高考数学易错题解题方法(6) 共7套 免费

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高考数学易错题解题方法(6) 共7套 免费

高考数学易错题解题方法大全(6)(共 7 套) 【范例 1】若函数 14)( 2  xxxf 在定义域 A 上的值域为[-3,1],则区间 A 不可能为( ) A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,5] 答案:D 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没有借助图象很好的掌握定义域和值域的关系。 【解题指导】注意到 1)4()0(,3)2(14)( 22  f f xxxxf ,结合函数 )(xfy  的图象 不难得知 )(xf 在[0,4]、[2,4]、[1,4]上的值域都为[-3,1],而在[-3,5]上的值域不是[-3,1]. 【练习 1】已知函数  y f x 是定义在 R 上的奇函数,且  1 2f  ,对任意 x R ,都有    2 (2)f x f x f   成立,则  2007f  ( ) A.4012 B.4014 C.2007 D.2006 【范例 2】已知全集 I  {大于 3 且小于 10 的整数},集合 {0,1,2,3}A  , { 4, 2,0,2,4,6,8}B    ,则 集合 BACI )( 的元素个数有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 答案:B 【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是看清全集 I  {大于 3 且小于 10 的整数},而不是大于等于 3 。 【 解 题 指 导 】 { 2, 1,0, ,8,9}I     ,  9,8,7,6,5,4,1,2 ACU ,  ,8,6,4,2 BACU , 故 集 合 BACU  的元素个数有 4 个. 【练习 2】设全集 U 是实数集 R,  2| 4M x x = ,  2|log ( 1) 1N x x   ,则图中阴影部分所表示的集合 是( ) A. | 2 1x x   B. | 2 2x x   C. |1 2x x  D. | 2x x  【范例 3】下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A. 3,y x x R  B. sin ,y x x R  C. lg , 0y x x  D. 3 ,2 x y x R     答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没看清楚题目考查的是函数的两个性质。 【解题指导】本题主要考查三角函数、对数函数、指数函数、幂函数的基本性质.其中 B 在其定义域内是 奇函数但不是减函数;C 是非奇非偶函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数. 【练习 3】函数 xxf 2log1)(  与 12)(  xxg 在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 【范例 4】已知等差数列{an}的前 n 项和是 nanSn 22 1 82  ,则使 2006na 成立的最小正整数 n 为 ( ) A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 答案: B 【错解分析】此题容易错选为 A,C,D,错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的性质求出 1d 且 21 a 。 【解题指导】设数列 na 的公差是 d ,则 ndanddnnnaSn )2(22 )1( 1 2 1  nan 22 1 82  , 2 1 2 d 且 2 7 22 18 1 daada  , 1d 且 21 a , 2009,20063)1(2  nnnan 因此使 2006na 成立的最小正整数 n=2010,选 B. 【练习 4】无穷数列 1, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 5 1 , 5 1 , 5 1 , 5 1 , 5 1 ,…的前( )项和开始大于 10. A.99 B.100 C.101 D.102 【范例 5】若 1( , ),sin 2 ,4 2 16     则 cos sin  的值是( ) A. 16 15 B. 4 15 C. 4 15 D. 4 15 答案:C 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有弄清楚 ,4 2      时,sin , 与cos 的大小。 【解题指导】 ,sincos)2,4(  又 16 15cossin21)sin(cos 2  , 所以 cos sin  = 4 15 【练习 5】若 ,cossin,cossin,40 nm  则( ) A. nm  B. nm  C. 1mn D. 2mn 【范例 6】直线 mx  , xy  将圆面 422  yx 分成若干块,现用 5 种颜色给这若干块涂色,每块只涂 一种颜色,且任意两块不同色,共有 120 种涂法,则 m 的取值范围是( ) A B C D A. )2,2( B. )2,2( C. )2,2()2,2(  D. ),2()2,(   答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没有能够 耐心的分类 讨论去计算到底. 【 解 题 指 导 】 如 图, ① 当 2m 或 2m 时 ,圆 面 422  yx 被 分 成 2 块 , 涂 色 方 法 有 20 种 ; ② 当 22  m 或 22  m 时,圆面 422  yx 被分成 3 块,涂色方法有 60 种;③当 22  m 时,圆面 422  yx 被分成 4 块,涂色方法有 120 种,所以 m 的取值范围是 )2,2( ,故选 A. 【练习 6】已知单位正方体 1111— DCBAABCD 的对棱 BB1 、DD1 上有两个动点 E、F,BE=D1F=λ       2 10 ,设 EF 与 AB 所成的角为  ,与 BC 所成的角为 ,则  + 的最小值( ) A.不存在 B.等于 60° C.等于 90° D.等于 120° 【范例 7】若向量 a b   与 不共线,且 0a b     , ( )a bc a b a a           ,则向量 ,a c   的夹角为 . 答案:90° 【错解分析】此题容易错填的答案很多,主要是不能很好地领悟两向量我们主要研究了共线和垂直两种情况, 所以应该联想到借助数量积解决。 【解题指导】 0  ca . 【练习 7】在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的两个顶点为 O,(0,0),A(1,1),且 1OCOA ,则  ACAB . 【范例 8】已知函数   ( 2)2 af x x xx    的图象过点 A(3,7),则此函数的最小值是 . 答案:6 【错解分析】此题主要考查创造条件利用均值不等式解题的能力,容易错在构造均值不等式上。 【解题指导】 624222 422 4)(,4  xxxxxfa . 【练习 8】下列结论中正确的有 (1)当 2x  时, 1x x  的最小值为 2 (2) 0 2x  时, 2 2x x 无最大值 (3)当 0x  时, 1 2x x   (4)当 1x  时, 1lg 2lgx x   【范例 9】若圆 2 2 2 4 0x y x y a     关于直线 2y x b  成轴对称,则 a b 的范围是 . 答案:  ,1 【错解分析】此题容易错填为  ,1 ,错误原因是对二元二次方程表示圆的充要条件: 2 2 4 0D E F   误 以为 2 2 4 0D E F   。 【解题指导】圆心(-1,2)在直线 2y x b  上,所以 b=4,又 2 2 2 4 0x y x y a     表示圆的充要 条件是 4 16 4 0a   所以 5a  .【练习 9】已知向量 (2cos ,2sin ), (2cos ,2sin )a b         ,其向 量 a  与 b  的夹角为 060 ,则直线 0sincos  yx 与圆 2 1)sin()cos( 22  yx 的位置 关系是 . 【范例 10】长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=4,AB=3,则直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的正弦值 是 . 答案: 5 22 【错解分析】此题容易错在线面角的寻找上。 【解题指导】由条件知,BC1  平面 A1B1CD,设 BC1  B1C=O,则∠BA1O 为所求角, 其正弦值为 BA BO 1 = 5 22 【练习 10】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A 1 B 1 C 1 D 1 内 取一点 E,使 AE 与 AB、AD 所成的角都是 60°,则线段 AE 的长为 . 【范例 11】由 1,2,3,4 这四个数,组成个位数字不为 2 的没有重复数字的四位数,共有 个 答案:18 【错解分析】此题容易错的地方是:没有优先考虑特殊情况。 【解题指导】先确定个位有三种情况,其余进行全排列, 3 33 18A  。 【练习 11】某机关的 2008 年新春联欢会原定 10 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个反映军民联手 抗击雪灾的节目,将这两个节目随机地排入原节目单,则这两个新节目恰好排在一起的概率是 _____________. 【范例 12】下列说法:①当 2ln 1ln10  xxxx 时,有且 ;②  ABC 中, A B 是sin sinA B 成 立的充要条件;③函数 xy a 的图象可以由函数 2 xy a (其中 0 1a a 且 )平移得到;④已知 nS 是等 差数列 na 的前 n 项和,若 7 5S S ,则 9 3S S .;⑤函数 (1 )y f x  与函数 (1 )y f x  的图象关于直 线 1x  对称。其中正确的命题的序号为 . 答案:②③④ 【错解分析】此题容易错选为①⑤,而漏掉③。错选①主要是对均值不等式要是正数的前提条件理解不好, 漏掉③主要是对指数的化简没有考虑到。 【解题指导】①中③中将 2 xy a 可变形为 2log2log aa xx aaay  , A1 B1 D1 A B C1 E M F CD ④中 07657  aaSS 所以 0)(3 7698765439  aaaaaaaaSS 【练习 12】给出下列 四个结论: ①“k=1”“是函数 y=cos2 k x-sin2 k x 的最小正周期为π”的充要条件. ②函数 y=sin(2 x- 6  )沿向量 a=( 6  ,0)平移后所得图象的函数表达式是: y=cos2 x. ③函数 y=lg(a x2-2 a x+1)的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(0,1). ④单位向量 a、b 的夹角是 60°,则向量 2a-b 的模是 3 . 其中不正确结论的序号是 .(填写你认为不正确的所有结论序号) 【范例 13】已知函数 .,ln1)( R ax xaxf (1)求 )(xf 的极值; (2)若 kkxx 求上恒成立在 ,),0(0ln  的取值范围; (3)已知 .:,,0,0 21212121 xxxxexxxx  求证且 【错解分析】(1)化归思想在此题的应用是容易出错的地方,求 k 的取值范围时先整理出参数 k,(2)对 函数 ln( ) xf x x  是近年来考查的热点,应引起注意。 解:(1) / 2 ln( ) ,a xf x x  令 / ( ) 0f x  得 ax e 当 /(0, ), ( ) 0, ( )ax e f x f x  为增函数;当 /( , ), ( ) 0, ( )ax e f x f x   为减函数, 可知 ( )f x 有极大值为 ( )a af e e (2)欲使 ln 0x kx  在 (0, ) 上恒成立,只需 ln x kx  在 (0, ) 上恒成立, 设 ln( ) ( 0).xg x xx   由(1)知, 1( )g x x e e 在 处取最大值 , 1k e   (3) 1 2 1 0e x x x    ,由上可知 ln( ) xf x x  在 (0, )e 上单调递增, 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ln( ) ln ln( ) lnx x x x x x xx x x x x      即 ①, 同理 2 1 2 2 1 2 ln( ) lnx x x xx x   ② 两式相加得 1 2 1 2 1 2ln( ) ln ln lnx x x x x x    1 2 1 2x x x x   【练习 13】设函数 )1ln()( 2  xbxxf ,其中 0b . (1)若 12b   ,求 )(xf 在[1,3] 的最小值; (2)如果 ( )f x 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 Nn  时,不等式 3 1 1ln n n n n   恒成立. 【范例 14】如图在三棱锥 S ABC 中 090ACB  ,SA ABC 面 , 2AC  , 13BC  , 29SB  . (1)证明 SC BC 。 (2)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小。 (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 【错解分析】对面面角,线面角的问题,我们应该先找出角,然后去证明,而不能只有计算出的结果。 解:(1)∵∠SAB=∠SCA=900 090 SA AB SA AC AB AC A SA ABC ACB BC AC SC BC            面 由于 即 由三重线定理得 (2) BC AC BC SC  0 , 13. 29 4 2 4 1 2 60 SCA SBC ABC Rt SCB BC SB SC SAC AC SC ACCOS SCA SC SCA               0 是侧面 与底面 所成二面角的平面角 在 中由于 在Rt 中由于 即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为60 (3) // . // .C CD BA A AD BC D过 作 过 作 交点为 2 2 2 2 2 17 2 3. 5 BC SA SB AB SD SA AD SCD            2 则四边形ABCD是平行四边形 DC=AB= AC 又 17故在 中,COS SCD= 17 17cos 17SC AB arc 与 所成角的大小为 【练习 14】如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的边长均为 1,且它 们所在的平面互相垂直,G 为 BC 的中点. S A B C A G F E D C B (1)求点 G 到平面 ADE 的距离; (2)求二面角 AGDE  的正切值. 【范例 15】设 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 15 4 x y+ = 的左、右焦点., (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 21 PFPF  的最大值和最小值; (2)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【错解分析】化归思想,消元思想是数学中的两大思想,要能彻底领悟,才是数学学习的最高境界。 解:(1)易知 )0,1(),0,1(,1,2,5 21 FFcba  设 P(x,y),则 1),1(),1( 22 21  yxyxyxPFPF 35 115 44 222  xxx ]5,5[x , 0 x当 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, 21 PFPF  有最小值 3; 当 5x ,即点 P 为椭圆长轴端点时, 21 PFPF  有最大值 4 (2)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 )5(  xky 由方程组 2 2 2 2 2 21 (5 4) 50 125 20 05 4 ( 5) x y k x k x k y k x            ,得 依题意 2 5 520(16 80 ) 0 5 5k k      ,得 当 5 5 5 5  k 时,设交点 C ),(),( 2211 yxDyx 、 ,CD 的中点为 R ),( 00 yx , 则 45 25 2, 45 50 2 2 21 02 2 21     k kxxx k kxx .45 20)545 25()5( 22 2 00   k k k kkxky 又|F2C|=|F2D| 122  RFkklRF 1 204 20 45 251 ) 45 20(0 2 2 2 2 2 2         k k k k k k kkk RF ∴20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立, 所以不存在直线l ,使得|F2C|=|F2D| 综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D|【练习 15】已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 为 6 3 ,两条准线间的距离为 6,椭圆 W 的左焦点为 F ,过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零 的直线l 与椭圆 W 交于不同的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为C . (1)求椭圆 W 的方程; (2)求证:CF FB  (  R ); (3)求 MBC 面积 S 的最大值. 练习题参考答案: 1.B 2. C 3.C 4.C 5.A 6.C 7 .1 8.(4) 9.相交 10. 2 11. 6 1 12. ④ 13. 解:(1)由题意知, )(xf 的定义域为 ),1(  , 12b   时,由 2 / 12 2 2 12( ) 2 01 1 x xf x x x x       ,得 2x  ( 3x   舍去), 当 [1,2)x 时, / ( ) 0f x  ,当 (2,3]x 时, / ( ) 0f x  , 所以当 [1,2)x 时, ( )f x 单调递减;当 (2,3]x 时, ( )f x 单调递增, 所以 min( ) (2) 4 12ln3f x f   (2)由题意 2 / 2 2( ) 2 01 1 b x x bf x x x x       在 ),1(  有两个不等实根, 即 22 2 0x x b   在 ),1(  有两个不等实根, 设 ( )g x  22 2x x b  ,则 4 8 0 ( 1) 0 b g        ,解之得 10 2b  ; (3)对于函数   )1ln(2  xxxf , 令函数   )1ln()( 233  xxxxfxxh , A G F E D C B H O 则   1 )1(3 1 123 23 2/   x xx xxxxh ,   0),0[ /  xhx 时,当 所以函数  xh 在 ),0[  上单调递增,又 ),0(,0)0(  xh 时,恒有   0)0(  hxh 即 )1ln(32  xxx 恒成立. 取 ),0(1  nx ,则有 32 11)11ln( nnn  恒成立. 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 Nn  时,不等式 32 11)11ln( nnn  恒成立 14.解:(1)∵BC∥AD, AD  面 ADE, ∴点 G 到平面 ADE 的距离即点 B 到平面 ADE 的距离. 连 BF 交 AE 于 H,则 BF⊥AE,又 BF⊥AD. ∴BH 即点 B 到平面 ADE 的距离. 在 Rt△ABE 中, 2 2BH . ∴点 G 到平面 ADE 的距离为 2 2 . (2)过点 B 作 BN⊥DG 于点 N,连 EN, 由三垂线定理知 EN⊥DN. ∴ ENB 为二面角 AGDE  的平面角. 在 Rt△BNG 中, 5 52sinsin  DGCBGN ∴ 5 5 5 52 2 1sin  BGNBGBN 则 Rt△EBN 中, 5tan  BN BEENB 所以二面角 AGDE  的正切值为 5 . 15.解:(1)设椭圆 W 的方程为 2 2 2 2 1x y a b   ,由题意可知 2 2 2 2 6 ,3 , 2 6, c a a b c a c          解得 6a  , 2c  , 2b  , 所以椭圆 W 的方程为 2 2 16 2 x y  . (2)解法 1:因为左准线方程为 2 3ax c     ,所以点 M 坐标为 ( 3,0) .于是可设直线 l 的方程为 ( 3)y k x  . 2 2 ( 3), 16 2 y k x x y     得 2 2 2 2(1 3 ) 18 27 6 0k x k x k     . 由直线l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点,可知 2 2 2 2(18 ) 4(1 3 )(27 6) 0k k k      ,解得 2 2 3k  . 设点 A , B 的坐标分别为 1 1( , )x y , 2 2( , )x y , 则 2 1 2 2 18 1 3 kx x k    , 2 1 2 2 27 6 1 3 kx x k   , 1 1( 3)y k x  , 2 2( 3)y k x  . 因为 ( 2,0)F  , 1 1( , )C x y , 所以 1 1( 2, )FC x y   , 2 2( 2, )FB x y  . 又因为 1 2 2 1( 2) ( 2)( )x y x y    1 2 2 1( 2) ( 3) ( 2) ( 3)x k x x k x      1 2 1 2[2 5( ) 12]k x x x x    2 2 2 2 54 12 90[ 12]1 3 1 3 k kk k k      2 2 2 2 (54 12 90 12 36 ) 01 3 k k k k k      , 所以 CF FB  . 解法 2:因为左准线方程为 2 3ax c     ,所以点 M 坐标为 ( 3,0) . 于是可设直线l 的方程为 ( 3)y k x  ,点 A , B 的坐标分别为 1 1( , )x y , 2 2( , )x y , 则点 C 的坐标为 1 1( , )x y , 1 1( 3)y k x  , 2 2( 3)y k x  . 由椭圆的第二定义可得 2 2 1 1 3 | || | | | 3 | | x yFB FC x y   , 所以 B , F ,C 三点共线,即CF FB  . (Ⅲ)由题意知 1 2 1 1| || | | || |2 2S MF y MF y  1 2 1 | | | |2 MF y y   1 2 1 | ( ) 6 |2 k x x k   2 3| | 1 3 k k   3 3 3 1 22 33| || | kk     ,当且仅当 2 1 3k  时“=”成立, 所以 MBC 面积 S 的最大值为 3 2 .
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