【数学】重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题(解析版)

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【数学】重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题(解析版)

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题(本大题共12小题)‎ ‎1.若直线经过、两点,则直线的倾斜角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 直线经过,两点, 直线AB的斜率,‎ 设直线的倾斜角为,,‎ ‎,,, 直线AB的倾斜角.‎ 故选: C.‎ ‎2.若a,b,c是空间三条直线,,a与c相交,则b与c的位置关系是( )‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】如图,在正方体中,‎ ‎,AB与BC相交,与BC是异面直线,‎ ‎,AB与相交,与是相交直线,‎ ‎,b,c是空间三条直线,,a与c相交,则b与c的位置关系是异面或相交.‎ 故选:D.‎ ‎3.圆A:与圆B:的位置关系是( )‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 ‎【答案】C ‎【解析】圆A:的圆心坐标,‎ 半径,‎ 圆B:的圆心坐标,半径,‎ ‎,‎ ‎,圆A与圆B外切.‎ 故选:C.‎ ‎4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是,则圆锥的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆锥的底面半径为r,母线为l,‎ 圆锥的轴截面是等腰直角三角形,‎ ‎,即,‎ 由题意得,侧面积,解得,‎ ‎,圆锥的高,‎ 圆锥的体积,‎ 故选:A.‎ ‎5.过点,且圆心在直线上的圆的方程是()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题作为选择题,可采用排除法,根据圆心在直线上,排除B、D,‎ 点在圆上,排除A 故选C ‎6.下列命题中,表示两条不同的直线,、、表示三个不同的平面. ‎ ‎①若,,则; ②若,,则; ‎ ‎③若,,则; ④若,,,则. ‎ 正确的命题是(   )‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①,由线面垂直的判定定理知,直线m与平面内的任意一条直线垂直,由知,存在直线内,使,所以,故①正确;对于②,平面与平面可能相交,比如墙角的三个平面,故②错误;对于③,直线m与n可能相交,可能平行,可能异面,故错误;对于④,由面面平行的性质定理有 ,正确.故正确命题为①④,选C.‎ ‎7.直三棱柱中,若,,,则异面直线与所成角的余弦值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则0,,0,,0,,1,,‎ ‎0,,1,,‎ 设异面直线与所成角为,则.‎ 异面直线与所成角的余弦值为.‎ 故选:C.‎ ‎8.已知直线与圆交于A,B两点,O是原点,C是圆上一点,‎ 若,则a的值为( )‎ A. 2 B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,,‎ 联立,化为,‎ 直线与圆交于A、B两点,‎ ‎,解得.‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎9.已知点A为圆上的点,点B的坐标为,P为x轴上一动点,则的最小值是( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【解析】如图,‎ 设圆的圆心为C,则,半径.‎ 点关于x轴的对称点,连接,交圆C与A,交x轴于P,‎ 则的最小值为.‎ 故选:B.‎ ‎10.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得,蛋巢的底面是边长为1的正方形,‎ 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1,‎ 由于鸡蛋的表面积为4π,故鸡蛋(球)的半径为1,故球心到截面圆的距离为,‎ 而垂直折起的4个小直角三角形的高为,‎ 故鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 ‎11.已知点是直线上一动点,PA、PB是圆C:的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆C:,圆心,半径为1.‎ 如图,,,,‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎,,‎ 即点C到直线的距离为.,‎ 整理得,解得:.‎ 故选:D.‎ ‎12.在正三棱锥中,M,N分别是SC,BC的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,N分别是棱SC、BC的中点,,,可得 ‎,‎ 取中点,连接,由得,‎ 而,则平面,平面,∴,‎ ‎,平面,‎ ‎、平面,,,‎ 易证,,、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.侧棱,‎ 正三棱锥的外接球的直径为:‎ ‎,,‎ 故正三棱锥外接球的体积是,‎ 故选:A.‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ ‎13.已知两条直线:,:,且,则满足条件a的值为______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】由于直线,则,解得,‎ 故答案为:.‎ ‎14.如图,在正方体中,直线与平面所成的角等于____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正方体中,连接交于点M,连接,‎ 由题可得:,,所以直线平面,‎ 所以直线与平面所成的角等于,‎ 设正方体的边长为,所以,,‎ 所以,所以 ‎15.如图四边形ABCD为梯形,,,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:‎ 圆台下底面、侧面和一半球面,圆台的母线长为,‎ ‎,,.‎ 故所求几何体的表面积为:‎ 圆台的上底面积,下底面积 所以 又 所以旋转体的体积为 故答案为:;.‎ ‎16.已知圆C:和两点,若圆C上存在点M,使得,则m的最小值为______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据题意,点,,则AB的中点为,,‎ 则以AB的中点为圆心,半径的圆为,设该圆为圆O,‎ 若圆C上存在点M,使得,则圆C与圆O有交点,‎ 必有,即,‎ 又由,解可得:,即m的最小值为3;‎ 故答案为:3.‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ ‎17.已知直角的顶点坐标,直角顶点,顶点C在x轴上.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)求斜边中线的方程.‎ ‎【解】(1)直角的顶点坐标,直角顶点,‎ 顶点C在x轴上,设,‎ 则,求得,故.‎ ‎(2)斜边AC的中点为,BM的斜率为,‎ 故BM的方程为,即.‎ ‎18.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点. ‎ ‎(1)求证: 平面BEC1⊥平面ACC1A1;‎ ‎(2)若AA1=, AB=2, 求三棱锥A-BEC1的体积.‎ ‎【解】(1)正三棱柱ABC-A1B1C1中, 为正三角形,E是AC的中点,所以,‎ 平面平面,交线,平面,‎ 所以BE⊥平面ACC1A1,平面BEC1,所以平面BEC1⊥平面ACC1A1;‎ ‎(2)三棱锥A-BEC1的体积 所以三棱锥A-BEC1的体积 ‎19.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)若直线与圆相交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点 的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解】(1)设圆心为.‎ 由于圆与直线相切,且半径为5,‎ 所以,即.‎ 即或,解得或,‎ 因为m为整数,故,‎ 故所求的圆的方程是;‎ ‎(2)设符合条件的实数a存在,‎ ‎,则直线l的斜率为,l的方程为,即.‎ 由于l垂直平分弦AB,故圆心必在l上.‎ 所以,解得.‎ 检验:当时,直线的方程为,‎ 圆心到直线的距离为,合乎题意.‎ 故存在实数,使得过点的直线l垂直平分弦AB.‎ ‎20.在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,.‎ 若PB的中点为E,求证:平面PCD;‎ 若,求二面角的余弦值.‎ ‎【解】证明:如图,取PC的中点F,连接EF,DF,‎ ‎,F分别为PB,PC的中点,,,‎ ‎,且,,且,‎ 四边形ADFE是平行四边形,,‎ 平面PCD,平面PCD,‎ 平面PCD.‎ ‎,,‎ 平面平面,平面平面,平面,‎ 平面,‎ ‎,,,则、、两两垂直,‎ 以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则、、、,‎ ‎,,,,‎ 设平面BDP的法向量,‎ 则,取,得,‎ 设平面PCD的法向量,‎ 则,取,得,‎ 设二面角的平面角为,则,‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎21.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.‎ ‎(I)当时,求证平面 ‎(II)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解】(Ⅰ)在平行四边形中,‎ 由,,,易知, ‎ 又平面,所以平面,∴,‎ 在直角三角形中,易得,‎ 在直角三角形中,,,又,∴,‎ 可得.‎ ‎∴, 又∵,∴平面. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,,‎ 可知为二面角的平面角,‎ ‎,此时为中点. ‎ 过作,连结,则平面平面,‎ 作,则平面,连结,‎ 可得为直线与平面所成的角.‎ 因为,,所以. ‎ 在中,,‎ 直线与平面所成角的正弦值为. ‎ 解法二:依题意易知,‎ 平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系,则易得,‎ ‎(Ⅰ)由有, ‎ 易得,从而平面. ‎ ‎(Ⅱ)由平面,二面角的平面角.‎ 又,则为的中点,即,‎ 设平面的法向量为 则,令,得, ‎ 从而,‎ 直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎22.在平面直角坐标系中,‎ 已知圆和圆.‎ ‎(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.‎ ‎【解】(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.‎ 由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d==1,‎ 结合点到直线距离公式,得=1,‎ 化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-.‎ 所求直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.‎ ‎(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),‎ 即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0.‎ 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.‎ 由垂径定理,得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.‎ 故有,‎ 化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.‎ 因为关于k的方程有无穷多解,所以有 解得点P坐标为或.‎
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