2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
第
2
课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
关键能力
·
合作学习
类型一 解分式不等式
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.
若
p
： ≥
0
，
q
：
x
2
-7x+10<0
，则
p
是
q
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
2.
若关于
x
的不等式
>0
的解集为
(-∞
，
-1)∪(4
，
+∞)
，则实数
a=_______.
3.
不等式
>1
的解集为
_______.
【
解析
】
1.
选
B.p
：
(x-5)(x-2)≤0
且
x≠2
，
故
2
0⇔(x+1)(x-a)>0
，
又因为原不等式的解集为
(-∞
，
-1)∪(4
，
+∞)
，
所以
(x+1)(x-4)>0
，所以
a=4.
答案：
4
3.
原不等式化为
-1>0
，即
<0
，
所以
(6x-4)(4x-3)<0
，所以
所以原不等式的解集为
.
答案：
【
解题策略
】
解分式不等式的策略
(1)
对于形如
>0(<0)
的不等式可等价转化为
f(x)g(x)>0(<0)
来解决；对于形如 ≥
0(≤0)
的不等式可等价转化为 来解决
.
(2)
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分
(
不要去分母
)
，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解
.
【
补偿训练
】
若不等式
+m<0
的解集为
{x|x<3
或
x>4}
，则
m
的值为
_____.
【
解析
】
由
+m<0
，得
<0
，
即
[(1+m)x+m
2
-1](x+m)<0.
因为不等式
+m<0
的解集为
{x|x<3
或
x>4}.
所以
x=3
与
x=4
是方程
[(1+m)x+m
2
-1](x+m)=0
的两个根，且
1+m<0.
所以 所以
m=-3.
答案：
-3
类型二 一元二次不等式的实际应用
(
数学建模、数学运算
)
【
典例
】
国家原计划以
2 400
元
/
吨的价格收购某种农产品
m
吨
.
按规定，农户向国家纳税为：每收入
100
元纳税
8
元
(
称作税率为
8
个百分点，即
8%).
为了减轻农民负担，制定积极的收购政策
.
根据市场规律，税率降低
x
个百分点，收购量能增加
2x
个百分点
.
试确定
x
的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的
78%.
四步
内容
理解
题意
条件：
(1)
收购价
2 400
元
/
吨，收购量
m
吨；
(2)
原税率
8
个百分点，降低
x
个百分点，收购量能增加
2x
个百分点
.
结论：求
x
的范围，使税收总收入不低于原计划的
78%.
思路
探求
按照“税收总收入
=
收购价
×
收购量
×
税率”
由题意，列出关系式并求解
.
①
四步
内容
书写
表达
设税率调低后“税收总收入”为
y
元
.
y=2 400m(1+2x%)·(8-x)%
=- m(x
2
+42x-400)(00
，所以
00
对一切实数
x
都成立”，试求
k
的取值范围
.
【
解析
】
当
k=0
时，不等式为
>0
，显然成立；
当
k≠0
时，则有
解得
00(a≠0)
恒成立⇔
ax
2
+bx+c≤0(a≠0)
恒成立⇔
(2)
在给定区间上的恒成立问题
.
①a>0
时，
ax
2
+bx+c<0
在
x∈{x|α≤x≤β}
上恒成立⇔
y=ax
2
+bx+c
在
x=α
，
x=β
时的函数值同时小于
0.
②a<0
时，
ax
2
+bx+c>0
在
x∈{x|α≤x≤β}
上恒成立⇔
y=ax
2
+bx+c
在
x=α
，
x=β
时的函数值同时大于
0.
【
题组训练
】
1.
设
a
为常数，∀
x∈R
，
ax
2
+ax+1>0
，则
a
的取值范围是
(
)
A.(0
，
4) B.[0
，
4)
C.(0
，
+∞) D.(-∞
，
4)
【
解析
】
选
B.∀x∈R
，
ax
2
+ax+1>0
，
则必有 或
a=0
，
所以
0≤a<4.
2.
若对于任意
x∈[m
，
m+1]
，都有
x
2
+mx-1<0
成立，则实数
m
的取值范围是
_______.
【
解析
】
作出二次函数
y=x
2
+mx-1
的草图，对于任意
x∈[m
，
m+1]
，都有
x
2
+mx-
1<0
，则 解得
- 0
C.m≠0 D.
不确定
【
解析
】
选
B.
因为
0∈M
，所以
<0.
所以
m>0.
4.
不等式
x
2
+mx+ >0
恒成立的条件是
_______.
【
解析
】
x
2
+mx+ >0
恒成立，等价于
Δ<0
，
即
m
2
-4× <0⇔0100
，
解得
n<2
或
n>7
，
故
n=1
，
8
，
9
，
10
，
11
，
12
，共
6
个月
.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
分式不等式
不等式的恒成立
不等式的实际应用
（1）分式不等式化为等价的一元二次不等式时，要注意分母不为
0
等隐藏条件
（2）共同特征即是集合中元素满足的条件
二次函数与
一元二次方程、
不等式的应用
一元二次不等式的恒成立问题：
（
1
）判别式法：适用于在
R
上恒成立
数学运算：
通过不等式恒成立问题的求解，培养数学运算的核心素养
数学建模：
通过不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
