高中数学人教a版必修4阶段质量检测(一) word版含解析

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高中数学人教a版必修4阶段质量检测(一) word版含解析

阶段质量检测(一) (A 卷 学业水平达标) (时间:90 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.在 0°~360°的范围内,与-510°终边相同的角是( ) A.330° B.210° C.150° D.30° 答案:B 2.若-π 2<α<0,则点 P(tan α,cos α)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B 3.已知角α的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(sin 120°,cos 120°),则α可以是 ( ) A.60° B.330° C.150° D.120° 答案:B 4.若 sin2θ+2cos θ=-2,则 cos θ=( ) A.1 B.1 2 C.-1 2 D.-1 答案:D 5.函数 f(x)=tan x+π 4 的单调增区间为( ) A. kπ-π 2 ,kπ+π 2 ,k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C. kπ-3π 4 ,kπ+π 4 ,k∈Z D. kπ-π 4 ,kπ+3π 4 ,k∈Z 答案:C 6.已知 sin π 4 +α = 3 2 ,则 sin 3π 4 -α 的值为( ) A.1 2 B.-1 2 C. 3 2 D.- 3 2 答案:C 7.函数 y=cos2x+sin x -π 6 ≤x≤π 6 的最大值与最小值之和为( ) A.3 2 B.2 C.0 D.3 4 答案:A 8.如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间 -π 6 ,5π 6 上的图象,为了得到这个函数的图 象,只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点( ) A.向左平移π 3 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍,纵坐标不变 B.向左平移π 3 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.向左平移π 6 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍,纵坐标不变 D.向左平移π 6 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 答案:A 9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象如 图所示,则函数的解析式为( ) A.y=2sin 2x-π 4 B.y=2sin 2x-π 4 或 y=2sin 2x+3π 4 C.y=2sin 2x+3π 4 D.y=2sin 2x-3π 4 答案:C 10.函数 f(x)=Asin ωx(ω>0),对任意 x 有 f x-1 2 =f x+1 2 ,且 f -1 4 =-a,那么 f 9 4 等于( ) A.a B.2a C.3a D.4a 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知 sin(π-α)=-2 3 ,且α∈ -π 2 ,0 ,则 tan(2π-α)=________. 解析:sin(π-α)=sin α=-2 3 , ∵α∈ -π 2 ,0 , ∴cos α= 1-sin2α= 5 3 ,tan(2π-α)=-tan α=-sin α cos α =2 5 5 . 答案:2 5 5 12.已知 sin θ+cos θ=4 3 0<θ<π 4 ,则 sin θ-cos θ的值为________. 解析:∵sin θ+cos θ=4 3 , ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=16 9 , ∴2sin θcos θ=7 9.又 0<θ<π 4 ,∴sin θ<cos θ. ∴sin θ-cos θ=- sin θ-cos θ2 =- 1-2sin θcos θ=- 2 3 . 答案:- 2 3 13.定义运算 a*b 为 a*b= aa≤b, ba>b, 例如 1] . 解析:由题意可知,这实际上是一个取小的自定义函数,结合函数的图象可得其值域为 -1, 2 2 . 答案: -1, 2 2 14.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π 2 ,y=f(x)的部分图象如 图,则 f π 24 =________. 解析:由图象可知,此正切函数的半周期等于3π 8 -π 8 =2π 8 =π 4 ,即周期为π 2 ,所以ω=2.由 题意可知,图象过定点 3π 8 ,0 ,所以 0=Atan 2×3π 8 +φ , 即3π 4 +φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-3π 4 (k∈Z), 又|φ|<π 2 ,所以φ=π 4.再由图象过定点(0,1), 所以 A=1.综上可知 f(x)=tan 2x+π 4 . 故有 f π 24 =tan 2× π 24 +π 4 =tan π 3 = 3. 答案: 3 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知 tan α tan α-1 =-1,求下列各式的值: (1)sin α-3cos α sin α+cos α ; (2)sin2α+sin αcos α+2. 解:由 tan α tan α-1 =-1,得 tan α=1 2. (1)sin α-3cos α sin α+cos α =tan α-3 tan α+1 = 1 2 -3 1 2 +1 =-5 3. (2)sin2α+sin αcos α+2 =sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α) =3sin2α+sin αcos α+2cos2α sin2α+cos2α =3tan2α+tan α+2 tan2α+1 = 3 1 2 2+1 2 +2 1 2 2+1 =13 5 . 16.(本小题满分 12 分)已知α是第二象限角, 且 f(α)=sin α-π 2 cos 3π 2 +α tanπ-α tan-α-πsin-π-α . (1)化简 f(α); (2)若 cos α+3π 2 =3 5 ,求 f(α)的值. 解:(1)f(α)=-cos αsin α-tan α -tan αsin α =-cos α. (2)∵cos α+3π 2 =sin α=3 5 , ∴sin α=3 5.又∵α是第二象限角, ∴cos α=- 1- 3 5 2=-4 5. ∴f(α)=- -4 5 =4 5. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π 2 的图象在 y 轴上的截 距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2). (1)求 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 3 倍,纵坐标不变,然后再将所得的 图象沿 x 轴向右平移π 3 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,写出函数 y=g(x)的解析式,并 用“五点法”作出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解:(1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)在 y 轴上的截距为 1,最大值为 2,∴A=2,1=2sin φ,∴sin φ =1 2. 又∵|φ|<π 2 ,∴φ=π 6. ∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2), ∴T=2[(x0+3π)-x0]=6π, ∴ω=2π T =2π 6π =1 3. ∴函数的解析式为 f(x)=2sin x 3 +π 6 . (2)将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 3 ,纵坐标不变,得函数的解析式为 y =2sin x+π 6 ,再向右平移π 3 个单位后,得 g(x)=2sin x-π 3 +π 6 =2sin x-π 6 . 列表如下: x-π 6 0 π 2 π 3π 2 2π x π 6 2π 3 7π 6 5π 3 13π 6 g(x) 0 2 0 -2 0 描点并连线,得 g(x)在一个周期的闭区间上的图象如下图. 18.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 函 数 y = 2cos(ωx + θ)x ∈ R , ω>0,0≤θ≤π 2 的图象与 y 轴交于点(0, 3),且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值; (2)已知点 A π 2 ,0 ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= 3 2 ,x0∈ π 2 ,π 时,求 x0 的值. 解:(1)把(0, 3)代入 y=2cos(ωx+θ)中, 得 cos θ= 3 2 . ∵0≤θ≤π 2 ,∴θ=π 6. ∵T=π,且ω>0, ∴ω=2π T =2π π =2. (2)∵点 A π 2 ,0 ,Q(x0,y0)是 PA 的中点,y0= 3 2 , ∴点 P 的坐标为 2x0-π 2 , 3 . ∵点 P 在 y=2cos 2x+π 6 的图象上, 且π 2 ≤x0≤π, ∴cos 4x0-5π 6 = 3 2 ,且7π 6 ≤4x0-5π 6 ≤19π 6 . ∴4x0-5π 6 =11π 6 或 4x0-5π 6 =13π 6 . ∴x0=2π 3 或 x0=3π 4 . (B 卷 能力素养提升) (时间:90 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 cos θ tan θ<0,那么角θ是( ) A.第一或第二象限象 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 解析:选 C 若 cos θtan θ<0, 则 cos θ>0,tan θ<0,或 cos θ<0,tan θ>0. 当 cos θ>0,tan θ<0 时,角θ是第四象限角; 当 cos θ<0,tan θ>0 时,角θ是第三象限角. 2.(陕西高考)函数 f(x)=cos 2x-π 6 的最小正周期是( ) A.π 2 B.π C.2π D.4π 解析:选 B ∵T=2π |ω| =2π 2 =π,∴B 正确. 3.函数 y=cos x·tan x 的值域是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[-1,0]∪(0,1) 解析:选 C 化简得 y=sin x,由 cos x≠0,得 sin x≠±1.故得函数的值域(-1,1). 4.圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 解析:选 B 根据弧度的定义可知:圆心角的大小等于弧长对半径的比,故选 B. 5.已知α=5π 8 ,则点 P(sin α,tan α)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 D ∵π 2<5π 8 <π,∴sin α>0,tan α<0,∴点 P 在第四象限. 6.函数 y=2sin 2x-π 6 的图象( ) A.关于原点成中心对称 B.关于 y 轴成轴对称 C.关于点 π 12 ,0 成中心对称 D.关于直线 x= π 12 成轴对称 解析:选 C 由形如 y=Asin(ωx+φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义,分别将各选 项代入检验即可,由于 f π 12 =0,故函数的图象关于点 π 12 ,0 成中心对称. 7.函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间 π 2 ,3π 2 内的图象是( ) 解析:选 D 当π 2sin x,y=2sin x.故选 D. 8.已知角α的终边上一点的坐标为 sinπ 6 ,cosπ 6 ,则角α的最小正值为( ) A.11π 6 B.5π 6 C.π 3 D.π 6 解析:选 C 由题意知,tan α= cos π 6 sinπ 6 = 3. 所以α的最小正值为π 3. 9.函数 y=cos π 4 -2x 的单调递增区间是( ) A. kπ+π 8 ,kπ+5π 8 B. kπ-3π 8 ,kπ+π 8 C. 2kπ+π 8 ,2kπ+5π 8 D. 2kπ-3π 8 ,2kπ+π 8 (以上 k∈Z) 解析:选 B 函数 y=cosπ 4 -2x=cos2x-π 4 ,根据余弦函数的增区间是[2kπ-π,2kπ], k∈Z,得 2kπ-π≤2x-π 4 ≤2kπ,k∈Z,解得 kπ-3π 8 ≤x≤kπ+π 8 ,k∈Z.故选 B. 10.函数 y=3cos2x-4cos x+1,x∈ π 3 ,2π 3 的最大值是( ) A.1 4 B.3 4 C.1 5 D.15 4 解析:选 D y=3cos2x-4cos x+1=3 cos x-2 3 2-1 3.∵x∈ π 3 ,2π 3 ,∴cos x∈ -1 2 ,1 2 , ∴当 cos x=-1 2 ,即 x=2π 3 时,ymax=15 4 . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°+sin290°的值为________. 解析:∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1, sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1, sin2x°+sin2(90°-x°)=sin2x°+cos2x°=1,(1≤x≤44,x∈N), ∴原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin290°+sin245° =45+ 2 2 2=91 2 . 答案:91 2 12.函数 y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于 x=π 6 对称,则φ的 最小值是________. 解析:y=sin 2x 向右平移φ个单位得 f(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ). 由 f π 6 =sin π 3 -2φ =±1, ∴π 3 -2φ=kπ+π 2(k∈Z), ∴2φ=-kπ-π 6 ,令 k=-1,得 2φ=5π 6 , ∴φ=5π 12 或作出 y=sin 2x 的图象观察易知φ=π 6 - -π 4 =5π 12. 答案:5π 12 13.若 tan(π-α)=2,则 2sin(3π+α)·cos5π 2 +α+sin 3 2π-α ·sin(π-α)的值为________. 解析:∵tan(π-α)=2,∴tan α=-2, ∴原式=-2sin α·(-sin α)+(-cos α)·sin α =2sin2α-sin αcos α=2sin2α-sin αcos α sin2α+cos2α =2tan2α-tan α 1+tan2α =2×-22--2 1+-22 =10 5 =2. 答案:2 14.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1,x2,若|x1-x2|的最小值为π,则ω=________,θ=________. 解析:由已知 T=π,∴ω=2,θ=kπ+π 2(k∈Z). 答案:2 π 2 三、解答题(本题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知在△ABC 中,sin A+cos A=1 5. (1)求 sin Acos A; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 解:(1)∵sin A+cos A=1 5 ①, ∴①式两边平方得 1+2sin Acos A= 1 25 , ∴sin Acos A=-12 25. (2)由(1)sin Acos A=-12 25 ,且 A∈(0,π),可得 sin A>0,cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+24 25 =49 25 ,又 sin A>0,cos A<0, ∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=7 5 ②,∴由①,②可得 sin A=4 5 ,cos A=-3 5 ,∴tan A=-4 3. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=1+ 2·sin2x-π 4. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)画出函数 y=f(x)在区间 -π 2 ,π 2 上的图象. 解:(1)函数 f(x)的最小正周期为 T=2π 2 =π, 当 sin 2x-π 4 =1 时,f(x)取得最大值 1+ 2. (2)由(1)知: x -π 2 -3π 8 -π 8 π 8 3π 8 π 2 y 2 1 1- 2 1 1+ 2 2 故函数 y=f(x)在区间 -π 2 ,π 2 上的图象如图所示. 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=3sinωx+π 6 ,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以π 2 为最小 正周期. (1)求 f(0); (2)求 f(x)的解析式; (3)已知 f α 4 + π 12 =9 5 ,求 sinα的值. 解:(1)由题设可知 f(0)=3sinπ 6 =3 2. (2)∵f(x)的最小正周期为π 2 , ∴ω=2π π 2 =4. ∴f(x)=3sin 4x+π 6 . (3)由 f α 4 + π 12 =3sin α+π 3 +π 6 =3cos α=9 5 , ∴cos α=3 5. ∴sin α=± 1-cos2α=±4 5. 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,且ω>0,0<φ<π 2 的部分图象如图所 示. (1)求 A,ω,φ的值; (2)若方程 f(x)=a 在 0,5π 3 上有两个不同的实根,试求 a 的取值范围. 解:(1)由图象易知 A=1,函数 f(x)的周期为 T=4× 7π 6 -2π 3 =2π,∴ω=1. ∵π-2π 3 =π 3 , ∴此函数的图象是由 y=sin x 的图象沿 x 轴向左平移π 3 个单位长度得到的,故φ=π 3. (2)由(1)知函数解析式为 f(x)=sin x+π 3 . ∴方程 f(x)=a 在 0,5π 3 上有两个不同的实根等价于 y=f(x),x∈ 0,5 3π 与 y=a 有两个 交点. 当 x=0 时,f(x)= 3 2 , ∴a∈ 3 2 ,1 时,y=a 与 y=f(x)有两个交点; 当 x=5 3π时,f(x)=0, ∴a∈(-1,0)时,y=a 与 y=f(x)也有两个交点, 故所求 a∈ 3 2 ,1 ∪(-1,0).
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