福建省高考压轴卷 数学文试题

福建省高考压轴卷 数学文试题

90 110 周长(cm) 频率/组距 100 120 130 0.01 0.02 0.04 80 第 2 题图 i=1 S=0 WHILE i<=3 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END 福建省高考压轴卷 数学文试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共 6 页．满分 150 分．考试时间 120 分 钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出 答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的体积公式： 34 3V R 其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在 答卷相应位置上） 1、设集合 *{ | 4}U x N x   ， , ，则 （ ） A． B． C． D． 2、为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底 部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如 图),那么在这 100 株树木中,底部周长大于 110cm 的株数是（ ） A．70 B．60 C．30 D．80 3、若 0 1x y   ,则（ ） A． log 3 log 3x y B．3 3y x C． 4 4log logx y D． 1 1( ) ( )4 4 x y 4、右边程序执行后输出的结果是 S  （ ） A．3 B．6 C．10 D．15 第 4 题图 5、已知函数 ,则 1[ ( )]16f f  （ ） A． 1 9 B．9 C． 1 9  D． 9 6、将函数 sin 2y x 的图像向左平移 4  个单位长度，所得函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 7、“函数 2( ) 2f x x x m   存在零点”的一个必要不充分条件是（ ） A． 1m  B． 2m  C． 0m  D．1 2m  8、过点 作圆 的两条切线 ， ， 为切点），则 （ ） A． B． C． D． 9、角 的终边经过点 A ( 3, )a ，且点 A 在抛物线 21 4y x  的准线上，则 sin  （ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 3 2  D． 3 2 10、函数 1 3y x x  的图象大致为（ ） 11、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆， 尺寸如图，那么这个几何体的外接球的体积为（ ） A． 4 2 π3 B． 8 2 π3 C． 5 π6 D． 5 5 π6 12、非空数集   * 1 2 3 nA a a a a n  N， ， ， ， ( )中，所有元素的算术平均数记为 E A( )，即 1 2 3 na a a aE A n     ( ) ．若非空数集 B 满足下列两个条件：① B A ；② E B E A( ) ( )，则称 B 为 A 的一个“保均值子集”．据此，集合 1 2 3 4 5， ， ， ， 的“保均值子集”有（ ） A． 5 个 B． 6 个 C． 7 个 D．8 个 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 请把答案填在答卷相应位置上） 13、在复平面上,若复数1 ( )bi b R  对应的点恰好在实轴上,则b  _______. 14、焦点在 y 轴上，渐近线方程为 2y x  的双曲线的离心率为_______. 15、已知函数 164 ( 1)1y x xx      ，当 x a 时， y 取得最小值b ，则 a b  _______. 16、定义映射 :f A B ，其中 {( , ) , }A m n m n  R ，B  R ，已知对所有的有序正整数．．．对 ( , )m n 满足下 述条件: ① ( ,1) 1f m  ； ②若 n m ， ( , ) 0f m n  ； ③ ( 1, ) [ ( , ) ( , 1)]f m n n f m n f m n    ； 则 ( ,2)f n  _______. 三、解答题（本大题共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答） 17．（本题满分 12 分） 函数 ( )的部分图像如右图所示. （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ） ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 ， 其中 (0, )2A  ，且 2 2 2a c b ac+ - = ，求角 , ,A B C 的大小. D C B A E F M N P F E A B C D 18．（本题满分 12 分） 设{ }na 为等差数列， nS 为数列{ }na 的前 n 项和，已知 3 73, 7S S   . （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 4 2 na nb n   ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 19．（本题满分 12 分） 已知向量 ),(),1,2( yxba  （Ⅰ）若 { 1,0,1}, { 2, 1,2}x y     ，求向量 a b  的概率； （Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组 构成区域  ： ，求二元数组 满足  1 的概率. 20．（本题满分 12 分） 如图（1），在等腰梯形 CDEF 中，CB、DA 是梯形的高， 2AE BF  ， 2 2AB  ,现将梯形沿 CB、DA 折起，使 EF//AB 且 2EF AB ，得一简单组合体 ABCDEF 如图（2）所示，已知 , ,M N P 分别为 , ,AF BD EF 的中点． （Ⅰ）求证： //MN 平面 BCF ； （Ⅱ）求证： AP  平面 DAE . 图（1） 图（2） 21．（本题满分 12 分） 已知函数 3 21( ) 13f x x ax   ( )a R ． （Ⅰ）若 a>0，函数 y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 a>2，求证：函数 y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点． 22．（本题满分 14 分） 已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F2，点 F1 与 F2 关于坐标原点对称，直线 m 垂直于 x 轴（垂足为 T），与抛物 线交于不同的两点 P、Q，且 1 2 5F P F Q    . （Ⅰ）求点 T 的横坐标 0x ； （Ⅱ）若椭圆 C 以 F1,F2 为焦点，且 F1,F2 及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为 1. ① 求椭圆 C 的标准方程； ② 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，设 2 2F A F B  ，若  2, 1 , TA TB     求 的取值范围. 福建省高考压轴卷 数学文试题答案 一、选择题（本大题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1、D 2、C 3、C 4、B 5、A 6、B 7、B 8、D 9、B 10、A 11、D 12、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，16 分．） 13、0 14、 5 2 15、6 16、 2 2n  三、解答题（本大题有 6 小题，共 74 分．） 17. 解：（Ⅰ）由图像可知 2M  ………2 分 且 ∴ ………4 分 ∴ ………5 分 故函数 的解析式为 ………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴ ………7 分  (0, )2A  3A   ………8 分 由余弦定理得： 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac + -= = = ………9 分  (0, )B  3B   ………10 分 从而 ( ) 3C A B      3A B C    ………12 分 18. 解：（Ⅰ）设等差数列{ }na 的公差为 d 依题意得 1 1 13 3 2 32 17 7 6 72 a d a d            ………2 分 解得 1 2 1 a d     . ………5 分 ∴ 2 ( 1) 1 3na n n       ………6 分 M N P F E A B C D （Ⅱ）由（Ⅰ）得 3 14 2 2n n nb n n      ………7 分 ∴ 1 2 3n nT b b b b     0 1 2 1(2 2 2 2 ) (1 2 3 )n n           ………9 分 1 2 ( 1) 1 2 2 n n n   ………11 分 ( 1)2 1 2 n n n    ………12 分 19. 解：（Ⅰ）从 { 1,0,1}, { 2, 1,2}x y     取两个数 ,x y 的基本事件有 ( 1, 2),( 1, 1),( 1,2),(0, 2),      (0, 1),(0,2),(1, 2),(1, 1),(1,2)   ，共 9 种 …………2 分 设“向量 a b  ”为事件 A 若向量 a b  ，则 2 0x y  …………3 分 ∴事件 A 包含的基本事件有 ( 1,2),(1,2) ，共 2 种 …………5 分 ∴所求事件的概率为 2( ) 9P A  …………6 分 （Ⅱ）二元数组 构成区域   设“二元数组 满足  1”为事件 B 则事件 B  如图所示 …………9 分 ∴所求事件的概率为 21( ) 1 12 4 8P B      …………12 分 20. 解：（Ⅰ）证明：连结 AC ，∵四边形 ABCD 是矩形， N 为 BD 中点， ∴ N 为 AC 中点， 在 ACF 中， M 为 AF 中点 ∴ //MN CF ∵CF  平面 BCF ， MN  平面 BCF //MN 平面 BCF …………4 分 （Ⅱ）证明：依题意知 ,DA AB DA AE  且 AB AE AI ∴ AD  平面 ABFE …………6 分 ∵ AP  平面 ABFE ∴ AP AD …………7 分 ∵ P 为 EF 中点，∴ 2 2FP AB  结合 //AB EF ，知四边形 ABFP 是平行四边形 …………9 分 ∴ //AP BF ， 2AP BF  而 2, 2 2AE PE  ， ∴ 2 2 2AP AE PE  ∴ 90EAP   ，即 AP AE …………11 分 又 AD AE AI ∴ AP  平面 ADE …………12 分 21. 解：（Ⅰ）由已知 2( ) 2 ( 2 )f x x ax x x a     令 ( ) 0f x  ，解得 0x  或 2x a 0a  0x  不在(a，a 2-3)内 要使函数 y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需 22 3a a a   解得 3a  …………6 分 （Ⅱ） 2a  2 4a  ( ) 0f x  在（0，2）上恒成立，即函数数 y=f(x)在（0，2）内单调递减 又 11 12(0) 1 0, (2) 03 af f     函数 y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点 …………12 分 22. 解：（Ⅰ）由题意得 )0,1(2F ， )0,1(1 F ，设 ),( 00 yxP ， ),( 00 yxQ  则 ),1( 001 yxPF  ， ),1( 002 yxQF  . 由 521  QFPF ， 得 51 2 0 2 0  yx 即 42 0 2 0  yx ，① …………………3 分 又 ),( 00 yxP 在抛物线上，则 0 2 0 4xy  ，② 联立①、②易得 20 x ……………………5 分 （Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，由题意得 1c ， 设椭圆C 的标准方程为 )0(12 2 2 2  bab y a x ， 由 1 2 12 c b   ，解得 1b  …………………6 分 从而 2 2 2 2a b c   故椭圆C 的标准方程为 12 2 2  yx ……………………7 分 （ⅱ）方法一： 容易验证直线l 的斜率不为 0，设直线l 的方程为 1x ky  将直线l 的方程代入 2 2 12 x y  中得： 2 2( 2) 2 1 0k y ky    .………………8 分 设 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0 0A x y B x y y y 且 ，则由根与系数的关系， 可得： 1 2 2 2 2 ky y k     ⑤ 1 2 2 1 2y y k    ⑥ …………………9 分 因为 BFAF 22  ，所以 1 2 y y  ，且 0  . 将⑤式平方除以⑥式，得： 2 2 1 2 2 2 2 1 4 1 42 22 2 y y k k y y k k            由   5 1 1 12, 1 + 2 2 02 2                  2 2 1 4 02 2 k k      所以 7 20 2  k ……………………………………………………………11 分 因为 1 1 2 2( 2, ), ( 2, )TA x y TB x y     ，所以 1 2 1 2( 4, )TA TB x x y y      ， 又 1 2 2 2 2 ky y k     ，所以 2 1 2 1 2 2 4( 1)4 ( ) 2 2 kx x k y y k         ， 故 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 16( 1) 4| | ( 4) ( ) ( 2) ( 2) k kTA TB x x y y k k            2 2 2 2 2 2 2 2 16( 2) 28( 2) 8 28 816( 2) 2 ( 2) k k k k k          ， 令 2 1 2t k   ，因为 2 20 7k  所以 2 7 1 1 16 2 2k   ，即 7 1[ , ]16 2t  ， 所以 2 2 27 17| | ( ) 8 28 16 8( )4 2TA TB f t t t t         . 而 7 1[ , ]16 2t  ，所以 169( ) [4, ]32f t  . 所以 13 2| | [2, ]8TA TB   .……………………………………………………14 分 方法二： 1）当直线l 的斜率不存在时，即 1 时， )2 2,1(A ， )2 2,1( B ， 又T )0,2( ，所以 2 2( 1, ) ( 1, ) 22 2TA TB        …………8 分 2）当直线l 的斜率存在时，即  1,2  时，设直线l 的方程为 )1(  xky 由      12 2 2 yx kkxy 得 0224)21( 2222  kxkxk 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，显然 1 20, 0y y  ，则由根与系数的关系， 可得： 2 2 21 21 4 k kxx  ， 2 2 21 21 22 k kxx   ……………………9 分 22121 21 22)( k kkxxkyy   ⑤ 2 2 2121 2 21 21)1)(( k kxxxxkyy   ⑥ 因为 BFAF 22  ，所以 1 2 y y  ，且 0  . 将⑤式平方除以⑥式得： 221 421 k   由  1,2  得       2,2 51  即      0,2 121  故 021 4 2 1 2   k ，解得 2 72 k ………………………………………10 分 因为 1 1 2 2( 2, ), ( 2, )TA x y TB x y     ，所以 1 2 1 2( 4, )TA TB x x y y      ， 又 2 2 21 21 )1(44 k kxx   ， 故 22 2 22 22 2 21 2 21 2 )21( 4 )21( )1(16)()4( k k k kyyxxTBTA   22222 222 )21( 2 21 104)21( 2)21(10)21(4 kkk kk   …………………11 分 令 221 1 kt  ，因为 2 72 k 所以 8 1 21 10 2  k ，即     8 1,0t ， 所以 2 2 25 172 10 4 2( )2 2TA TB t t t        1694, 32     . 所以       8 213,2TBTA ……………………13 分 综上所述： 13 2| | [2, ]8TA TB   . ……………………14 分