位置的方法参考答案 【反馈检测 1 答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）存在， （2）解：设 ，∵几何体 的体积为 ， ∴ ， 即 ， 即 ，解得 ．∴ 的长为 4． （3）在平面 中作 交 于 ，过 作 交 于点 ，则 ． 因 为 ， 而 ， 又 ， 且 ． ∽ . 为直角梯形，且高 . 【反馈检测 2 答案】(1)见解析；(2)见解析.(3)点 为线段 上靠近点 的一个三等分 点. 【反馈检测 2 详细解析】 (3)解：在△ 中，过点 作 ∥ 交 于点 ，在△ 中过点 作 ∥ 交 于点 ，连结 ，则由 ＝ ，得 ＝ . 由 ∥ ， ⊂平面 ， ⊄ 平面 ，则 ∥平面 . 再由 ∥ ， ∥ ， ⊂平面 ， ⊄ 平面 ， 得 ∥平面 ，所以平面 ∥平面 .又 ⊂平面 ，则 ∥平面 . 故当点 为线段 上靠近点 的一个三等分点时， ∥平面 . 【反馈检测 3 答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在, 【反馈检测 3 详细解析】（1)连结 交 于 ，连结 ,因为四边形 为正方 形，所以 为 的中点，又点 为 的中点，在 中，有中位线定理有 // ， 而 平面 ， 平面 ，所以， //平面 . 依题意，以 为坐标原点， 、 、 分别为轴、 轴、 轴建立空间直角坐标 系，因为 ，则 ， ， ，所 ， 易知 为平面 的法向量，设 ，所以 平面 的法向量为 ，所以 ，即 ，所以 ，取 ， 则 ，又二面角 的大小为 ， 所以 ，解得 . 故在线段 上是存在点 ，使二面角 的大小为 ，且 . 【反馈检测 4 答案】（1）答案详见解析；（2）存在，且 ．【反馈检测 4 详细解 析】（1）∵ C⊥平面 ， ∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ∵ =1， ∴ ， 从而 ∵⊙ 的半径为 ，∴ 是直径， ∴ ⊥ 又∵CD ⊥平面 ，∴CD⊥ ，故 ⊥平面 平面 BCDE，∴平面 平面 （2）方法 1：假设点 存在，过点 作 ⊥ 于 ，连结 ，作 ⊥ 于 ， 连结 ∵平面 平面 ，∴ ⊥平面 ，∴ 为 与平面 所成的 角 故 ，从而满足条件的点 存在，且 方法 2：建立如图所示空间直角坐标系 ， 则： （4，0，0）， （0，2，0）， （0，0，4）， （0，2，1）， （0，0，0），则 易 知 平 面 的 法 向 量 为 ， 假 设 点 存 在 ， 设 ， 则 ， 再 设 ， 即 ，从而 设 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 ， 则 ： 解得 ，其中 应舍去，而 故满足条件的点 存 在，且点 的坐标为