人教A版选修1-13-2函数的极值与导数（含答案）

人教A版选修1-13-2函数的极值与导数（含答案）

§1．3．2 函数的极值与导数（1 课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学 生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系 后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与 最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 利用教材在 §3.3.1 中的 例 1 引入函数的 极值概念 ①观察 y=f(x)的图像在 x=1 点的函数值 f(1)与 x=1 附近的其 他点的函数值的特征，并描述在 x=1 点及其附近导数的正 负： f(1)在 x=1 点及其附近是最小—— '(1) 0f  ； y=f(x)在 x=1 附近的左侧是单减的—— '( ) 0f x  ； y=f(x)在 x=1 附近的右侧是单增的—— '( ) 0f x  ； 提问：y=f(x)在 x=1 处是否整个函数的最小值？ 不是，只是 y=f(x)在 x=1 处附近的局部最小值 ②观察 y=f(x)的图像在 x=4 点的函数值 f(4)与 x=4 附近的其 他点的函数值的特征，并描述在 x=4 点及其附近导数的正 负： 学生模仿完成 考虑到极值与最值 容易混淆，学生对已 有知识的同化易接 受，我们以§3.3.1 中的例 1 引出极值 的概念，具体直观， 同时对极值与最值 区分是一目了然的。 概念抽象 y=f(x)在定义域上可导， ① 若 '( ) 0f a  ， 且 y=f(x) 在 x=a 附 近 的 左 侧 满 足 '( ) 0f x  ；在 x=a 附近的右侧满足 '( ) 0f x  ，则称点 a 叫做 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值 由具体函数图像抽 象上升到一般极值 概念 ② 若 '( ) 0f b  ， 且 y=f(x) 在 x=b 附 近 的 左 侧 满 足 '( ) 0f x  ；在 x=b 附近的右侧满足 '( ) 0f x  ，则称点 b 叫做 y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值 函数极值概念 强化练习 概念判断练习： （１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值 （２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的 （３）函数某区间上的极大值一定大于极小值 （４）函数的极值点，导数一定为零 （５）导数为零的点一定是函数的极值点 答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错 深化学生对函数极 值的概念，以及函数 取极值与 '( ) 0f a  的逻辑关系 极值概念理解 的总结提高 （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味 着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定 义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数 的极大值未必大于极小值，如下图所示， 1x 是极大值点， 4x 是极小值点，而 )( 4xf > )( 1xf ，如下图 f( x 2 ) f( x 4 ) f( x 5 ) f( x 3 ) f( x 1 ) f(b) f(a) x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 b a x O y 如何判别 f(x0)是 极大、极小值 填空： （１） 若 0x 满足 0)( 0  xf ，且在 0x 的两侧 )(xf 的导数 ________，则 0x 是 )(xf 的极值点， )( 0xf 是极值， （２）如果 )(xf  在 0x 两侧满足“左正右负”，则 0x 是 )(xf 的_______点， )( 0xf 是_______； （３）如果 )(xf  在 0x 两侧满足“左负右正”，则 0x 是 )(xf 的_______点， )( 0xf 是_______. 让学生总结判断极 值的方法。 （１）异号；（２） 极大值；极大值； （３）极小值；极小 值 例题精讲 １、看图识极值（点） f( x 2 ) f( x 4 ) f( x 5 ) f( x 3 ) f( x 1 ) f(b) f(a) x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 b a x O y 说出极值点与相应的极值 ２、求函数的极值（点） 对教材例 1 的处理方式： 要求阅读教材解析，模仿练习。以眼动、心动、手动的方 式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。 函数极值（点）计算要加强练习，提高熟练程度。 作为平行班的学生基础不牢，应以最基本的几类函数求导 练习为主，切忌本末倒置：让学生把重心放在导数计算上， 而忽视了求极值（点）的方法步骤 设置上可以先让学生回忆几类基本函数的求导公式，板书 在黑板上以学生查用之需。 补充练习： 求函数ｙ=2x2+5x 的极值 答案：x=-5/4;y=-25/8 极小值 求函数 y=3x－x3 的极值 答案：x=-1,y=-2 极小值； X=1,y=2 极大值 加强熟练程度与运算速度 加 强 对 极 值 （点）的函数图像理 解与认识 要注意结合图象理解极大、极小值概念 判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 通过 例题与 练 习加深对极大、极小 值概念的理解，以及 熟悉求函数极值的 方法与步骤 方法小结 求函数极值的方法与步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若 干小开区间，并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的 符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如 果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不 改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 课后练习 1、函数 )(xfy  在一点的导数值为 0 是函数 )(xfy  在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 答案 D 对于 3 ' 2 '( ) , ( ) 3 , (0) 0,f x x f x x f   不能推出 ( )f x 在 0x  取极值，反之成立 2、函数 ( )3 23 9 2 2y x x x x= - - - < < 有（ ） A 极大值5 ，极小值 27 B 极大值5 ，极小值 11 C 极大值5 ，无极小值 D 极小值 27 ，无极大值 答案 C ' 23 6 9 0, 1, 3y x x x x      得 ，当 1x   时， ' 0y  ；当 1x   时， ' 0y  当 1x   时， 5y 极大值 ； x 取不到3 ，无极小值 3、函数 )(xf 的定义域为开区间 ),( ba ，导函数 )(xf  在 ),( ba 内的图象如图所示， 则函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内有极小值点（ ） A 1个 B 2 个 C 3个 D 4 个 答 案 A 极 小 值 点 应 有 先 减 后 增 的 特 点 ， 即 ' ' '( ) 0 ( ) 0 ( ) 0f x f x f x     4、函数 3 2( ) 3 9f x x ax x    ，已知 ( )f x 在 3x   时取得极值，则 a=( ) A, 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案： 5、若函数 ( ) ( )2f x x x c= - 在 2x  处有极大值，则常数 c 的值为_________； 答案 6 ' 2 2 ' 2( ) 3 4 , (2) 8 12 0, 2, 6f x x cx c f c c c        或 ， 2c  时取极小值 6、函数 1( ) cos sin 22f x m x x  在 4x  处取得极值，则 m=__________ 答案 0 7、已知函数 23 bxaxy  ，当 1x  时，有极大值3 ； （１） 求 ,a b 的值；（2）求函数 y 的极小值 a b x y )(xfy  O a b x y )(xfy  O 解：（1） ' 23 2 ,y ax bx  当 1x  时， ' 1 1| 3 2 0, | 3x xy a b y a b       ， 即 3 2 0, 6, 93 a b a ba b        （2） 3 2 ' 26 9 , 18 18y x x y x x      ，令 ' 0y  ，得 0, 1x x 或 0| 0xy y   极小值