四川省遂宁市2021届高三上学期第一次诊断性考试 数学（理）试题答案

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书 数学!理工类"试题答案 第 ! 页!共 " 页" 高 !"#$ 级第一次诊断性考试 数学!理工类"参考答案 评分说明! !" 本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #" 对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $" 解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %" 只给整数分"选择题和填空题不给中间分" 一"选择题# &' 分$ !! 解析#选择 (! 因为 ") $ # " # # # % % ) $ # " # # # %& $) $ # " ! #*% "! #*! " # ' % ) $ # " ! # # # % %&所 以! $ % " " % $) $ # " # & # % % $ # " ! # # # % % ) $ # " # ' # # % % ! 命题意图#本小题主要考查指数不等式&一元二次不等式的解法&补集与交集运算等基础知识' 考查运算求解能力&知识交汇的应用意识 ! #! 解析#选择 (" 因为 %+#, !*, )#& ! % & ( % "&所以 %+#,)#& ! *, "&即 %+#,)#&*#&,! 根据复数相 等的条件&得 %)#& & #)*#& ) * + & 解得 %)*# & &)*! ) * + & 所以 %+&,)*#*, &所对应的点在复平面内位于第三 象限 ! 命题意图#本小题主要考查复数的乘法运算&两个复数相等的条件&复数的几何意义等基础知 识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想 ! $! 解析#选择 -! 因为 .,/ ! )#.,/ ! # + ! " ! &所以 .,/ ! )#01. ! ! 法一#有 .,/ # ! )%01. # ! &代入 .,/ # ! +01. # ! )! &解得 01. # ! ) ! 2 ! 法二#有 34/ ! )# &所以 01. # ! ) 01. # ! .,/ # ! +01. # ! &易知 01. !, ' &分子(分母同时除以 01. # ! &得 01. # ! ) ! 34/ # ! +! ) ! # # +! ) ! 2 ! 命题意图#本小题主要考查三角函数的恒等变换&同角间的三角函数关系&诱导公式&三角函数 求值等基础知识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想 ! 数学!理工类"试题答案 第 # ! 页!共 " 页" %! 解析#选择 5" 由已知&因圆 # # + ' # )#2 在点! *$ & % "处的切线的斜率为 * *$ % ) $ % &所以切线 方程为 ' *%) $ % ! #+$ "&即直线 ( # $#*% ' +#2)'! 命题意图#本小题主要考查圆的切线方程等基础知识'考查运算求解能力&数形结合等数学 思想 ! 2! 解析#选择 6" 因为 ) 为 "* 的中点&且 -. ")) " -. "$+ # -. "+ &所以 -. "*)# " -. "$+# # -. "+ &因为 $ & * & + 三点共线&所以 # " +# # )! &所以 " + # ) ! # ! 法二#!特殊点法" * 为 $+ 上异于 $ & + 的任意一点时 " + # 都可得到唯一结果&可取 * 为 $+ 的中点&则有 -. "*) ! # -. "$+ ! # -. "+ &而 -. ")) ! # -. "*) ! % -. "$+ ! % -. "+ &所以 " + # ) ! # ! 命题意图#本小题主要考查平面向量的基本定理&向量加法的几何意义&向量共线等基础知识' 考查运算求解能力&应用意识&考查化归与转化&数形结合等数学思想 ! &! 解析#选择 5" 由环比增长折线图可知& - & 6 错误'由同比折线图可知 ( 错误& 5 项正确 ! 命题意图#本小题主要考查统计图表等基本知识'考查数据处理能力和应用意识 ! 7! 解析#选择 6" 根据题意&甲有 % 种派法&其余 % 人共有 #% 种派法&于是共有 8& 种派遣方法 ! 命题意图#本小题主要考查计数原理(排列及排列数等基础知识'考查逻辑推理能力和应用意 识&考查分类与整合等数学思想 ! 9! 解析#选择 (" 函数 , ! # "是偶函数&排除 - & 6 &当 # / ' 时& , ! # " ): # *# # *# & , - ! # " ): # *##* ! & , - !" ):*$ # ' & , - ! # " ): # *2 / ' &知存在 # ' ( !& # "使得 , - ! # " )' &故选 (" 命题意图#本小题主要考查函数图象和性质等基本知识'考查逻辑推理能力及应用意识&考查 数形结合(化归与转化等数学思想 ! 8! 解析#选择 6" 由离心率 .) % # +% # +& %槡 # 槡) 2 &解出 % 槡) # '由 &) % # 槡 槡+&)# # &所以渐近线 方程为 ' );## &焦点坐标为! 槡; !' & ' " ! 所以焦点到渐近线的距离为 槡##! 命题意图#本小题主要考查双曲线的标准方程(性质&点到直线的距离等基础知识&考查运算求 解能力 ! !'! 解析#选择 -" 将函数 , ! # " ).,/ $ #+ ! ! " % ! $/ ' "的图象向右平移! % 个单位长度后得到函数 / ! # "的图象对应的函数为 / ! # " ).,/ $ #* ! ! " % + ! ) * % ).,/ $ #* $! % + ! ! " % &因为函数 / ! # " 的图象的一条对称轴是直线 #)* ! % &所以 * $! % * $! % + ! % ) ! # +0 ! & 0 ( & &解得 $ )* ! # * #0 & 0 ( & &又 $/ ' &所以当 0)*! 时& $ 取最小值&为 $ # ! 数学!理工类"试题答案 第 $ ! 页!共 " 页" 命题意图#本小题主要考查三角函数的图象变换及其性质&最值问题等基础知识'考查运算求 解能力及应用意识'考查化归与转化思想&数形结合等数学思想 ! !!! 解析#选择 5" 由 , ! #+# " ) !#+ , ! #槡 "&得 , ! *#+# " ) !#+ , ! *#槡 " ) !#+ , ! #槡 " ) , ! #+# "&则 , ! # "的图象关于直线 #)# 对称&于是 , ! #+% " ) , ! *# " ) , ! # "&故 , ! # "的一 个周期为 % &由 , ! #+# " ) !#+ , ! #槡 "&令 #)*! 得 , !" ) , ! *!+# " ) !#+ , ! *!槡 " ) !#+ , !槡 " / ' &! , !"" # * , !" *!#)' &解得 , !" )% 或 *$ !负值舍去"&所以 , ! #'#! " ) , !" )%! 命题意图#本小题主要考查函数性质等基本知识'考查抽象概括(逻辑推理(运算求解能力及 应用意识'考查化归与转化等数学思想 ! !#! 解析#选择 -" 由题意&平面 "$+* 0 平面 "1$ &得 "1 0 $+ '由 $2 0 平面 "1+ &有 "1 0 $2 '从而 "1 0 平面 1$+ &所以 $1 0 "1 &所以 3 1*"$+ )3 +*"1$ ) ! $ + ! # 1" + 1$ + $+) ! $ 1" + 1$! 令 1")4 & 1$)5 &则 4 # +5 # )%! 所以 3 1*"$+ ) ! $ 45 ' ! $ + 4 # +5 # # ) # $ &其中 , ) -当且仅当 4)5 槡) # 时取得 ! 命题意图#本小题主要考查线面垂直(面面垂直(三棱锥的体积(基本不等式等基础知识'考查 空间想象能力(逻辑推理能力和创新意识'考查化归与转化等数学思想 ! 二"填空题# ' 分$ !$! 解析#填 $ # ! 作出约束条件 #+ ' ' # & ##* ' & ! & ' & ' ) * + & 表示的可行域是以 ! # & ! " ' &! # & ' "&!& ! "三点为顶点的 三角形及其内部&当目标函数 6) ! # #+ ' 过点!& ! "时&取得最大值&且最大值为 $ # ! 命题意图#本小题主要考查约束条件的不等式组表示的可行域&线性规划求最值等基础知识' 考查运算求解能力与应用意识'考查数形结合&化归与转化等数学思想 ! !%! 解析#填 $ 2 ! 方法一 ! 设事件 " 为,这次比赛乙队不输-&则事件1 " 为,这次比赛甲队获胜-&因 为甲队获胜的概率 1 ! 1 " " ) # 2 &所以这次比赛乙队不输的概率 1 ! " " )!*1 ! 1 " " )!* # 2 ) $ 2 ! 方法二 ! 设事件 " 为,这次比赛乙队不输-&事件 $ 为,这次比赛乙队获胜-&事件 + 为,这次 比赛甲(乙两队打平-&所以 1 ! + " ) ! !' & 1 ! $ " )!* # 2 * ! !' ) ! # &所以这次比赛乙队不输的概 率 1 ! " " )1 ! $ " +1 ! + " ) ! # + ! !' ) $ 2 ! 数学!理工类"试题答案 第 % ! 页!共 " 页" 命题意图#本小题主要考查互斥事件的概率等基础知识'考查运算求解等数学能力'考查化归 与转化等数学思想 ! !2! 解析#填 "#$ ! 根据线面垂直的性质知命题 " 正确'由线面平行的性质和线面垂直的性质知 命题 # 正确'由面面垂直的性质和判定知命题 % 不正确'由面面平行的性质知命题 $ 正确 ! 命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系等基础知识'考查空间想象能 力(逻辑推理能力'考查化归与转化等思想方法 ! !&! 解析#填 79 / #>7'& & 所以&能在犯错误的概率不超过 '>!' 的前提下认为评分为,优良-与性别有关 ! % 分……… ! # "由已知得体验度评分为) 2' & ' "和) 8' & !'' *的顾客分别有 !' 人& #' 人&则在随机抽取的 & 人中评分为) 2' & ' "有 # 人&评分为) 8' & !'' *有 % 人 ! 2 分…………………………………… 则 9 可能的取值有 ' & ! & #! 1 ! 9)' " ) + % % + % & ) ! !2 & 1 ! 9)! " ) + ! # + + $ % + % & ) 9 !2 & 1 ! 9)# " ) + # # + + # % + % & ) & !2 & 9 分………………… 则 9 的分布列为 9 ' ! # 1 ! !2 9 !2 & !2 !!!!!!!!!!! 8 分…………………………………………………………………… 所以& )9)'= ! !2 +!= 9 !2 +#= & !2 ) % $ ! !# 分………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查统计案例(卡方分布(离散型随机变量的分布列和数学期望等基础 知识'考查抽象概括(数据分析处理等能力和应用意识 ! !8! 解析#!"在 4 +*) 中&由正弦定理得 +) .,/ 5 +*) ) +* .,/ 5 +)* & 所以 .,/ 5 +)*) +*.,/ 5 +*) +) ) 槡$$= # $ 槡%$ ) ! # & $ 分………………………………………… 因为 +* # +) &所以 5 +)* 为锐角&所以 5 +)*)$'?! % 分…………………………………… 所以 5 ")+) 5 ")** 5 +)*)!#'?*$'?)8'? & 所以 "+) ") # ++)槡 # ) !# # + !槡%$ "槡 # 槡)9$! & 分………………………………………… ! # "在 4 "$+ 中&由余弦定理得 "+ # )"$ # +$+ # *#"$ + $+01.&'? & 即 !8#)"$ # +$+ # *"$ + $+ & #"$ + $+*"$ + $+)"$ + $+ & 8 分…………………… 当且仅当 "$)$+ 槡)9$ 时等号成立&所以 "$ + $+ ' !8#! !' 分…………………………… 所以 7 4 "$+ ) ! # "$ + $+.,/&'? 数学!理工类"试题答案 第 ' ! 页!共 " 页" ' ! # =!8#= 槡$ # 槡)%9$! !# 分…………………………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查正弦定理&余弦定理&勾股定理&三角形的面积等基础知识'考查运 算求解能力&推理论证能力与应用意识'考查化归与转化思想 ! #'! 解析#!"由已知& ": 0 平面 "$+* & 所以& ": 0 "$ & ": 0 "*! # 分………………………………………………………………… 又 "$)":)"*)# & "$ 0 "* & 所以& $* # )"$ # +"* # )9 & $: # )"$ # +": # )9 & *: # )"* # +": # )9 & 则 $*)$:)*: & 所以 4 $*: 是正三角形 ! 2 分…………………………………………………………………… ! # "因为 "$ 0 "* & ": 0 平面 "$+* &于是&可以 " 为原点&直线 "$ & "* & ": 分别为 # 轴& ' 轴& 6 轴建立空间直角坐标系 ! 由 +* 6 平面 "$: &易知 +* 6 "$ &又 #+*)"$ &则 $ ! # & ' & ' "& + !& # & ' "& * ! ' & # & ' "& : ! ' & ' & # " ! 所以 -. $*) ! *# & # & ' "& -. $:) ! *# & ' & # " ! 7 分…………………………… 设平面 $*: 的一个法向量为 !) ! # & ' & 6 "& 则 ! + -. $*)*##+# ' )' & ! + -. $:)*##+#6)' ) * + ! 取 #)! &得 !) !& ! & ! " ! 8 分…………………………………………………………………… 同理可求平面 +$: 的一个法向量为 ") ! # & ! & # " ! !' 分……………………………………… 所以& 01. / ! & " 0 ) " ! + " " " ! " + " " " ) 2 槡$$ ) 槡2$ 8 & 即二面角 +*$:** 的余弦值为 槡2$ 8 ! !# 分…………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系(二面角等基础知识'考查空 间想象能力(逻辑推理能力(运算求解能力&考查化归与转化等思想方法 ! #!! 解析#!"证明#由题可知 , ! # " )# ! : # *# " *# # 分………………………………………………………… 直线 ( 的极坐标方程可变形为 & 01. ! * & .,/ ! *!)' & 于是&其直角坐标方程为 #* ' *!)'> 2 分…………………………………………………… ! # "由方程组 #* ' *!)' & # # # + ' # ) * + )! 消元&有 $# # *%#)'! 数学!理工类"试题答案 第 " ! 页!共 " 页" 由此可知&点 " & $ 的坐标分别为! ' & *! "& % $ & ! " ! $ & 7 分……………………………………… 直线 1" & 1$ 的斜率分别为 0 ! ) *! '*# ) ! # & 0 # ) ! $ *' % $ *# )* ! # ! 所以& 0 ! +0 # ) ! # + * ! " ! # )' & 于是&直线 1" & 1$ 关于 # 轴对称 ! !' 分……………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查曲线的参数方程(极坐标方程等基础知识&考查运算求解能力&考 查化归与转化等数学思想 ! #$! 解析#!"当 # ' *! 时& , ! # " )*##+#*#*!)*$#+! & % &得 # ' *! ' 当 *! # # ' ! 时& , ! # " )*##+#+#+!)*#+$ & % &此时无解' 当 # / ! 时& , ! # " )##*#+#+!)$#*! & % &得 # & 2 $ ! 所以&不等式的解集为! * @ & *! * 8 2 $ & + @ ) " ! % 分………………………………………… ! # "由!"&当 # ' *! 时& , ! # " )*$#+! & % '当 *! # # ' ! 时& , ! # " )*#+$ & # '当 # / ! 时& , ! # " )$#*! / # &则 #)! 时& , ! # "的最小值为 # &即 :)#! 于是 % && > 满足 %+&+>)# & & 分……………………………………………………………… ! %+& + ! &+> + ! >+% ) ! # ! %+&+> " ! %+& + ! &+> + ! >+ ! " % ) ! % )! %+& " + ! &+> " + ! >+% "* ! %+& + ! &+> + ! >+ ! " % ) ! % $+ &+> %+& + %+& &+> + &+> >+% + >+% &+> + >+% %+& + %+& >+ ! " ) * % & ! % $+ # &+> %+& + %+& &+槡 > +# &+> >+% + >+% &+槡 > +# >+% %+& + %+& >+槡! ") * % ) 8 % & 当且仅当 &+> %+& ) %+& &+> 且 &+> >+% ) >+% &+> 且 >+% %+& ) %+& >+% 即 %)&)> 时取, ) - ! !' 分……………… 命题意图#本小题主要考查含绝对值的不等式(基本不等式(不等式证明方法等基础知识'考 查运算求解(推理论证等数学能力'考查分类与整合(化归与转化等数学思想 !