- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题(解析版)
www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题(本大题共12小题) 1.若直线经过、两点,则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 直线经过,两点, 直线AB的斜率, 设直线的倾斜角为,, ,,, 直线AB的倾斜角. 故选: C. 2.若a,b,c是空间三条直线,,a与c相交,则b与c的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 【答案】D 【解析】如图,在正方体中, ,AB与BC相交,与BC是异面直线, ,AB与相交,与是相交直线, ,b,c是空间三条直线,,a与c相交,则b与c的位置关系是异面或相交. 故选:D. 3.圆A:与圆B:的位置关系是( ) A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】圆A:的圆心坐标, 半径, 圆B:的圆心坐标,半径, , ,圆A与圆B外切. 故选:C. 4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是,则圆锥的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为r,母线为l, 圆锥的轴截面是等腰直角三角形, ,即, 由题意得,侧面积,解得, ,圆锥的高, 圆锥的体积, 故选:A. 5.过点,且圆心在直线上的圆的方程是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题作为选择题,可采用排除法,根据圆心在直线上,排除B、D, 点在圆上,排除A 故选C 6.下列命题中,表示两条不同的直线,、、表示三个不同的平面. ①若,,则; ②若,,则; ③若,,则; ④若,,,则. 正确的命题是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】对于①,由线面垂直的判定定理知,直线m与平面内的任意一条直线垂直,由知,存在直线内,使,所以,故①正确;对于②,平面与平面可能相交,比如墙角的三个平面,故②错误;对于③,直线m与n可能相交,可能平行,可能异面,故错误;对于④,由面面平行的性质定理有 ,正确.故正确命题为①④,选C. 7.直三棱柱中,若,,,则异面直线与所成角的余弦值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系, 则0,,0,,0,,1,, 0,,1,, 设异面直线与所成角为,则. 异面直线与所成角的余弦值为. 故选:C. 8.已知直线与圆交于A,B两点,O是原点,C是圆上一点, 若,则a的值为( ) A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】设,, 联立,化为, 直线与圆交于A、B两点, ,解得. ,. . 故选:D. 9.已知点A为圆上的点,点B的坐标为,P为x轴上一动点,则的最小值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】如图, 设圆的圆心为C,则,半径. 点关于x轴的对称点,连接,交圆C与A,交x轴于P, 则的最小值为. 故选:B. 10.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得,蛋巢的底面是边长为1的正方形, 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1, 由于鸡蛋的表面积为4π,故鸡蛋(球)的半径为1,故球心到截面圆的距离为, 而垂直折起的4个小直角三角形的高为, 故鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 11.已知点是直线上一动点,PA、PB是圆C:的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】圆C:,圆心,半径为1. 如图,,,, . ,. ,, 即点C到直线的距离为., 整理得,解得:. 故选:D. 12.在正三棱锥中,M,N分别是SC,BC的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】,N分别是棱SC、BC的中点,,,可得 , 取中点,连接,由得, 而,则平面,平面,∴, ,平面, 、平面,,, 易证,,、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.侧棱, 正三棱锥的外接球的直径为: ,, 故正三棱锥外接球的体积是, 故选:A. 二、填空题(本大题共4小题) 13.已知两条直线:,:,且,则满足条件a的值为______. 【答案】-2 【解析】由于直线,则,解得, 故答案为:. 14.如图,在正方体中,直线与平面所成的角等于____. 【答案】 【解析】正方体中,连接交于点M,连接, 由题可得:,,所以直线平面, 所以直线与平面所成的角等于, 设正方体的边长为,所以,, 所以,所以 15.如图四边形ABCD为梯形,,,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______. 【答案】 (1). (2). 【解析】由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、侧面和一半球面,圆台的母线长为, ,,. 故所求几何体的表面积为: 圆台的上底面积,下底面积 所以 又 所以旋转体的体积为 故答案为:;. 16.已知圆C:和两点,若圆C上存在点M,使得,则m的最小值为______ 【答案】3 【解析】根据题意,点,,则AB的中点为,, 则以AB的中点为圆心,半径的圆为,设该圆为圆O, 若圆C上存在点M,使得,则圆C与圆O有交点, 必有,即, 又由,解可得:,即m的最小值为3; 故答案为:3. 三、解答题(本大题共6小题) 17.已知直角的顶点坐标,直角顶点,顶点C在x轴上. (1)求点C的坐标; (2)求斜边中线的方程. 【解】(1)直角的顶点坐标,直角顶点, 顶点C在x轴上,设, 则,求得,故. (2)斜边AC的中点为,BM的斜率为, 故BM的方程为,即. 18.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点. (1)求证: 平面BEC1⊥平面ACC1A1; (2)若AA1=, AB=2, 求三棱锥A-BEC1的体积. 【解】(1)正三棱柱ABC-A1B1C1中, 为正三角形,E是AC的中点,所以, 平面平面,交线,平面, 所以BE⊥平面ACC1A1,平面BEC1,所以平面BEC1⊥平面ACC1A1; (2)三棱锥A-BEC1的体积 所以三棱锥A-BEC1的体积 19.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点 的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【解】(1)设圆心为. 由于圆与直线相切,且半径为5, 所以,即. 即或,解得或, 因为m为整数,故, 故所求的圆的方程是; (2)设符合条件的实数a存在, ,则直线l的斜率为,l的方程为,即. 由于l垂直平分弦AB,故圆心必在l上. 所以,解得. 检验:当时,直线的方程为, 圆心到直线的距离为,合乎题意. 故存在实数,使得过点的直线l垂直平分弦AB. 20.在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,. 若PB的中点为E,求证:平面PCD; 若,求二面角的余弦值. 【解】证明:如图,取PC的中点F,连接EF,DF, ,F分别为PB,PC的中点,,, ,且,,且, 四边形ADFE是平行四边形,, 平面PCD,平面PCD, 平面PCD. ,, 平面平面,平面平面,平面, 平面, ,,,则、、两两垂直, 以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系, 则、、、, ,,,, 设平面BDP的法向量, 则,取,得, 设平面PCD的法向量, 则,取,得, 设二面角的平面角为,则, 二面角的余弦值为. 21.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上. (I)当时,求证平面 (II)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值. 【解】(Ⅰ)在平行四边形中, 由,,,易知, 又平面,所以平面,∴, 在直角三角形中,易得, 在直角三角形中,,,又,∴, 可得. ∴, 又∵,∴平面. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,, 可知为二面角的平面角, ,此时为中点. 过作,连结,则平面平面, 作,则平面,连结, 可得为直线与平面所成的角. 因为,,所以. 在中,, 直线与平面所成角的正弦值为. 解法二:依题意易知, 平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系,则易得, (Ⅰ)由有, 易得,从而平面. (Ⅱ)由平面,二面角的平面角. 又,则为的中点,即, 设平面的法向量为 则,令,得, 从而, 直线与平面所成角的正弦值为. 22.在平面直角坐标系中, 已知圆和圆. (1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标. 【解】(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0. 由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d==1, 结合点到直线距离公式,得=1, 化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-. 所求直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m), 即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0. 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等. 由垂径定理,得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等. 故有, 化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5. 因为关于k的方程有无穷多解,所以有 解得点P坐标为或.查看更多