2020届北京市朝阳区高三年级下学期二模数学试题及答案解析
2020 届北京市朝阳区高三年级下学期二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数范围内，下列命题正确的是（ ）
A．若 ,a b 则 1b
a
B．若 ,a b c d ，则 a c b d
C．若 a b ，则 lg( ) 0a b D．若 0,ab a b ，则 1 1
a b
2．已知函数 ( ) cos2 3sin 2 1f x x x ，则下列判断错误的是（ ）
A． ( )f x 的最小正周期为 B． ( )f x 的值域为[ 1,3]
C． ( )f x 的图象关于直线
6x 对称 D． ( )f x 的图象关于点 ,04
对称
3．过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F 的直线l 交抛物线 C 于 ,A B 两点，且满足 2AF FB ，则直线l
的斜率 ( 0)k k 的值为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 2 D． 3
4．已知复数 z 满足
4
z ii
（其中i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A． 4i B．4 C．1 D． 1
5．函数
数 m
香䁕
的定义域为
A．
数䁕㔵 㜮 m
B．
䁕㔵 㜮 mC．
数 香
，
䁕m
D．
数 香
，
䁕 6．设函数 y=f（x）是偶函数，且在 ,0 上是增加的，则（ ）
A．f（−2）
1 时，对数值大于零，因此错误．只有 D 成立．
2．D
先将函数 ( ) cos2 3sin 2 1f x x x 化为 ( ) 2sin 2 16f x x
，再由三角函数的性质，逐
项判断，即可得出结果.
( ) cos2 3sin 2 1f x x x
可得 1 3( ) 2 cos2 sin 2 1 2sin 2 12 2 6f x x x x
对于 A， ( )f x 的最小正周期为 2 2
| | 2T ,故 A 正确；
对于 B，由 1 sin 2 16x
，可得 1 ( ) 3f x ，故 B 正确；
对于 C，正弦函数对称轴可得： 02 ,6 2x k k Z
解得： 0 ,6
1
2x k k Z ，
当 0k ， 0 6x ，故 C 正确；
对于 D，正弦函数对称中心的横坐标为： 02 ,6x k k Z
解得： 0
1 ,2 12x k k Z
若图象关于点 ,04
对称，则 1
2 12 4k
解得： 2
3k ，故 D 错误；
故选：D.
本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和
计算能力，属于基础题.
3．A
过 ,A B 分别作准线的垂线，垂足依次为 ,M N ，过点 B 作 BD 垂直于 AM ，交 AM 于点 D ，再利
用抛物线的定义求解即可．
解：过 ,A B 分别作准线的垂线，垂足依次为 ,M N ，
过点 B 作 BD 垂直于 AM ，交 AM 于点 D ，
设| |BF r ，则| | 2AF r ，
由抛物线的定义得| |BN r ，| | 2AM r ，
∴| | | | | |AD AM BN r ， 2 2| | | | 2 2BD AB AD r ，
∴ | |tan 2 2| |
BDk BAD AD
，
故选：A．
本题主要考查抛物线定义的运用，属于中档题．
4．B
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
由
4
z ii
，得 2(4 ) 4 1 4z i i i i i ．
复数 z 的虚部是 4 ．
故选：B．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．A
由题意得到关于 x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.
函数有意义，则
香 䁕 ʹ
，解得
ʹ 䁕
。
故函数
数 m
香䁕
的定义域为
数䁕㔵 㜮 m
.
本题选择 A 选项.
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们
的解集即可．
6．D
试题分析：由函数是偶函数可得 f x f x ，所以 f x f x 成立
考点：函数奇偶性单调性
7．B
根据正弦定理求角 A，即得 C
由正弦定理得 sin 2 3 sin 60 1sin 30 , 906 2
a BA a b A Cb
,选 B.
本题考查正弦定理求角，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．A
如图所示，作出四面体的图象，由图可知，只要点 , ,B D E 能构成三角形即可求出．
如图所示，作出四面体的图象， D 为 AC 的中点， 2BE ，其它各边长为 x ．
由题意可知，点 , ,B D E 能构成三角形， 3
2BD DE x ，所以
BD DE BE ，即 3 3 22 2x x ，解得 2 3
3x ．
故选：A．
本题考查棱锥的结构特征以及充要条件的转化，求解关键是依据图象得到图中三角形的形成条件，
意在考查学生的空间想象能力，属于中档题．
9．C
设切点为 0 0,x y ，可得
0
0
0 0
0 0
2
3
2 5
f x ax
y ax
y lnx
，解方程可得 2a ，然后作出不等式组在 2 2 24x y
内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.
由 3y ax 与函数 2ln 5f x x 相切，
设切点为 0 0,x y ，则
0
0
0 0
0 0
2
3
2 5
f x ax
y ax
y lnx
，解得 2a ，
所以不等式组为 2 0
3 0
x y
x y
，
则不等式组确定的平面区域在 2 2 24x y 内的面积为阴影部分，
由题意可得 1tan 2
， 1 1tan 3 3
，
所以 tan tantan 11 tan tan
，所以
4
，
所以阴影部分的面积为： 21 1 24 32 4 2 4S R .
故选：C
本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综
合性比较强，属于中档题.
10．B
若 ,AD AB AC R ，点 D 在 ABC 内部，则 0 1,0 1 ，反之不成立，例
如 1
2
时，点 D 为边 BC 的中点， 0 1,0 1 是点 D 在 ABC 内部，（不含边界）
的必要不充分条件，故选 B.
11． 2 2 3
易得 2c ， 1a ，再结合 2 2 2b c a ，可知 3b ，然后由 ce a
求出离心率；可求出经过一、
三象限的渐近线方程为 3
3y x ，设点 3( , )3Q x x ，分别求出 1FQ
和 2F Q
，根据 1 2 0FQ F Q 列
出方程，求出 x 的值，然后可得点Q 到 y 轴的距离， 1 2 4F F ，最后计算 1 2QF F 的面积.
易知 2c ， 2 2a ，所以 1a ，
又 2 2 2 4 1 3b c a ， 3b ，所以 2ce a
；
所以双曲线的方程为：
2
2 13
xy ，其中经过一、三象限的渐近线方程为 3
3y x ，
故可设点 3( , )3Q x x ，所以 1
3( , 2)3FQ x x ， 2
3( , 2)3F Q x x ，
因为 1 2FQ F Q ，所以 1 2 0FQ F Q ，即 2 3 32 2 03 3x x x
，
解之得： 3x ，所以点Q 到 y 轴的距离为 3 ，又 1 2 4F F ，所以：
1 2 1 2
1 13 3 4 2 32 2QF FS F F △ .
故答案为： 2 ； 2 3 .
本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转
化思想，属于常考题.
12． 6 0x y
设所求直线l 与已知两直线的交点分别为 ,A B ，设 0 0( , )A x y ，则 0 0( , )B x y ，分别代入已知直线，
解得 0 06 0x y ，进而得出直线l 的方程，得到答案.
设所求直线l 与已知两直线的交点分别为 ,A B ，设 0 0( , )A x y ，
因为 ,A B 关于原点对称，所以 0 0( , )B x y ,
又因为 ,A B 分别在已知两直线上，可得 0 0
0 0
4 6 0
3 5 6 0
x y
x y
，解得 0 06 0x y ，
即点 A 在直线 6 0x y 上，
又由直线 6 0x y 过原点，所以直线l 的方程为 6 0x y .
故答案为： 6 0x y .
本题主要考查了直线方程的求法，其中解答中要注意中点坐标公式的合理应用，其中解答方法具有
一定的技巧性，着重考查推理与运算能力.
13． 41
4
首先根据三视图还原其直观图，再根据直观图找到四棱锥外接球的球心，计算球体的半径和表面积
即可.
该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为 2 的正方形，
右侧面是腰长为 5 的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为 2 .
设O 为球心， 1O 为 ABC 的外心， M 底面的中心， D 为 BC 的中点，
因为 5AB ， 1BD ，所以 5 1 4AD ， 2 5sin 5ABC ，
设 ABC 外接圆的半径为 r ，得到
5 22 55
r ， 1
5
4r AO .
又因为 1 1MD OO ，所以 2 25 411 ( )4 16R .
2 414 4S R .
故答案为： 41
4
本题主要考查四棱锥的外接球，同时考查了三视图，将三视图还原其直观图为解题的关键，属于中
档题.
14．2
先将二项式 5( 2)( )x x m 变形为 5 52x x m x m ，展开得到通项，利用展开式中 5x 的系
数为 7 得出 m 的值，再由 0x 代入等式 65 5
6 5 1 0( 2)( ) a x a x ax x m x a L 可求出 0a ．
5 5 52 2x x m x x m x m Q ，
所以，二项式 5 52x x m x m 展开式的通项为
5 5 6 5
5 5 5 52 2r r r k k k r r r k k kxC x m C x m C x m C x m ，
令 6 5
5 5
r
k
，得 1
0
r
k
，则 1 0
5 5 52 5 2 7a C m C m ， 1m ，
则 5 6 5
6 5 1 02 1x x a x a x a x a L ，所以， 5
0 0 2 0 1 2a ．
故答案为 2 ．
本题考查二项式定理，考查指定项的系数以及赋值法的应用，二项式中指定项的系数问题，一般要
通过利用二项式定理将二项式展开得出通项，利用指数列方程求解未知数求解，另外，在二项式定
理赋值法常用的如下：设 2 3
0 1 2 3
n
nf x a a x a x a x a x L ，
则（1） 0 0a f ；（2） 0 1 2 3 1na a a a a f L ；
（3） 0 1 2 3 1 1n
na a a a a f L ．
15．(1) · 2 7a b a b ; (2) 1
2
试题分析：（1）先计算 3,1 , 2 0,7a b a b ，由此求得两者的数量积.（2）先计算
2 ,3 2 ,2 5,4a b a b ，利用两个向量共线的性质，可以 2 3 2
5 4
， 解得
的值.
试题解析：
(1) 向量 2,3 , 1,2a b ， 3,1 , 2 0,7a b a b ， · 2 7a b a b .
(2) 2 ,3 2 ,2 5,4a b a b , 向量 a b 与 2a b 平行， 2 3 2
5 4
，
解得 1
2
.
16．（1） 27 （2） 63
（1）根据等差数列的通项公式及等差中项，求和公式计算即可（2）根据 n nb a ，转化为用 nS 来
表示 9T 即可.
（1） 1 4 7 3 6 90, 18,a a a a a a ，
4 6 3 0,3 18a a ，
即 4 60, 6a a ，
46 2 6a a d ，
3d ，
4 ( 4) 3 12na a n n ，
1 9 4 6
9
9 9 272 2
a a a aS
（2）由（1）知 | 3 12|n nb a n ，
9 1 2 3 4 5 6 9 4 9 4 4 9( ) ( ) 2T a a a a a a a S S S S S
(9 0) 4 (9 15) 92 2 2
63
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差中项，前 n 项和公式，考查了计算能力，属于中档题.
17．（1）90 位（2）0.45（3）填表见解析；有 95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时
间与性别有关”
（1）根据频率分布直方图进行求解即可；
（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率；
（3）利用独立性检验进行求解即可.
（1） 300 4500 9015000
.所以，应该收集 90 位女生的样本数据.
（2）由频率分布直方图得 6 2 0.125 0.075 0.025 0.45P X
所以该校学生每周平均体育运动时间超过 6 小时的概率的估计值为 0.45.
（3）每周平均运动时间超过 4 小时的频率为 0.375×2=0.75，所以超过 4 小时的总人数为
300×0.75=225，
每周平均运动时间与性别列联表如下：
男生超过 4 小时 运动不超过 4 小时 合计
男生 165 45 210
女生 60 30 90
合计 225 75 300
2 2
2 300 165 30 60 45 4.762 3.841225 75 210 90
n ad bcK a b c d a c b d
，
所以，有 95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
本题主要考查了独立性检验，频率分布直方图，分层抽样，是统计和概率的综合应用，难度属于中
档题.
18．（Ⅰ）2，4，8，16，32，64；（Ⅱ） 11D 只有 1 个，d=1 有 91 个；（Ⅲ）见解析
（Ⅰ）根据题意，分析集合 T 的元素，结合 M﹣N 的含义分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由等差
数列的性质分析公差的最大、最小值，据此分析等差数列的数目，相加即可得答案；（Ⅲ）根据题
意，将集合 S 中元素列表，据此分析集合集合 S﹣A 中的元素，由反证法分析可得结论．
（Ⅰ）根据题意，集合 1,2,3,...,100S ， 2 ,nT x x n N 2,4,8,... ;
则 2,4,8,16,32,64S S T ；
则集合 S S T 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64；
（Ⅱ）当首项是 1，末项是 100 时，公差最大为 11，即 11D ．
这样的数列只有 1 个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；
当选取的 10 个数是连续自然数时，公差最小为 1，即 d=1．
这样的数列首项可以是 1，2，3，…，91 中的任何一个，
因此共有 91 个公差为 1 的等差数列；
（Ⅲ）将集合 S 中元素列表如下：
1 2 3 … 10
11 12 13 … 20
21 22 23 … 30
┆ ┆ ┆ ┆ ┆
91 92 93 … 100
表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．
假设存在含有 10 个元素的集合 A ，使得 S A 中不含 10 个元素组成的等差数列．
显然每连续 10 个元素中必有集合中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合 A 中的唯一一
个元素．
记表中第i 行第 j 列的数为 ,i j ．
若第 1 9i i 行中集合 A 的唯一元素为 ,i j ，则第 1i + 行中 1,1i ， 1,2i ，… 1,i j
中必有集合 A 中元素．
若第 1 9i i 行的第一个数在集合 A 中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数
列，与假设矛盾．
因此，第一列中集合 A 的唯一元素只可能在第十行．
同理，若第 1 8i i 行的第二个数在集合 A 中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成
等差数列，与假设矛盾．
因此，第二列中集合 A 的唯一元素只可能在第九行．
依此类推，得 10,19,28,37,46,55,64,73,82,91A ．
此时，另一条对角线上的十个元素 1,12,23,34,45,56,67,78,89,100 构成等差数列，与假设矛盾．
综上，原命题成立．
本题考查数列与集合的综合应用，涉及集合的表示方法以及合情推理的应用，关键是掌握集合以及
集合中元素的性质．
19．（1）单调递增区间为 (0, )e ，单调递减区间为 ( , )e ；（2） 2
1 1
2ae e
.
（1）求出 f x ，由函数 f x 在 x e 处的切线平行于 x 轴，可得 0a ，由 0f x 可得增区
间，由 0f x ，可得递减区间.
（2）设
2
lnf x xF x ax x
，利用导数判断函数的单调性，根据单调性结合零点存在性定理
列不等式求解即可.
（1） 2
1 ln xf x ax
，函数 f x 在 x e 处的切线平行于 x 轴，则 0f e ，
即 0a ，此时 2
1 ln xf x x
，令 0f x ，解得 x e ，
当 0 x e 时， 0f x ， f x 单调递增，
当 x e 时， 0f x ， f x 单调递减，
所以 f x 的单调递增区间为 0,e ，单调递减区间为 ,e .
（2）
2
lnf x xF x ax x
，定义域为 0, ，则 3
1 2ln xF x x
，可得
当 0,x e 时， 0F x ， F x 单调递增，
当 ,x e 时， 0F x ， F x 单调递减，
所以 F x 在 x e 处取得极大值 1
2F e ae
，
又 21 0F e ae
，
所以 F x 在 0,e 上有两个零点只需
0,
0,
F e
F e
即
2
1 0,2
1 0,
ae
ae
解得 2
1 1
2ae e
，
所以实数 a 的取值范围为 2
1 1
2ae e
.
本题考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数与函数零点的综合，同
时考查了转化思想与计算能力，属于综合题.
20．（1） 1
2m ；（2） 1| 3, 2m m m
且 .
（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出实数 m 的值．（2）若 a 与 a b 的夹角为锐角，则
a • a+b ＞0 a且 与 a b 不共线，由此求得实数 m 的取值范围．
（1）∵平面向量 ＝（1，2）， ＝（m，﹣1），∴ + （m+1，1），
若 ∥（ ），即 1﹣2（m+1）＝0，∴m＝﹣ ．
（2）若 与 的夹角为锐角，则 •（ ）＞0 且 与（ ）不共线．
由 •（ ）＞0，得 m+3＞0，∴m＞﹣3．
由 与（ ）共线，得到 1﹣2（m+1）＝0，∴m＝﹣ ．
故要求的实数 m 的取值范围为{m|m＞﹣3，且 m≠﹣ }．
本题主要考查两个向量共线的性质和两个向量的夹角的问题，注意要排除两个向量共线的情况，
属于基础题.
21．（1）详见解析；（2） 8
3
．
由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，
由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．
（1）取 BF 的中点 G，连接 MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论
（2）多面体 A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥
的体积．
（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF，且 AB=BC=BF=4，
DE=CF= 4 2 ， 90CBF
，连结 BE，M 在 BE 上，连结 CE
EM=BM，CN=BN，所以 MN ∥ ,CE CE CDEF面 ，所以 / /MN 平面CDEF
（2）取 DE 的中点 H．
∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱 ADE-BCF 中，
平面 ADE⊥平面 CDEF，
平面 ADE∩平面 CDEF=DE．∴AH⊥平面 CDEF．
∴多面体 A-CDEF 是以 AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH= 2 ．
S 矩形 CDEF=DE•EF= 4 2 ，
∴棱锥 A-CDEF 的体积为 1 1 84 2 23 3 3CDEFV S AH 矩形 ．
本题考点：1．简单空间图形的三视图；2．棱柱、棱锥、棱台的体积；3．直线与平面平行的判定，
属于基础题型.
