2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷二（含附加题） Word版含答案

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2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 1x ， 2x ，…， nx 的方差  2 2 1 1 n i i s x xn    ，其中 1 1 n i i x xn    柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高. 锥体的体积 1 3V Sh ，其中 S 是椎体的底面积， h 是椎体的高. 一．填空题：本题共 14 小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.集合  2 1 0A x x   ，  3 ,xB y y x R   ，则 A B  ________. 2.复数 1z i  （ i 为虚数单位），则共轭复数 z 的虚部________. 3.已知向量 a  ， b  满足 1a  ， 2b  ，  3, 2a b   ，则 2a b   ________. 4.在等差数列 na 中， nS 为其前 n 项的和，已知 8 133 5a a ，且 1 0a  ，若 nS 取得最大值， 则 n  ________. 5.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.设各局 比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获胜的 概率是________. 6.已知 A，B，P 是双曲线   2 2 2 2 1 0x y a ba b      上的不同三点，且 0OA OB    （ O 点为 坐标原点），若直线 PA，PB 的斜率乘积 3 4 ，则该双曲线的离心率等于________. 7.设常数 a R ，如果 5 2 ax x     的二项展开式中 x 项的系数为-80，那么 a  ________. 8.奇函数  f x 在区间 ,0 上单调递减，且  1 0f   ，则不等式    1 1 0x f x   的解集 是________. 9.已知两点 A（-1，0），B（1，0），若直线 0x y a   上存在点 P 满足 0AP BP    ，则实 数 a 的取值范围是________. 10.如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，中心为 O ， 1 2BF BC  ， 1 1 1 4A E A A  ，则四 面体 OEBF 的体积为________. 11.已知 3cos 4 5x      ， 3 5 4 4x   ，则 2sin2 2sin 1 tan x x x   ________. 12. O 是 ABC 内一点，且 2 2 0OA OB OC      ， ABC 和 OBC 的面积分别是 ABCS 和 OBCS ，则 OBC ABC S S   ________. 13.函数  f x 是定义 R 在上的偶函数，且满足         2 , 0,1 , 1,2 x x f x g x x     ，    2f x f x   ， 则曲线  y f x 与 3logy x 的交点个数为________. 14.A，B 分别为 1C ： 2 1 0x y   和 2C ： 2 1 0y x   的点，则 AB 的最小值为________. 二.解答题：本大题共 6 小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知     sin sin sina c A C a b B    . （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求 sin sinA B 的最大值. 16.如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC，DE 交于点 F，点 E 为 AB 的中点.将 ADE 沿线 段 DE 折起到 PDE 的位置，如图 2 所示. （Ⅰ）求证：DE⊥平面 PCF； （Ⅱ）求证：平面 PBC⊥平面 PCF； （Ⅲ）在线段 PD、BC 上是否分别存在点 M，N，使得平面 CFM//平面 PEN？若存在，请指 出点 M，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 17.如图，圆 O 是一半径为 20 米的圆形草坪，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图 中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A，B 两点在 O 上，A，B，C，D 恰是一个正方形的 四个顶点.根据规划要求，在 A，B，C，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在 地下铺设 4 条到 A，B，C，D 四点线路 OA，OB，OC，OD. （Ⅰ）若正方形边长为 20 米，求广场的面积； （Ⅱ）求铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值. 18.已知抛物线 C： 2 4x y ，过点（2，3）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在点 A， B 处的切线交于点 P. （Ⅰ）当点 A 的横坐标为 4 时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）若 Q 是抛物线 C 上的动点，当 PQ 取最小值时，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程. 19.已知函数   ln ,x axf x a Rx   . （Ⅰ）若函数  f x 只有两个零点，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）设函数  f x 的两个零点为 1x ， 2x ，且 1 2x x ，求证： 1 2 2x x e  . 20.记无穷数列 na 的前 n 项中最大值为 nM ，最小值为 nm ，令 2 n n n M mb  ，则称 nb 是  na 的“极差数列”. （Ⅰ）若 3 2na n  ，求 nb 的前 n 项和； （Ⅱ）证明： nb 的“极差数列”仍是 nb ； 数学Ⅱ（附加题） 21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 2 5 1 3A      ， 4 6 2 1B      ，求二阶方阵 X，满足 AX=B. B.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： 32 cos 4 31 sin 4 x t y t           （ t 为参数），曲线C ： 2cos sin x y a      （ 为 参数），其中 0a  .若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右上方，求 a 的取值范围. C.[选修 4-5：不等式选讲] 已知正数 x ， y ， z 满足 1x y z   . （Ⅰ）求证： 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 5 x y z y z z x x y      ； （Ⅱ）求 2 16 16 16x y z  的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22.在如图所示的四棱锥 F ABCD 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB//CD，∠DAB=60°， FC⊥平面 ABCD，CB=CD=CF. （Ⅰ）求直线 DF 与面 BFC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角 D BF C  的余弦值. 23.对于正整数 n ，如果  k k N  个整数 1a ， 2a ，…， ka 满足 1 21 ka a a n     ， 且 1 2 ka a a n    ，则称数组  1 2, , , ka a a 为 n 的一个“正整数分拆”.记 1 2, , , ka a a 均 为偶数的“正整数分拆”的个数为 1 2, , , ,n kf a a a 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 ng . （Ⅰ）写出整数 4 的所有“正整数分拆”； （Ⅱ）对于给定的整数  4n n  ，设  1 2, , , ka a a 是 n 的一个“正整数分拆”，且 1 2a  ， 求 k 的最大值. 参考答案： 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学Ⅰ答案 一．填空题 1. 1, 2.-1 3. 2 2 4.20 5.0.2592 6. 7 2 7.-2 8. 2 0x x x 或 9. 2, 2   10. 1 96 11. 28 75 12. 1 5 13.10 14. 3 2 4 二、解答题 15.解：（Ⅰ）由     sin sin sina c A C a b B         2 2 22 2 2a c Ra Rc a b Rb a b c ab         . 由 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab    ，又∵ 0 C   ，∴ 3C  . 即角 C 的大小 3  . （Ⅱ） 2 1 1sin sin sin sin sin 23 2 6 4A B A A A               ∵ 20 3A   ∴当 3A  时， sin sinA B 的最大值为 3 4 . 16.解：（Ⅰ） 在菱形 AECD 中，由条件，知：DE⊥PF，DE⊥AF， AF PF F ∴DE⊥平面 PCF （Ⅱ）四边形 AECD 为菱形，∴AE=DC，AE//DC； 又∵点 E 为 AB 的中点，∴EB= DC，EB// DC， 即四边形 DEBC 为平行四边形. 由（Ⅰ）知，DE⊥平面 PCF，∴BC⊥平面 PCF. 又∵BC  面 PCB ∴平面 PBC⊥平面 PCF. （Ⅲ）存在满足条件的 M，N，且 M，N 分别是 PD，BC 的中点. 如图，分别取 PD，BC 的中点 M，N，连接 MF，CM，EN，PN. ∵四边形 DEBC 为平行四边形， ∴EF//CN，EF= 1 2 BC=CN，∴FC//EN 在 PDE 中，M，F 分别是 PD，DE 的中点，MF//PE 又∵EN，PE  面 PEN， PE EN E ，ME，CF  面 CMF， MF CF F ∴平面 CFM//平面 PEN. 17.解：（Ⅰ） 连接 AB，显然正方形 ABCD 的面积为 400ABCDS  . ∵OA=OB=AB=20，∴ AOB 为正三角形，则 3AOB   ， 故扇形 AOB 的面积为  2 21 1 200202 2 3 3AOBs r        . 又∵ AOB 的面积 23 20 100 34ABCS    . ∴弓形面积为  200 -100 33ABCAOBS S S   弓形 . 故广场面积为 200400 100 33ABCDS S    弓形 平方米. （Ⅱ）过点 O 作 OK⊥CD，垂足为 K，过点 O 作 OH⊥AD（或其延长线），垂足为 H. 设 0 4OAD         ，则 20sinOH  ， 20cosAH  . ∴ 2 40sin 20cosDH AD AH OH AH        . ∴  22 2 2400sin 40sin 20cos 20 3 2 2 sin 2 4OD OH DH               . 当 8   时，  20 2 1OD  最小值 故铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值  2 20 2 1 40 40 2    米. 18.解：（Ⅰ）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，当 1 4x  时， 1 4y  . 此时直线 AB 的方程为：  4 3 14 4 24 2 2y x y x      AB 直线方程与抛物线方程联立 2 1 22 4 y x x y      ，得： 2 2 8 0x x   由韦达定理， 24 8x   ，∴ 2 2x   ， 2 1y  . 由 2 4x y ，得： ' 2 xy  .∴ 1 22AP xk   ， 2 12BP xk    . AP 直线方程：  4 2 4 2 4y x y x      ① BP 直线方程：    1 1 2 1y x y x           ② 联立①②，得 1px  ， 2py   . 故点 P 的坐标（1，-2）. （Ⅱ）设 2 1 1, 4 xA x      ， 2 2 2 , 4 xB x      ，AB 直线方程：  2 3y k x   AB 直线方程与抛物线方程联立   2 3 2 4 y kx k x y      ，得：  2 4 4 3 2 0x kx k    由韦达定理，   1 2 1 2 4 4 2 3 x x k x x k      AP 直线方程：   2 2 1 1 1 1 14 2 2 4 x x x xy x x y x      ③ BP 直线方程：   2 2 2 2 2 2 24 2 2 4 x x x xy x x y x      ④ 联立③④，得 1 2 22p x xx k  ， 2 1 1 2 1 1 2 2 32 2 4 4p x x x x x xy k      . 所以点 P 的轨迹方程： 3y x  . 设  ,Q QQ x y ，则   2 23 2 843 8 2 2 2 4 2 4 2 Q Q QQ Q x x xx y PQ           当 2Qx  时， PQ 取最小值 2 ，此时 1Qy  .     222 2 1 2 3 2PQ k k        ，得 3 2k  . 此时，AB 直线方程：  3 32 32 2y x y x     故点 Q 的坐标（2，1），直线 l 的方程 3 2y x . 19.解：（Ⅰ）出题意知， ln 0x ax  ，得 ln xa x  ， 令   ln xg x x  ，   1 ln' 0xg x x   ，得 x e ∴  g x 在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减.     1g x g e e  极大值 . g（1）=0，当 x∈（e，+∞），g（x）>0. 故 10,a e     . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设 2 1 1x e x   ，  1 1 2 1 2 1 2 2 ln ln lnln x ax x x a x xx ax       ； 只要证 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 ln ln ln x x x x x ex x x a      即可. 令 2 1 x tx  ，则 1t  . 则 2 1 2 2 1 2 1 22 1 1 1 1 1ln 2 ln 2 02 ln ln 11 x x x x x x x ttxx x x t x          . 令    1ln 2 11 tg t t tt    .         2 2 2 11 4' 0 1 1 tg t t t t t       . ∴  g t 在（1，+∞）单调递增，    1 0g t g  ，得证. ∴ 1 2 2x x e  20.解：（Ⅰ）因为 na 为递增数列，故 3 2nM n  ， 1nm  . ∴  3 2 1 3 12 2n nb n    ∴ nb 的前 n 项和为   213 3 3 2 2 4 4n n nS n n    . （Ⅱ）因为     1 2 1 2 1max , , , max , , , 1,2,3,n na a a a a a n    ，     1 2 1 2 1min , , , min , , , 1,2,3,n na a a a a a n    ， ∴        1 2 1 1 2 1 1 2 1 2max , , , min , , , max , , , min , , ,n n n na a a a a a a a a a a a       ∴  1 1,2,3,n nb b n    . 又因为 1 1 1 0b a a   ， ∴    1 2 1 2 1max , , , min , , ,n n n nb b b b b b b b b     ， 所以 nb 的“极差数列”仍是 nb . 21【选做题】 A.[选修 4-2：矩阵与变换] 解：由题意，得 2 5 11 3A   . ∴ 1 3 51 1 2A AA         . 由 AX B ，得 1X A B ，所以 3 5 4 6 2 23 1 2 2 1 0 8X                 . 所求的二阶方阵 2 23 0 8X      . B.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 解：直线 l 的普通方程： 3 0x y   . 由题意， 2cos sin 3 0a    ，  2 4 sin 3a      ∴ 2 4 3a   ，解得 0 5a  . C.[选修 4-5：不等式选讲] 解：（Ⅰ）         2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x y zy z z x x y x y zy z z x x y                    ∵ 1x y z   ∴         22 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 x y zx y z y z z x x y y z z x x y             . （Ⅱ） 2 2316 16 16 3 16x y z x y z    当且仅当 2x y z  时，“=”成立 ∵ 1x y z   ∴ 22 1z z  ， 1 2z  . 当 1 4x y  ， 1 2z  时， 2 33 416 16 16 3 16 6x y z    故 2 16 16 16x y z  的最小值为 6. 【必做题】 22.解： 方法一：定义法 （Ⅰ）过点 C 作 CG⊥BC 交 BD 于点 G，过点 G 作 GE//DF 交 BF 于点 E，连接 CE. 故直线 GE 与平面 BFC 所成的角即为直线 DF 与平面 BFC 所成的角. ∵FC⊥平面 ABCD，FC  平面 FCB ∴平面 ABCD⊥平面 FCB 又∵ ABCD FCB BC CG BC CG FCB CG ABCD        平面 平面 平面 平面 故 CEG 直线 GE 与平面 BFC 所成的角. 设 BC=DC=CF= a . 在 BCD 中，∵BC=CD， 120DCB   ∴ 30BDC DBC    ， 2 cos30 3BD a a   . 在 Rt GCB 中， 3tan30 3GC BC a   ， 2 32 3BG CG a  ； 在 BDF 中， 2 3 2 23 2 33 aGE BG GE a aDF BD a     . 在 Rt GCE 中， 3 63sin 42 2 3 aCGCEG GE a     . 故直线 DF 与平面 BFC 所成的角的正弦值 6 4 . 方法二：空间向量（略） （Ⅱ）方法一：找平面角 由（Ⅰ）知，CG⊥平面 FCB，过点 C 作 CH⊥BF 交 BF 于点 H， 连接 GH，显然 H 是 BF 的中点. ∴CH⊥BF，GH⊥BF. 即 CHG 为二面角 D BF C  的平面角. 在 Rt FCB 中， 2 2BC CF a CH a    ； 在 Rt GCB 中， 3 3GC a ； 在 Rt GCH 中， 2 2 2 2 3 2 30 3 2 6GH GC CH a a a                  ； 2 152cos 530 6 aCHCHG GH a     . 即二面角 D BF C  的平面角的余弦值 15 5 . 方法二：空间向量（略） 23.解：解：（Ⅰ）（1，1，1，1），（1，1，2），（1，3），（2，2），（4）. （Ⅱ）由题意，知 1 22 ka a a n     ，且 1 2 ka a a n    ， 得 1 2 + 2kn a a a k    ，即 2 nk  . ∴当 n 是偶数时， k 的最大值是 2 n （此时，   2 2,2, ,2 k 共有 个 是 n 的一个“正整数分拆”）； 当 n 是奇数时， k 的最大值是 1 2 n  （此时，   1 2 2,2, ,2,3 k 共有 个 是 n 的一个“正整数分拆）.