【数学】2018届一轮复习人教B版　三角函数（基本初等函数（Ⅱ））学案

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第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制 ①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． ②能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式， 能画出 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性． ③理解正弦函数、余弦函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交 点等)，理解正切函数在 －π 2 ，π 2 内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式： sin2x＋cos2x＝1，sinx cosx ＝tanx. ⑤了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了 解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响． ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数 模型． 2．三角恒等变换 (1)两角和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． ③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系． (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不 要求记忆)． 3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题． 4．1 弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们 规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做 负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的____________重合．角的终边在第几象限， 就说这个角是第几象限角． ①α是第一象限角可表示为 α2kπ<α<2kπ＋π 2 ，k∈Z ； ②α是第二象限角可表示为_______________； ③α是第三象限角可表示为_______________； ④α是第四象限角可表示为_______________． (3)非象限角 如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}； ②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________； ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 _________________________________； ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________； ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 _________________________________； ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作 _________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 _________________________________． (4)终边相同的角 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 α 在 内 ， 可 构 成 一 个 集 合 S ＝ ________________________. 2．弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读 作弧度． |α|＝________，l 是半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长． (2) 弧 度 与 角 度 的 换 算 ： 360 ° ＝ ________rad ， 180 ° ＝ ________rad ， 1 ° ＝ ____________rad≈0.01745rad，反过来 1rad＝________≈57.30°＝57°18′. (3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式 l＝__________；扇形面积公式 S 扇＝________ ＝________． 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P(x，y)与原点的距离为 r(r>0)，则 sinα＝ _____________，cosα＝________，tanα＝________ (x≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域 sinα ① cosα ② tanα ③ (3)三角函数值在各象限的符号 sinα cosα tanα 4．三角函数线 如图，角α的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1，0)作 单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、 三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT ＝__________＝________.像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三 条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT，分别叫做角α的_______、_______、_______，统 称为三角函数线． 5．特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 sinα cosα tanα ※sin15°＝ 6－ 2 4 ，sin75°＝ 6＋ 2 4 ，tan15°＝2－ 3，tan75°＝2＋ 3，由余 角公式易求 15°，75°的余弦值和余切值． 自查自纠： 1．(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴 ② α|2kπ＋π 2 <α<2kπ＋π，k∈Z ③ α|2kπ＋π<α<2kπ＋3 2 π，k∈Z ④ α|2kπ＋3 2 π<α<2kπ＋2π，k∈Z 或 {α|2kπ－π 2 <α<2kπ，k∈Z} (3)坐标轴 ②{α|α＝2kπ＋π，k∈Z} ③ α|α＝2kπ＋π 2 ，k∈Z ④ α|α＝2kπ＋3 2 π，k∈Z ⑤{α|α＝kπ，k∈Z} ⑥ α|α＝kπ＋π 2 ，k∈Z ⑦ α|α＝kπ 2 ，k∈Z (4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 2．(1)半径长 l r (2)2π π π 180 180 π ° (3)|α|r 1 2 |α|r2 1 2 lr 3．(1)y r x r y x (2)①R ②R ③ α|α≠kπ＋π 2 ，k∈Z 4．cosα sinα y x tanα 正弦线 余弦线 正切线 5. 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π 的弧 度数 sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 －1 0 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 －1 2 － 2 2 － 3 2 －1 0 1 tanα 0 3 3 1 3 不 存 在 － 3 －1 － 3 3 0 不 存 在 0 如果 sinα＞0，且 cosα＜0，那么α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：因为 sinα＝y r ＞0, cosα＝x r ＜0，所以 x＜0，y＞0.所以α是第二象限角．故选 B. (2016·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点 P 3 5 ，－4 5 ，则 sinα－cosα的 值是( ) A．－7 5 B．－1 5 C.1 5 D.7 5 解：由题意知 sinα＝－4 5 ，cosα＝3 5 ， 所以 sinα－cosα＝－4 5 －3 5 ＝－7 5 .故选 A. 给出下列命题： ①小于π 2 的角是锐角； ②第二象限角是钝角； ③终边相同的角相等； ④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2kπ(k∈Z)． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解：①锐角的取值范围是 0，π 2 ，故不正确；②钝角的取值范围是 π 2 ，π ，而第二 象限角为 2kπ＋π 2 ，2kπ＋π ，k∈Z，故不正确；③若α＝β＋2kπ，k∈Z，α与β的终 边相同，但当 k≠0 时，α≠β，故不正确；④正确．故选 B. 半径为 R 的圆的一段弧长等于 2 3R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是 ____________． 解：圆心角的弧度数α＝2 3R R ＝2 3. 故填 2 3. (2016·唐山模拟)给出下列各函数值： ①sin(－1 000°); ②cos(－2 200°)； ③tan(－10); ④ sin7π 10 cosπ tan17π 9 . 其中符号为负的是________．(填对应序号) 解：sin(－1 000°)＝sin80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan(－ 10)＝tan(3π－10)<0； sin7π 10 cosπ tan17π 9 ＝ －sin7π 10 tan8π 9 ＞0.故填③. 类型一 角的概念 若α是第二象限角，试分别确定 2α，α 2 ，α 3 的终边所在位置． 解：因为α是第二象限角， 所以 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)． (1)因为 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)， 故 2α的终边在第三或第四象限或 y 轴的负半轴上． (2)因为 45°＋k·180°＜α 2 ＜90°＋ k·180°(k∈Z)，当 k＝2n(n∈Z)时，45°＋ n· 360°＜α 2 ＜90°＋n·360°， 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α 2 ＜270°＋n·360°，所以α 2 的终边在第 一或第三象限． (3)因为 30°＋k·120°＜α 3 ＜60°＋ k·120°(k∈Z)， 当 k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α 3 ＜60°＋n·360°， 当 k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α 3 ＜180°＋n·360°， 当 k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α 3 ＜300°＋n·360°，所以α 3 的终边在第 一或第二或第四象限． 点拨： 关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解 此类题一般步骤为：写出α的范围→求出 2α，α 2 ，α 3 的范围→分类讨论求出 2α，α 2 ，α 3 终 边所在位置． 已知角 2α的终边在 x 轴的上方(不与 x 轴重合)，求α的终边所在的象限． 解：依题意有 2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)， 所以 kπ＜α＜kπ＋π 2 (k∈Z)． 当 k＝0 时，0＜α＜π 2 ，此时α是第一象限角； 当 k＝1 时，π＜α＜3 2 π，此时α是第三象限角． 综上，对任意 k∈Z，α为第一或第三象限角． 故α的终边在第一或第三象限． 类型二 扇形的弧长与面积问题 如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝120°，半径 R＝6，求： (1)AB︵的长； (2)弓形 ACB 的面积． 解：(1)因为∠AOB＝120°＝2π 3 ，R＝6， 所以 ＝2π 3 ×6＝4π. (2)S 弓形 ACB＝S 扇形 OAB－S△OAB＝1 2 R－ 1 2 R2sin∠AOB＝1 2 ×4π×6－1 2 ×62× 3 2 ＝12π －9 3. 点拨： ①直接用公式 l＝|α|R 可求弧长，利用 S 弓＝ S 扇－S△可求弓形面积．②关于扇形的 弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用， 在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到 的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用． 扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小． 解：设扇形半径为 r，则弧长为 8－2r， 所以 S＝1 2 ·(8－2r)·r＝3，解得 r＝1 或 3. 所以圆心角θ＝弧长 半径 ＝8－2r r ＝6 或2 3 . 类型三 三角函数的定义 已知角α的终边经过点 P(a，2a)(a＞0)，求 sinα，cosα，tanα的值． 解：因为角α的终边经过点 P(a，2a)(a＞0)， 所以 r＝ 5a，x＝a，y＝2a. 所以 sinα＝y r ＝ 2a 5a ＝2 5 5 ，cosα＝x r ＝ a 5a ＝ 5 5 ，tanα＝y x ＝2a a ＝2. 点拨： 若题目中涉及角α终边上一点 P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求 解． 已知角α的终边经过点 P(3m－9， m＋2)． (1)若 m＝2，求 5sinα＋3tanα的值； (2)若 cosα≤0 且 sinα＞0，求实数 m 的取值范围． 解：(1)因为 m＝2，所以 P(－3，4)，所以 x＝－3，y＝4，r＝5. 所以 sinα＝y r ＝4 5 ，tanα＝y x ＝－4 3 . 所以 5sinα＋3tanα＝5×4 5 ＋3× －4 3 ＝0. (2)因为 cosα≤0 且 sinα＞0，所以 3m－9≤0， m＋2＞0. 所以－2＜m≤3. 类型四 三角函数线的应用 用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于 1，即已知 0≤α＜ 2π，求证：|sinα|＋|cosα|≥1. 证明：作平面直角坐标系 xOy 和单位圆． (1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为 Ox 轴，设它交单位圆于 A 点，如图 1，显 然 sinα＝0，cosα＝OA＝1，所以|sinα|＋|cosα|＝1. 图 1 (2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为 OP，设它交单位圆于 A 点，过 A 作 AB⊥x 轴于 B，如图 2，则 sinα＝BA，cosα＝OB. 图 2 在△OAB 中，|BA|＋|OB|＞|OA|＝1，所以|sinα|＋|cosα|＞1. 综上所述，|sinα|＋|cosα|≥1. 点拨： 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表 示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求 三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性． 求证：当α∈ 0，π 2 时，sinα<α0， cosθ<0 或 sinθ<0， cosθ>0. 所以角θ是第二或第四象限角．故 选 D. 2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则 cosα＝( ) A.4 5 B.3 5 C．－3 5 D．－4 5 解：cosα＝ －4 （－4）2＋32 ＝－4 5 .故选 D. 3．(2015·济南模拟)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴．若 P(4，y) 是角θ终边上一点，且 sinθ＝－2 5 5 ，则 y＝( ) A．－8 B．8 C．－4 D．4 解：根据题意 sinθ＝－2 5 5 <0 及 P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再 由三角函数的定义得 y 42＋y2 ＝－2 5 5 ，解得 y＝－8.故选 A. 4．(2015·湖北模拟)已知角 x 的终边上一点坐标为(sin5π 6 ，cos5π 6 )，则角 x 的最小 正值为( ) A.5π 6 B.5π 3 C.11π 6 D.2π 3 解：因为 cosx＝sin5π 6 ＝1 2 ，sinx＝cos5π 6 ＝－ 3 2 ，所以 x＝－π 3 ＋2kπ，k∈Z，当 k ＝1 时，x＝5π 3 .故选 B. 5．(2016·湖北龙泉中学月考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合， 终边在直线 y＝2x 上，则 sin 2θ＋π 4 的值为( ) A．－7 2 10 B.7 2 10 C．－ 2 10 D. 2 10 解：由题意可知 tanθ＝2，sin 2θ＋π 4 ＝ 2 2 (sin2θ＋cos2θ)＝ 2(sinθcosθ＋ cos2θ)－ 2 2 ＝ 2cos2θ(tanθ＋1)－ 2 2 ＝ 2（tanθ＋1） tan2θ＋1 － 2 2 ＝ 2 10 .故选 D. 6．sin1，cos1，tan1 的大小关系是( ) A．sin1＜cos1＜tan1 B．tan1＜sin1＜cos1 C．cos1＜tan1＜sin1 D．cos1＜sin1＜tan1 解：如图，单位圆中∠MOP＝1 rad＞π 4 rad，因为 OM＜ 2 2 ＜MP＜AT，所以 cos1＜sin1 ＜tan1.故选 D. 7．点 P 从(1，0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运动2 3 π弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为__________． 解：由三角函数的定义知点 Q(x，y)满足 x＝cos2 3 π＝－1 2 ， y＝sin2 3 π＝ 3 2 . 故填 －1 2 ， 3 2 . 8．若一扇形的周长为 60cm，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大． 解：设该扇形的半径为 r，圆心角为θ，弧长为 l，面积为 S，则 l＋2r＝60，所以 l＝ 60－2r. 所以 S＝1 2 lr＝1 2 (60－2r)r＝－r2＋30r ＝－(r－15)2＋225. 所以当 r＝15 时，S 最大，最大值为 225cm2. 此时，θ＝l r ＝30 15 ＝2rad. 故填 15；2. 9．若α是第三象限角，则 2α，α 2 分别是第几象限角？ 解：因为α是第三象限角，所以 2kπ＋π<α<2kπ＋3 2 π，k∈Z. 所以 4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z. 所以 2α是第一、二象限角，或角的终边在 y 轴非负半轴上． 又 kπ＋π 2 <α 2 0，n>0)，则直线 OB 的倾斜角为π 3 ＋α，n m ＝tan π 3 ＋α ＝ 3＋ 1 4 3 1－ 3· 1 4 3 ＝ 13 3 3 ，即 m2＝ 27 169 n2，因为 m2＋n2＝(4 3)2＋12＝49，所以 n2＋ 27 169 n2＝49，所以 n＝13 2 或 n ＝－13 2 (舍去)，所以点 B 的纵坐标为13 2 . (2015·合肥模拟)如图，A，B 是单位圆上的两个质点，B 点坐标为(1，0)，∠ BOA＝60°，质点 A 以 1 弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点 B 以 1 弧度/ 秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点 A 作 AA1⊥y 轴于 A1，过点 B 作 BB1⊥y 轴于 B1. (1)求经过 1 秒后，∠BOA 的弧度数； (2)求质点 A，B 在单位圆上的第一次相遇所用的时间； (3)记 A1B1 的距离为 y，请写出 y 与时间 t 的函数关系式，并求出 y 的最大值． 解：(1)经过 1 秒后，∠BOA＝π 3 ＋1＋1＝π 3 ＋2. (2)设经过 t 秒后相遇，则有 t(1＋1)＋π 3 ＝2π，解得 t＝5π 6 ，即经过5π 6 秒后 A，B 第一次相遇． (3)y＝|sin t＋π 3 －sin（－t）| ＝|3 2 sint＋ 3 2 cost|＝ 3|sin t＋π 6 |，当 t＋π 6 ＝kπ＋π 2 (k∈N)，即 t＝kπ＋π 3 (k∈N) 时，ymax＝ 3. 4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________． (2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的 其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容： x 函数 sinx cosx tanx －α －sinα cosα －tanα π 2 ±α π±α 3π 2 ±α 2π±α (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、 偶分别是指π 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦 互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________ 时，原三角函数式中的角 如π 2 ＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成 锐角是指α不一定是锐角，如 sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋ 120°)＝ －cos120°，此时把 120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值， 其一般步骤是： 任意负角的 三角函数 ――――――――――→去负（化负角为正角） 任意正角的 三角函数 ――――→脱周 脱去 k·360° 0°到 360°的 三角函数 ――――――――→化锐 （把角化为锐角 ） 锐角三 角函数 3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系 (sinα＋cosα)2＝________________； (sinα－cosα)2＝________________； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝____________； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝___________. 自查自纠： 1．(1)①sin2α＋cos2α＝1 ②sinα cosα ＝tanα 2．(1) x 函数 sinx cosx tanx －α －sinα cosα －tanα π 2 ±α cosα ∓ sinα π±α ∓ sinα －cosα ±tanα 3π 2 ±α －cosα ±sinα 2π±α ±sinα cosα ±tanα (2)不变 锐角 象限(3)锐角 3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α (2016·北京模拟)已知α∈(0，π)，且 cosα＝－3 5 ，则 tanα＝( ) A.3 4 B．－3 4 C.4 3 D．－4 3 解：因为α∈(0，π)，所以 sinα>0，又 cosα＝－3 5 ，所以 sinα＝ 1－cos2α＝ 1－ －3 5 2 ＝4 5 ， tanα＝sinα cosα ＝－4 3 .故选 D. (2016·贵州 4 月适应性考试)若 sin π 2 ＋α ＝－3 5 ，且α∈ π 2 ，π ，则 sin(π －2α)＝( ) A.24 25 B.12 25 C．－12 25 D．－24 25 解：由 sin π 2 ＋α ＝－3 5 得 cosα＝－3 5 ，又α∈ π 2 ，π ，则 sinα＝4 5 ，所以 sin(π －2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－24 25 .故选 D. (2015·广东模拟)若 sinθ，cosθ是方程 4x2＋2mx＋m＝0 的两根，则 m 的值为 ( ) A．1＋ 5 B．1－ 5 C．1± 5 D．－1－ 5 解 ： 由 题 意 知 sinθ ＋ cosθ ＝ － m 2 ， sinθcosθ ＝ m 4 ， 又 (sinθ ＋ cosθ)2 ＝ 1 ＋ 2sinθcosθ，所以m2 4 ＝1＋m 2 ，解得 m＝1± 5.又Δ＝4m2－16m≥0，所以 m≤0 或 m≥4，所 以 m＝1－ 5.故选 B. (2016·日照模拟)已知角α为第二象限角，cos π 2 －α ＝4 5 ，则 cosα＝________. 解：sinα＝cos π 2 －α ＝4 5 ，又α为第二象限角，所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－3 5 . 故填－3 5 . (2015·青海模拟)已知△ABC 中，tanA＝－ 5 12 ，则 cosA＝________． 解：在△ABC 中，由 tanA＝－ 5 12 <0 知∠A 为钝角，所以 cosA<0，1＋tan2A＝sin2A＋cos2A cos2A ＝ 1 cos2A ＝169 144 ，得 cosA＝－12 13 .故填－12 13 . 类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值 (1)已知 sinα＝1 3 ，且α为第二象限角，求 tanα； (2)已知 sinα＝1 3 ，求 tanα； (3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα. 解：(1)因为 sinα＝1 3 ，且α是第二象限角， 所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 1 3 2 ＝－2 2 3 . 所以 tanα＝sinα cosα ＝－ 2 4 . (2)因为 sinα＝1 3 ，所以α是第一或第二象限角． 当α是第一象限角时， cosα＝ 1－sin2α＝ 1－ 1 3 2 ＝2 2 3 ， 所以 tanα＝sinα cosα ＝ 2 4 ； 当α是第二象限角时，tanα＝－ 2 4 . (3)因为 sinα＝m(m≠0，m≠±1)， 所以 cosα＝± 1－sin2α＝± 1－m2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、 三象限角时取负号)． 所以当α为第一、四象限角时，tanα＝ m 1－m2 ； 当α为第二、三象限角时，tanα＝－ m 1－m2 . 点拨： 解题时要注意角的取值范围，分类讨论，正确判断函数值的符号． (1)设 sinα 2 ＝4 5 ，且α是第二象限角，则 tan α 2 的值为________． 解：因为α是第二象限角，所以α 2 是第一或第三象限角． ①当α 2 是第一象限角时， 有 cosα 2 ＝ 1－sin2α 2 ＝ 1－ 4 5 2 ＝3 5 ， 所以 tanα 2 ＝ sinα 2 cosα 2 ＝4 3 ； ②当α 2 是第三象限角时，与 sinα 2 ＝4 5 矛盾，舍去． 综上，tanα 2 ＝4 3 .故填4 3 . (2)已知 sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，则 tanα＝________. 解法一：由 sinα－cosα＝ 2， sin2α＋cos2α＝1， 得 2cos2α＋2 2cosα＋1＝0，即( 2cosα＋1)2＝0， 所以 cosα＝－ 2 2 .又α∈(0，π)，所以α＝3π 4 ，tanα＝tan3π 4 ＝－1. 解法二：因为 sinα－cosα＝ 2，所以(sinα－cosα)2＝2，得 sin2α＝－1.因为 α∈(0，π)，所以 2α∈(0，2π)，2α＝3π 2 ，所以α＝3π 4 ，tanα＝－1.故填－1. 类型二 诱导公式的运用 (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且 sin θ＋π 4 ＝3 5 ，则 tan θ－π 4 ＝________. 解：由题意知，θ＋π 4 是第一象限角， 得 cos θ＋π 4 ＝4 5 ， 根据同角三角函数关系式可得 tan θ＋π 4 ＝3 4 . 所以 tan θ－π 4 ＝tan θ＋π 4 －π 2 ＝－ 1 tan θ＋π 4 ＝－4 3 .故填－4 3 . (2)化简 sin（2π－α）cos（π＋α）cos π 2 ＋α cos 11π 2 －α cos（π－α）sin（3π－α）sin（－π－α）sin 9π 2 ＋α . 解：原式＝（－sinα）（－cosα）（－sinα）（－sinα） （－cosα）·sinα·sinα·cosα ＝－tanα. 点拨： ①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避 免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、 求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不 变，符号看象限”可以提高解题效率． (1)化简 sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1. 解：原式＝sin2α－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2. (2)(2015·广西模拟)已知 tan π 6 －α ＝ 3 3 ，则 tan 5 6 π＋α ＝________. 解：因为 π 6 －α ＋ 5π 6 ＋α ＝π， 所以 tan 5 6 π＋α ＝－tan π－ 5 6 π＋α ＝ －tan π 6 －α ＝－ 3 3 .故填－ 3 3 . 类型三 关于 sinα，cosα的齐次式问题 已知 tanα tanα－1 ＝－1，求下列各式的值． (1)sinα－3cosα sinα＋cosα ； (2)sin2α＋sinαcosα＋2. 解：由已知得 tanα＝1 2 . (1)sinα－3cosα sinα＋cosα ＝tanα－3 tanα＋1 ＝－5 3 . (2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα sin2α＋cos2α ＋2 ＝tan2α＋tanα tan2α＋1 ＋2＝ 1 2 2 ＋1 2 1 2 2 ＋1 ＋2＝13 5 . 点拨： (1)形如 asinα＋bcosα和 asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于 sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分 母同除以 cosα或 cos2α)求解．如果分母为 1，可考虑将 1 写成 sin2α＋cos2α.(2)已知 tanα＝m 的条件下，求解关于 sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是 关于 sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为 cosα≠0，所以可以 用 cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于 tanα的表示式，可整体代入 tanα＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意 1＝sin2α＋cos2α的运用． (2016·南充适应性考试)已知角α的终边经过点 P(2，－1)，则sinα－cosα sinα＋cosα ＝( ) A．3 B.1 3 C．－1 3 D．－3 解：因为角α的终边经过点 P(2，－1)，所以 tanα＝－1 2 ，根据同角三角函数关系式得 cosα＝ －2sinα，所以sinα－cosα sinα＋cosα ＝sinα＋2sinα sinα－2sinα ＝ 3sinα －sinα ＝ －3. 另解：sinα－cosα sinα＋cosα ＝tanα－1 tanα＋1 ＝ －1 2 －1 －1 2 ＋1 ＝－3.故选 D. 1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负 号的选取． 2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三 角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况： (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此 类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有 给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位 置，然后分不同的情况求解． (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意 适当选取分类标准，一般有两组解． 3．计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及 sinα，cosα的齐次分 式问题，常采用分子分母同除以 cosnα(n∈N*)，这样可以将被求式化为关于 tanα的式子． (2)巧用“1”进行变形，如 1＝sin2α＋cos2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． (4)熟悉 sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者之间的内在联系，利用(sinα ±cosα)2＝1±2sinαcosα进行和积转换，可知一求二． 1．sin585°的值为( ) A．－ 2 2 B. 2 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解：sin585°＝sin(90°×6＋45°)＝ －sin45°＝－ 2 2 .故选 A. 2．已知α是第二象限角，sinα＝ 5 13 ，则 cosα＝( ) A．－12 13 B．－ 5 13 C. 5 13 D.12 13 解：因为α是第二象限角，sinα＝ 5 13 ， 所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 5 13 2 ＝ －12 13 .故选 A. 3．(2015·石家庄一模)已知 cosα＝k，k∈R，α∈ π 2 ，π ，则 sin(π＋α)＝( ) A．－ 1－k2 B. 1－k2 C．－k D．± 1－k2 解：因为α∈ π 2 ，π ，所以 sinα>0，则 sin(π＋α)＝－sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－k2.故选 A. 4．(2016·全国卷Ⅲ)若 tanα＝3 4 ，则 cos2α＋2sin2α＝( ) A.64 25 B.48 25 C．1 D.16 25 解法一：cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2α sin2α＋cos2α ＝1＋4tanα 1＋tan2α ＝64 25 . 解法二：由 tanα＝3 4 ，得 sinα＝3 4 cosα，sinα＝3 5 ，cosα＝4 5 或 sinα＝－3 5 ，cosα ＝－4 5 ，所以 cos2α＋2sin2α＝16 25 ＋4×12 25 ＝64 25 .故选 A. 5．(2015·衡水模拟)已知α为锐角，且 2tan(π－α)－3cos π 2 ＋β ＋5＝0，tan(π ＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则 sinα的值是( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 解：由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，两式联立得 tanα＝3， 所以 sinα＝3 10 10 .故选 C. 6．(2016·淮南二模)已知 sinα＋cosα＝1 2 ， α∈(0，π)，则1－tanα 1＋tanα ＝( ) A．－ 7 B. 7 C. 3 D．－ 3 解：因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1 4 ， 所以 sinαcosα＝－3 8 ，又α∈(0，π)，所以 sinα>0，cosα<0. 因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝7 4 ， 所以 cosα－sinα＝－ 7 2 . 所以1－tanα 1＋tanα ＝cosα－sinα cosα＋sinα ＝ － 7 2 1 2 ＝－ 7. 故选 A. 7．(2015·湖北模拟)已知 cos 5π 12 ＋α ＝1 3 ，且－π<α<－π 2 ，则 cos π 12 －α ＝ ________． 解：因为－7π 12 <5π 12 ＋α<－π 12 ，cos 5π 12 ＋α ＝1 3 ，所以 sin 5π 12 ＋α ＝－2 2 3 ， 所以 cos π 12 －α ＝sin[π 2 － π 12 －α ]＝sin 5π 12 ＋α ＝－2 2 3 .故填－2 2 3 . 8．(2015·四川)已知 sinα＋2cosα＝0，则 2sinαcosα－cos2α的值是________． 解：因为 sinα＋2cosα＝0，所以 sinα＝－2cosα，由同角三角函数关系式得 cos2α ＋4cos2α＝1， 所以 cos2α＝1 5 ， 所以 2sinαcosα－cos2α＝－4cos2α－cos2α＝ －5cos2α＝－1.故填－1. 9 ． 已 知 sin(3π ＋ θ) ＝ 1 3 ， 求 cos（π＋θ） cosθ[cos（π－θ）－1] ＋ cos（θ－2π） sin θ－3π 2 cos（θ－π）－sin 3π 2 ＋θ 的值． 解 ： 因 为 sin(3π ＋ θ) ＝ － sinθ ＝ 1 3 ， 所 以 sinθ ＝ － 1 3 . 所 以 原 式 ＝ －cosθ cosθ（－cosθ－1） ＋ cosθ cosθ·（－cosθ）＋cosθ ＝ 1 1＋cosθ ＋ 1 1－cosθ ＝ 2 1－cos2θ ＝ 2 sin2θ ＝ 2 －1 3 2＝18. 10．已知 sinθ－cosθ＝1 2 ，求： (1)sinθcosθ； (2)sin3θ－cos3θ； (3)sin4θ＋cos4θ. 解：(1)将 sinθ－cosθ＝1 2 两边平方得：1－2sinθcosθ＝1 4 ，sinθcosθ＝3 8 . (2)sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋ sinθcosθ＋cos2θ) ＝1 2 × 1＋3 8 ＝11 16 . (3)sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ ＝1－2× 3 8 2 ＝23 32 . 11．(1)已知 tanα＝3，求 2 3 sin2α＋1 4 cos2α的值． (2)已知 1 tanα－1 ＝1，求 1 1＋sinαcosα 的值． 解：(1)2 3 sin2α＋1 4 cos2α＝ 2 3 sin2α＋1 4 cos2α sin2α＋cos2α ＝ 2 3 tan2α＋1 4 tan2α＋1 ＝ 2 3 ×32＋1 4 32＋1 ＝5 8 . (2)由 1 tanα－1 ＝1 得 tanα＝2， 1 1＋sinαcosα ＝ sin2α＋cos2α sin2α＋cos2α＋sinαcosα ＝ tan2α＋1 tan2α＋tanα＋1 ＝ 22＋1 22＋2＋1 ＝5 7 . 若 A，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点 P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：因为 A＋B＞π 2 ，且 A，B 为锐角，所以π 2 ＞A＞π 2 －B＞0，所以 sinA＞sin π 2 －B ＝ cosB，cosA＜cos π 2 －B ＝sinB， 所以 cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0， 所以点 P 在第二象限．故选 B. 4．3 三角函数的图象与性质 1．“五点法”作图 (1) 在 确 定 正 弦 函 数 y ＝ sinx 在 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 _____________，_____________，_____________，_____________，_____________． (2) 在 确 定 余 弦 函 数 y ＝ cosx 在 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 _____________，_____________，_____________，_____________，_____________． 2．周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 ________________，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．如 果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 ________________． 3．三角函数的图象和性质 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 ①________ ②________ ③_______ 图象 （一个周期） 值域 ④________ ⑤________ R 对称性 对称轴： ⑥________；对称中心： ⑦_______ 对称轴： ⑧________；对称中心： ⑨________ 无对称轴； 对称中心： ⑩______ 最小正 周期 ⑪________ ⑫_________ ⑬_______ 单调性 单调增区间 ⑭________； 单调增区间 ⑮________ 单调减区间 ⑯________； 单调减区间 ⑰________ 单调增区间 ⑱_______ 奇偶性 ⑲________ ⑳________ ○21_______ 自查自纠： 1．(1)(0，0) π 2 ，1 (π，0) 3π 2 ，－1 (2π，0) (2)(0，1) π 2 ，0 (π，－1) 3 2 π，0 (2π，1) 2．f(x＋T)＝f(x) 最小正周期 3．①R ②R ③ x|x≠kπ＋π 2 ，k∈Z ④ ⑤ ⑥x＝kπ＋π 2 (k∈Z) ⑦(kπ，0)(k∈Z) ⑧x＝kπ(k∈Z) ⑨ kπ＋π 2 ，0 (k∈Z) ⑩ kπ 2 ，0 (k∈Z) ⑪2π ⑫2π ⑬π ⑭ 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z) ⑮ 2kπ＋π 2 ，2kπ＋3π 2 (k∈Z) ⑯(k∈Z) ⑰(k∈Z) ⑱ kπ－π 2 ，kπ＋π 2 (k∈Z) ⑲奇函数 ⑳偶函数 ○21奇函数 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A．y＝cos 2x＋π 2 B．y＝sin 2x＋π 2 C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx 解：y＝cos 2x＋π 2 ＝－sin2x，最小正周期为π，且其图象关于点 kπ 2 ，0 (k∈Z)对 称，k＝0 时为原点．故选 A. (2015·长沙模拟)下列函数中，周期为π且在 0，π 2 上是减函数的是( ) A．y＝sin x＋π 4 B．y＝cos x＋π 4 C．y＝sin2x D．y＝cos2x 解：对于函数 y＝cos2x，T＝π，当 x∈ 0，π 2 时，2x∈，y＝cos2x 是减函数．故选 D. (2016·长沙模拟)若函数 y＝cos ωx＋π 6 (ω∈N*)的图象的一个对称中心是 π 6 ，0 ，则ω的最小值为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 解：由题意知πω 6 ＋π 6 ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，所以ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，则ωmin＝2. 故选 B. ( 2015·安徽模拟 ) 函 数 y ＝ lg(3 － 4sin2x) 的 定 义 域 为 ___________________________． 解：因为 3－4sin2x＞0，所以 sin2x＜3 4 ， 所以－ 3 2 ＜sinx＜ 3 2 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， 所以 x∈ kπ－π 3 ，kπ＋π 3 (k∈Z)． 故填 kπ－π 3 ，kπ＋π 3 (k∈Z)． (2015·浙江)函数 f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1 的最小正周期是________，单调递减 区间是________． 解：f(x)＝1－cos2x 2 ＋1 2 sin2x＋1＝ 2 2 sin 2x－π 4 ＋3 2 ，最小正周期是 T＝ 2π 2 ＝π. 由π 2 ＋2kπ≤2x－π 4 ≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得3π 8 ＋kπ≤x≤7π 8 ＋kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递减区间是 3π 8 ＋kπ，7π 8 ＋kπ ，k∈Z. 故填π； 3π 8 ＋kπ，7π 8 ＋kπ ，k∈Z. 类型一 三角函数的定义域、值域 (1)函数 y＝lg(sinx－cosx)的定义域是__________________________． 解：要使函数有意义，必须使 sinx－cosx＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出上 y＝sinx 和 y＝cosx 的图象，如图所示： 在内，满足 sinx＝cosx 的 x 为π 4 ，5π 4 ，在 π 4 ，5π 4 内 sinx＞cosx，再结合正弦、余 弦函数的周期是 2π，所以定义域为{xπ 4 ＋2kπ＜x＜5π 4 ＋2kπ，k∈Z}． 解法二：利用三角函数线． 如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使 sinx＞cosx，只须π 4 ＜x＜5π 4 (在内)． 所以定义域为 x|π 4 ＋2kπ＜x＜5π 4 ＋2kπ，k∈Z ． 解法三：sinx－cosx＝ 2sin x－π 4 ＞0，由正弦函数 y＝sinx 的图象和性质可知 2kπ ＜x－π 4 ＜π＋2kπ，解得 2kπ＋π 4 ＜x＜5π 4 ＋2kπ，k∈Z. 所以定义域为 xπ 4 ＋2kπ＜x＜5π 4 ＋2kπ，k∈Z . 故填 x|π 4 ＋2kπ＜x＜5π 4 ＋2kπ，k∈Z . 点拨： ①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常 借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为 复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数 线求交集． (2)函数 y＝－3sin2x－4cosx＋4，x∈ π 3 ，2π 3 的值域是________． 解：原式＝3cos2x－4cosx＋1＝3 cosx－2 3 2 －1 3 ， 因为 x∈ π 3 ，2π 3 ，所以 cosx∈ －1 2 ，1 2 . 所以当 cosx＝－1 2 ，即 x＝2 3 π时，y 有最大值15 4 ； 当 cosx＝1 2 ，即 x＝π 3 时，y 有最小值－1 4 . 所以值域为 －1 4 ，15 4 .故填 －1 4 ，15 4 . (3)已知函数 f(x)＝ 2cos 2x＋π 4 ，求函数 f(x)在区间 －π 2 ，0 上的最大值和最小 值． 解：因为－π 2 ≤x≤0，所以－3 4 π≤2x＋π 4 ≤π 4 ， 所以当 2x＋π 4 ＝－3 4 π，即 x＝－π 2 时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1； 当 2x＋π 4 ＝0，即 x＝－π 8 时，f(x)有最大值，f(x)max＝ 2，即 f(x)在 －π 2 ，0 上的最 小值为－1，最大值为 2. 点拨： 求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例 1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法 等．对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可直接求出ωx＋φ在区间 的范围，然后根据单调性求解． (1)求函数 y＝ lgsinx 2sinx－ 3 的定义域； (2)已知函数 f(x)＝sin 2x－π 6 ，x∈R，求 f(x)在 0，π 2 上的最大值和最小值； (3)求函数 y＝cosx－2 cosx－1 的最小值； (4)求函数 y＝sinx－cosx＋sinxcosx 的值域． 解：(1)因为 y＝ lgsinx 2sinx－ 3 ，所以 sinx＞0， 2sinx－ 3≠0. 所以原函数的定义域为{x|2kπ＜x＜2kπ＋π，且 x≠2kπ＋π 3 ，x≠2kπ＋2 3 π，k∈ Z}． (2)因为 x∈ 0，π 2 ，所以 2x－π 6 ∈ －π 6 ，5π 6 . 当 2x－π 6 ＝－π 6 ，即 x＝0 时，函数 f(x)有最小值－1 2 ； 当 2x－π 6 ＝π 2 ，即 x＝π 3 时，函数 f(x)有最大值 1. (3)解法一：因为 y＝cosx－2 cosx－1 ＝cosx－1－1 cosx－1 ＝ 1＋ 1 1－cosx ， 所以当 cosx＝－1 时，ymin＝1＋1 2 ＝3 2 . 解法二：由 y＝cosx－2 cosx－1 ，得 cosx＝y－2 y－1 ， 又因为－1≤cosx＜1，所以－1≤y－2 y－1 ＜1. 所以 y≥3 2 .所以函数的最小值为3 2 . (4)设 t＝sinx－cosx，则 t2＝1－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t2 2 ，且－ 2≤t≤ 2. 所以 y＝－t2 2 ＋t＋1 2 ＝－1 2 (t－1)2＋1. 当 t＝1 时，ymax＝1； 当 t＝－ 2时，ymin＝－1 2 － 2. 所以函数 y＝sinx－cosx＋sinxcosx 的值域为 －1 2 － 2，1 . 类型二 三角函数的周期性 (2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos 2x＋π 6 ，④ y＝tan 2x－π 4 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期． ①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝2π 2 ＝π； ②由图象知，函数的最小正周期 T＝π； ③T＝2π 2 ＝π； ④T＝π 2 . 综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选 C. 点拨： ①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为 一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是 否减半，可用图象法判定，y＝|cosx|的图象即是将 y＝cosx 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方去． 求下列函数的最小正周期． (1)y＝(asinx＋cosx)2(a∈R)； (2)y＝2cosxsin x＋π 3 － 3sin2x＋sinxcosx； (3)y＝2|sin 4x－π 3 |. 解：(1)y＝[ a2＋1sin(x＋φ)]2 ＝(a2＋1)sin2(x＋φ) ＝(a2＋1)·1－cos（2x＋2φ） 2 (φ为辅助角)， 所以此函数的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. (2)y＝2cosx 1 2 sinx＋ 3 2 cosx － 3sin2x＋sinxcosx ＝sinxcosx＋ 3cos2x－ 3sin2x＋sinxcosx ＝sin2x＋ 3cos2x ＝2sin 2x＋π 3 ， 该函数的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. (3)y＝2 |sin 4x－π 3 |的最小正周期是 y＝2sin(4x－π 3 )的最小正周期的一半，即 T＝1 2 ×2π 4 ＝π 4 . 类型三 三角函数的奇偶性 (1)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝cos π 2 ＋2x cos(π＋x)； ②f(x)＝1＋sinx－cosx 1＋sinx＋cosx . 解：①f(x)＝cos π 2 ＋2x cos(π＋x) ＝(－sin2x)(－cosx) ＝cosxsin2x. 因为 f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝ －cosxsin2x＝－f(x)，x∈R，所以 f(x) 是奇函数． ②因为 1＋sinx＋cosx＝2cosx 2 sinx 2 ＋cosx 2 ≠0， 所以 x≠π＋2kπ且 x≠－π 2 ＋2kπ，k∈Z. 所以 f(x)的定义域不关于原点对称．故 f(x)是非奇非偶函数． (2)已知函数 f(x)＝2sin x＋θ＋π 3 θ∈ －π 2 ，π 2 是偶函数，则θ的值为( ) A．0 B.π 6 C.π 4 D.π 3 解：因为函数 f(x)为偶函数，所以θ＋π 3 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)．又因为θ∈ －π 2 ，π 2 ， 所以θ＋π 3 ＝π 2 ，解得θ＝π 6 ，经检验符合题意．故选 B. 点拨： 判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验 证 f(－x)是否等于－f(x)或 f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇 非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代 x，再化 简判断，还可利用 f(－x)± f(x)＝0 是否成立来判断其奇偶性． (1)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝ 2sinx－1； ②f(x)＝lg(sinx＋ 1＋sin2x)． 解：①因为 2sinx－1≥0，所以 sinx≥1 2 ， 即 x∈ 2kπ＋π 6 ，2kπ＋5π 6 (k∈Z)，此区间不关于原点对称． 所以 f(x)是非奇非偶函数． ②由题意知函数 f(x)的定义域为 R. f(－x)＝lg ＝lg(－sinx＋ 1＋sin2x) ＝lg 1 1＋sin2x＋sinx ＝－lg( 1＋sin2x＋sinx)＝－f(x)． 所以函数 f(x)是奇函数． (2)(2015·哈尔滨模拟)若函数 y＝3cos(2x－ π 3 ＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为 ________． 解：依题意得，－π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，φ＝ kπ＋5π 6 (k∈Z)，因此|φ|的最 小值是π 6 .故填π 6 . 类型四 三角函数的单调性 (1)求函数 y＝sin π 3 －2x 的单调递减区间； (2)求 y＝3tan π 6 －x 4 的最小正周期及单调区间． 解：(1)y＝sin π 3 －2x ＝－sin 2x－π 3 ， 故由 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2 ， 解得 kπ－π 12 ≤x≤kπ＋ 5 12 π(k∈Z)． 所以函数的单调递减区间为 kπ－π 12 ，kπ＋ 5 12 π (k∈Z)． (2)y＝3tan π 6 －x 4 ＝－3tan x 4 －π 6 ， T＝ π |ω| ＝ π 1 4 ＝4π. 由 kπ－π 2 0)的最小正周期为π，则该函数的图象 ( ) A．关于点 π 3 ，0 对称 B．关于直线 x＝π 4 对称 C．关于点 π 4 ，0 对称 D．关于直线 x＝π 3 对称 解：由 T＝π知ω＝2π T ＝2π π ＝2， 所以函数 f(x)＝sin 2x＋π 3 . 函数 f(x)的对称轴满足 2x＋π 3 ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，解得 x＝π 12 ＋kπ 2 (k∈Z)； 函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x＋π 3 ＝kπ(k∈Z)， 解得 x＝－π 6 ＋kπ 2 (k∈Z)．故选 A. 1．三角函数的定义域的求法 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简 单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三 角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数 不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1，又要考虑三角函数本身的定义域(如 正切函数)等． 2．三角函数值域的求法 求三角函数的值域常见的有以下几种类型： (1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域； (2)形如 y＝asin2x＋bsinx＋c 的三角函数，可先设 sinx＝t，化为关于 t 的二次函数求 值域； (3)形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t＝sinx±cosx，化为 关于 t 的二次函数求值域． 3．判断三角函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为 偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下， 需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性． 4．求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数 为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求． (2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成 y＝ Asin(ωx＋φ)，或 y＝Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论 T＝ 2π |ω| 或 T＝ π |ω| 来确定； ③根据图象来判断． 5．三角函数的单调性 (1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同 解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法，参见“2.2 函数的单调性 与最大(小)值”． (2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于 这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数， 则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0 比较，与 1 比较等)求解． 1．(2016·郑州检测)已知函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ)对任意 x 都有 f π 6 ＋x ＝ f π 6 －x ，则 f π 6 等于( ) A．2 或 0 B．－2 或 2 C．0 D．－2 或 0 解：由题意知函数 f(x)的图象的一条对称轴是 x＝π 6 ，所以 f(x)在 x＝π 6 处取得最大值 或者最小值，即 f π 6 等于－2 或 2.故选 B. 2．(2016·山东)函数 f(x)＝( 3sinx＋cosx)( 3cosx－sinx)的最小正周期是( ) A.π 2 B．π C.3π 2 D．2π 解：f(x)＝2sin x＋π 6 ×2cos x＋π 6 ＝2sin 2x＋π 3 ，故最小正周期 T＝2π 2 ＝π.故 选 B. 3．(2016·河北正定中学模拟)已知函数 f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则 f(x) 是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 解：f(x)＝(1＋cos2x)·1－cos2x 2 ＝1－cos22x 2 ＝1 2 sin22x＝1－cos4x 4 ，因为 f(－x)＝ f(x)，所以 f(x)是偶函数，周期为 T＝2π 4 ＝π 2 .故选 D. 4．设函数 f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则 f(x)的最小正周期( ) A．与 b 有关，且与 c 有关 B．与 b 有关，但与 c 无关 C．与 b 无关，且与 c 无关 D．与 b 无关，但与 c 有关 解：f(x)＝1－cos2x 2 ＋bsinx＋c＝－cos2x 2 ＋ bsinx＋c＋1 2 . 当 b＝0 时，f(x)的最小正周期为π； 当 b≠0 时，f(x)的最小正周期为 2π. 且 f(x)的最小正周期与 c 无关．故选 B. 5．(2015·武汉模拟)同时具有性质“周期为π，图象关于直线 x＝π 3 对称，在 －π 6 ，π 3 上是增函数”的函数是( ) A．y＝sin 2x－π 6 B．y＝cos 2x＋π 3 C．y＝cos 2x－π 6 D．y＝sin x 2 ＋π 6 解：因为周期为π，所以ω＝2π T ＝2，排除选项 D；图象关于直线 x＝π 3 对称，即函数 在 x＝π 3 处取得最值，排除选项 C；又 x∈ －π 6 ，π 3 ，所以 2x－π 6 ∈ －π 2 ，π 2 ，2x＋π 3 ∈， 易知函数 y＝sin 2x－π 6 在 －π 6 ，π 3 上为增函数，函数 y＝cos 2x＋π 3 在 －π 6 ，π 3 上 为减函数．故选 A. 6．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤π 2 )，x＝－π 4 为 f(x)的零点，x＝π 4 为 y＝f(x)的图象的对称轴，且 f(x)在 π 18 ，5π 36 上单调，则ω的最大值 为( ) A．11 B．9 C．7 D．5 解：由题意得 －π 4 ω＋φ＝kπ， π 4 ω＋φ＝mπ＋π 2 (k，m∈Z)， 所以φ＝m＋k 2 π＋π 4 ，ω＝1＋2(m－k)， 又|φ|≤π 2 ，所以φ＝π 4 或φ＝－π 4 . 当φ＝π 4 时，ω＝1－4k，若ω＝9，当 x∈ π 18 ，5π 36 时， 9x＋π 4 的范围为 3π 4 ，3π 2 ，满足 f(x)在 π 18 ，5π 36 上单调， 当φ＝－π 4 时，ω＝－1－4k，若ω＝11，当 x∈ π 18 ，5π 36 时，11x－π 4 的范围为 13π 36 ，23π 18 ，不满足 f(x)在 π 18 ，5π 36 上单调，所以ω的最大值为 9.故选 B. 7．函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tanθ＝________. 解：因为函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为奇函数，所以 f(0)＝0，即 f(0)＝ 3cosθ ＋sinθ＝0(使 cosθ＝0 的θ值不满足题设条件，故cosθ≠0)，得tanθ＝－ 3.故填－ 3. 8．(2015·天津)已知函数 f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数 f(x)在区间(－ ω，ω)内单调递增，且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，则ω的值为________． 解：由条件得 f(x)＝sinωx＋cosωx＝ 2sin ωx＋π 4 ， 因为函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω对称， 所以 f(ω)＝ 2sin ω2＋π 4 ＝± 2，所以ω2＋π 4 ＝π 2 ＋kπ，k∈Z，即ω2＝π 4 ＋kπ， k∈Z，又函数 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π 4 ≤π 2 ，即ω2≤π 4 ，取 k＝0， 得ω2＝π 4 ，所以ω＝ π 2 .故填 π 2 . 9．(2016·静安二模)已知 a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx， 3cosx)，函数 f(x)＝a·b ＋ 3 2 . (1)求 f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当 0≤x≤π 2 时，求函数 f(x)的值域． 解：(1)f(x)＝sinxcosx－ 3cos2x＋ 3 2 ＝1 2 sin2x－ 3 2 (cos2x＋1)＋ 3 2 ＝1 2 sin2x－ 3 2 cos2x＝sin 2x－π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为π. 令 sin 2x－π 3 ＝0，得 2x－π 3 ＝kπ(k∈Z)， 所以 x＝kπ 2 ＋π 6 (k∈Z)． 故 f(x)图象对称中心的坐标为 kπ 2 ＋π 6 ，0 (k∈Z)． (2)因为 0≤x≤π 2 ，所以－π 3 ≤2x－π 3 ≤2π 3 ， 所以－ 3 2 ≤sin 2x－π 3 ≤1，即 f(x)的值域为 － 3 2 ，1 . 10．(2014·北京)函数 f(x)＝3sin 2x＋π 6 的部分图象如图所示． (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0 的值； (2)求 f(x)在区间 －π 2 ，－π 12 上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π，x0＝7π 6 ，y0＝3. (2)因为 x∈ －π 2 ，－π 12 ，所以 2x＋π 6 ∈ －5π 6 ，0 ，于是当 2x＋π 6 ＝0，即 x＝－π 12 时，f(x)取得最大值 0； 当 2x＋π 6 ＝－π 2 ，即 x＝－π 3 时，f(x)取得最小值－3. 11．(2016·天津)已知函数 f(x)＝4tanxsin π 2 －x cos(x－π 3 )－ 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 －π 4 ，π 4 上的单调性． 解：(1)f(x)的定义域为 x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z ， f(x)＝4tanxcosxcos x－π 3 － 3 ＝4sinxcos x－π 3 － 3 ＝4sinx 1 2 cosx＋ 3 2 sinx － 3 ＝2sinxcosx＋2 3sin2x－ 3 ＝sin2x＋ 3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x－ 3cos2x＝2sin 2x－π 3 . 所以，f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤π 2 ＋2kπ， 得－π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z. 所以，当 x∈ －π 4 ，π 4 时，f(x)在区间 －π 12 ，π 4 上单调递增，在区间 －π 4 ，－π 12 上 单调递减． (2015·福建模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是 R 上的 偶函数，其图象关于点 M 3π 4 ，0 对称，且在区间 0，π 2 上是单调函数，求φ和ω的值． 解：由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，即 sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，所以－ cosφsinωx＝cosφsinωx 对任意 x 都成立．又因为ω>0，所以 cosφ＝0.依题设 0≤φ≤π，所以φ＝π 2 ，所以 f(x)＝cosωx.又因为 f(x)的图象关于点 M 3 4 π，0 对称，所以 cos3π 4 ω＝0，3π 4 ω＝π 2 ＋kπ，ω＝2（2k＋1） 3 ，k∈Z.当 k＝0 时，ω＝2 3 ， f(x)＝ cos2 3 x 在 0，π 2 上是减函数；当 k＝1 时，ω＝2，f(x)＝cos2x 在 0，π 2 上是 减函数；当 k≥2 时，ω≥10 3 ，f(x)＝cosωx 在 0，π 2 上不是单调函数．综上得φ＝π 2 ， ω＝2 3 或ω＝2. 4．4 三角函数图象的变换 1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示. x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.图象变换(ω＞0) 路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数 y＝sin(x＋ φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的_______倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝ sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这 时的曲线就是 y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的_______倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝ sinωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移_______个单位长度，得到函数 y ＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)， 这时的曲线就是 y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈，故只需将 y＝ 2sin3x 的图象向左平移π 12 个单位．故选 D. (2016·全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin 2x＋π 6 的图象向右平移1 4 个周期后，所得图象对 应的函数为( ) A．y＝2sin 2x＋π 4 B．y＝2sin 2x＋π 3 C．y＝2sin 2x－π 4 D．y＝2sin 2x－π 3 解：函数 y＝2sin 2x＋π 6 的周期为π，将函数 y＝2sin 2x＋π 6 的图象向右平移1 4 个 周期即π 4 个单位，所得函数为 y＝2sin 2 x－π 4 ＋π 6 ＝2sin 2x－π 3 .故选 D. (2014·辽宁)将函数 y＝3sin 2x＋π 3 的图象向右平移π 2 个单位长度，所得图象对 应的函数( ) A．在区间 π 12 ，7π 12 上单调递减 B．在区间 π 12 ，7π 12 上单调递增 C．在区间 －π 6 ，π 3 上单调递减 D．在区间 －π 6 ，π 3 上单调递增 解 ： 将 函 数 y ＝ 3sin 2x＋π 3 的 图 象 向 右 平 移 π 2 得 y ＝ 3sin 2 x－π 2 ＋π 3 ＝ 3sin 2x－2π 3 ，令－π 2 ＋ 2kπ≤2x－2π 3 ≤π 2 ＋2kπ，解得π 12 ＋kπ≤x≤7π 12 ＋kπ， k ∈Z，所以该函数在[π 12 ＋kπ，7π 12 ＋kπ](k∈Z)上单调递增，当 k＝0 时，选项 B 满足条件．故 选 B. 已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝ ________. 解：由图象可得 T＝2(2π－3 4 π)＝5 2 π＝2π ω ，解之得ω＝4 5 .将(3 4 π，－1)代入 y＝sin(4 5 x ＋φ)，得 sin 3 5 π＋φ ＝－1，则3 5 π＋φ＝3π 2 ＋2kπ，k∈Z，即 φ＝9π 10 ＋2kπ，k ∈Z.又因为φ∈上的图象如图所示，则ω＝________． 解：由图象知 T＝2π 3 ，则ω＝2π T ＝ 2π 2π 3 ＝3. 故填 3. 8．(2015·昆明模拟)把函数 y＝sin2x 的图象沿 x 轴向左平移π 6 个单位，纵坐标伸长到 原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y＝f(x)的图象，对于函数 y＝f(x)有以下四个判断： ①该函数的解析式为 y＝2sin 2x＋π 6 ；②该函数图象关于点 π 3 ，0 对称；③该函数在 0，π 6 上是增函数；④若函数 y＝ f(x)＋a 在 0，π 2 上的最小值为 3，则 a＝2 3. 其中正确判断的序号是________． 解：将函数y＝sin2x 的图象向左平移π 6 得到 y＝sin2 x＋π 6 ＝sin 2x＋π 3 的图象， 然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y＝2sin 2x＋π 3 的图象，①不正确；y＝f π 3 ＝ 2sin 2×π 3 ＋π 3 ＝2sinπ＝0，函数图象关于点 π 3 ，0 对称，②正确；由－π 2 ＋2kπ≤2x ＋π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z，得－5π 12 ＋kπ≤x≤π 12 ＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为，k∈Z， 当 k＝0 时，增区间为 －5π 12 ，π 12 ，③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin 2x＋π 3 ＋a，当 0≤x≤π 2 时，π 3 ≤2x＋ π 3 ≤4π 3 ，当 2x＋π 3 ＝4π 3 ，即 x＝π 2 时，函数取得最小值，有 ymin＝2sin4π 3 ＋ a＝－ 3＋a＝ 3，得 a＝2 3，④正确．故填②④. 9．(2014·重庆)已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π 2 ≤φ＜π 2 )的图象关于 直线 x＝π 3 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求ω和φ的值． 解：由题意，函数 f(x)的最小正周期 T＝π， ω＝2π T ＝2π π ＝2. 因为 f(x)的图象关于直线 x＝π 3 对称， 所以 2·π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ，φ＝kπ－π 6 ，k∈Z. 又－π 2 ≤φ＜π 2 ，所以φ＝－π 6 . 10．已知函数 y＝ 3sinx 2 ＋cosx 2 (x∈R)． (1)用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期及初相； (3)说明该函数的图象可由 y＝sinx 的图象经过怎样的变换而得到？ 解：(1)y＝ 3sinx 2 ＋cosx 2 ＝2 3 2 sinx 2 ＋1 2 cosx 2 ＝2sin x 2 ＋π 6 . 令 X＝x 2 ＋π 6 ，按五个关键点列表： X 0 π 2 π 3π 2 2π x －π 3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 y 0 2 0 －2 0 描点作图： (2)根据解析式及图象知，振幅 A＝2，周期 T＝4π，初相φ＝π 6 . (3)将 y＝sinx 图象上各点向左平移π 6 个单位，得到 y＝sin x＋π 6 的图象，再把 y＝ sin x＋π 6 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin x 2 ＋π 6 的 图象，最后把 y＝sin x 2 ＋π 6 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，得到 y＝2sin x 2 ＋π 6 图象． 11．(2016·山东)设 f(x)＝2 3sin(π－ x)sinx－(sinx－cosx)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的 图象向左平移π 3 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g π 6 的值． 解：(1)由 f(x)＝2 3sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝2 3sin2x－(1－2sinxcosx)＝ 3(1－ cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－ 3cos2x＋ 3－1＝2sin 2x－π 3 ＋ 3－1， 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)， 得 kπ－π 12 ≤x≤kπ＋5π 12 (k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间是 kπ－π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z)． (2)由(1)知 f(x)＝2sin 2x－π 3 ＋ 3－1， 把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝2sin x－π 3 ＋ 3－1 的图象， 再把得到的图象向左平移π 3 个单位，得到 y＝2sinx＋ 3－1 的图象，即 g(x)＝2sinx ＋ 3－1. 所以 g π 6 ＝2sinπ 6 ＋ 3－1＝ 3. (2016·厦门模拟)已知向量 a＝(2cosx， 3sinx)，b＝(cosx，2cosx)，函数 f(x)＝ a·b＋m，m∈R，且当 x∈ 0，π 2 时，f(x)的最小值为 2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)先将函数 y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2 ，再把所得的图 象向右平移π 12 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求方程 g(x)＝4 在区间 0，π 2 上的所有 根之和． 解：(1)f(x)＝2cos2x＋2 3sinxcosx＋m＝ cos2x＋ 3sin2x＋m＋1＝2sin 2x＋π 6 ＋m ＋1. 因为 x∈ 0，π 2 ，所以 2x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ，当 2x＋π 6 ＝7 6 π，即 x＝π 2 时，f(x)min ＝2× －1 2 ＋m＋ 1＝2，解得 m＝2，所以 f(x)＝2sin 2x＋π 6 ＋3，令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2 得 f(x)的增区间为 kπ－π 3 ，kπ＋π 6 (k∈Z)． (2)将函数 y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2 ，得到 f(x)＝ 2sin 4x＋π 6 ＋3，再把所得的图象向右平移π 12 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，所以 g(x) ＝2sin 4 x－π 12 ＋π 6 ＋3＝2sin 4x－π 6 ＋3，又 g(x)＝4，得 sin 4x－π 6 ＝1 2 ，解得 4x－π 6 ＝2kπ＋π 6 或 4x－π 6 ＝2kπ＋5π 6 ，k∈Z. 即 x＝kπ 2 ＋π 12 或 x＝kπ 2 ＋π 4 (k∈Z)，因为 x∈ 0，π 2 ，所以 x＝π 12 或π 4 ，故所有根之 和为π 12 ＋π 4 ＝π 3 . 4．5 三角函数模型的应用 1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助____________来描述． 2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问 题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以 利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________而获得具 体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3．y＝|sinx|是以______为周期的波浪形曲线． 4 ． 太 阳 高 度 角 θ 、 楼 高 h0 与 此 时 楼 房 在 地 面 的 投 影 长 h 之 间 有 如 下 关 系 ： ________________. 自查自纠： 1．三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h0＝htanθ 已知某人的血压满足函数解析式 f(t)＝24sin160πt＋110.其中 f(t)为血压 (mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( ) A．60 B．70 C．80 D．90 解：由题意可得 f＝1 T ＝160π 2π ＝80.所以此人每分钟心跳的次数为 80.故选 C. (2015·陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y＝ 3sin π 6 x＋φ ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 解：由图知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin π 6 x＋φ ＋5，ymax＝3＋5＝8.故选 C. 在 100 m 的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，则塔高为 ( ) A.200 3 m B.200 3 3 m C.100 3 3 m D.100 3 m 解：如图，设塔高为 h m， 则有 100tan30°＝(100－h)tan60°， 所以 h＝200 3 (m)．故选 A. 已 知 某 种 交 流 电 电 流 I(A) 随 时 间 t(s) 的 变 化 规 律 可 以 拟 合 为 函 数 I ＝ 5 2sin 100πt－π 2 ，t∈． 类型二 根据解析式建立图象模型 画出函数 y＝|cosx|的图象并观察其周期． 解：函数图象如图所示． 从图中可以看出，函数 y＝|cosx|是以π为周期的波浪形曲线． 我们也可以这样进行验证：|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|， 所以，函数 y＝|cosx|是以π为周期的函数． 点拨： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的 常用方法． (经典题)弹簧挂着的小球作上下振动，时间 t(s)与小球相对平衡位置(即静止 时的位置)的高度 h(cm)之间的函数关系式是 h＝2sin(2t－π 4 )，t∈． (2)由题意知，当 y>1.25 时才可对冲浪者开放， 所以 1 2 cosπ 6 t＋1>1.25，cosπ 6 t>1 2 . 所以 2kπ－π 3 <π 6 t<2kπ＋π 3 ，k∈Z， 即 12k－20，ω>0，0<φ<π 2 ) 的图象如图所示，则 t＝ 1 100 秒时，电流强度 I＝( ) A．－5 安 B．5 安 C．5 3安 D．10 安 解：由图知 A＝10，T＝2( 4 300 － 1 300 )＝ 1 50 ， ω＝2π T ＝ 2π 1 50 ＝100π，所以 I＝ 10sin(100πt＋φ). 由于图象过点 1 300 ，10 ，代入解析式得 10＝10sin(100π· 1 300 ＋φ)， 即 sin π 3 ＋φ ＝1， 从而π 3 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，φ＝2kπ＋π 6 ，k∈Z. 因为 0<φ<π 2 ，所以φ＝π 6 . 所以 I＝10sin 100πt＋π 6 . 当 t＝ 1 100 时，I＝10sin 100π· 1 100 ＋π 6 ＝－5.故选 A. 3．(2015·湖北模拟)某商品一年内每件出厂价在 5 千元的基础上，按月呈 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π 2 ) 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 7 千元，7 月份达到最低价 3 千元，根据以上条件可以确定 f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2sin π 4 x＋π 4 ＋5(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝7sin π 4 x－π 4 ＋5(1≤x≤12，x∈N*) C．f(x)＝7sin π 4 x＋π 4 ＋5(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sin π 4 x－π 4 ＋5(1≤x≤12，x∈N*) 解：根据题意，T＝ 2(7－3)＝8，ω＝2π T ＝π 4 ，由 A＋B＝7， －A＋B＝3， 得 A＝2， B＝5， 当 x＝3 时，2sin π 4 ×3＋φ ＋5＝7，得φ＝－π 4 .所以 f(x)＝2sin π 4 x－π 4 ＋5.故选 D. 4．如图为一半径是 3 m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮自点 A 开始 1 min 旋转 4 圈，水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y＝Asin(ωx＋φ)＋2， 则有( ) A．ω＝2π 15 ，A＝3 B．ω＝ 15 2π ，A＝3 C．ω＝2π 15 ，A＝5 D．ω＝ 15 2π ，A＝5 解：因为水轮上最高点距离水面 r＋2＝5 m，即 A＋2＝5，所以 A＝3.又因为水轮每秒 钟旋转8π 60 ＝2π 15 rad，所以角速度ω＝2π 15 .故选 A. 5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置 P(x， y)．若初始位置为 P0 3 2 ，1 2 ，秒针从 P0(注：此时 t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点 P 的 纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( ) A．y＝sin π 30 t＋π 6 B．y＝sin －π 60 t－π 6 C．y＝sin －π 30 t＋π 6 D．y＝sin －π 30 t－π 6 解：由题意，函数的周期为 T＝60，所以ω＝ 2π 60 ＝π 30 .设函数解析式为 y＝ sin －π 30 t＋φ 0＜φ＜π 2 (秒针是顺时针走动)．因为初始位置为 P0 3 2 ，1 2 ，所以 t＝0 时，y＝1 2 .所以 sinφ＝1 2 ，φ可取π 6 .所以函数解析式为 y＝sin －π 30 t＋π 6 .故选 C. 6．(2016·厦门模拟)如图，已知 l1⊥l2，圆心在 l1 上，半径为 1 m 的圆 O 在 t＝0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x， 令 y＝sin2x 2 ，则 y 与时间 t(0≤t≤1，单位：s)的函数 y＝f(t)的图象大致为( ) A B C D 解：如图， AD＝t，OA＝1－t，cos∠AOC＝1－t，则 x＝2∠AOC，从而 y＝sin2x 2 ＝sin2∠AOC＝1－ cos2∠AOC＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤1)． 故选 B. 7．某时钟的秒针端点 A 到中心 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t＝0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A，B 两点间的距离 d (cm)表示成 t (s)的函数， 则 d＝_____________，其中 t∈[0，60]. 解：如图所示， OA＝OB＝5(cm)，秒针由 B 均匀地旋转到 A 的时间为 t(s)，则∠AOB＝π 30 t，取 AB 中点为 C，则 OC⊥AB，从而∠AOC＝1 2 ∠AOB＝π 60 t. 在 Rt△AOC 中，AC＝OAsin∠AOC＝5sinπ 60 t，所以 d＝AB＝10sinπ 60 t，t∈[0，60].故填 10sinπ 60 t. 8．如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 m，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角 分别为 45°和 60°，则塔高 AB＝________m，楼高 CD＝________m．(精确到 0.01 m，参考 数据： 2＝1.41421…， 3＝1.73205…) 解：在 Rt△ABD 中， BD＝80 m，∠BDA＝60°， 所以 AB＝BD·tan60°＝80 3≈138.56(m)． 在 Rt△AEC 中，EC＝BD＝80 m，∠ACE＝45°，所以 AE＝CE＝80(m)． 所以 CD＝BE＝AB－AE＝80 3－80≈58.56(m)． 所以塔 AB 的高约为 138.56 m，楼 CD 的高约为 58.56 m.故填 138.56；58.56. 9．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品 的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月份随正弦曲线波 动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进 这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由． 解：由已知条件可得，出厂价格函数关系式为 y1＝2sin π 4 x－π 4 ＋6，销售价格函数关系式为 y2＝2sin π 4 x－3 4 π ＋8，则利润函数关系式为 y＝m(y2－y1) ＝m ＝－2 2msinπ 4 x＋2m. 当 x＝6 时，y＝2m＋2 2m＝(2＋2 2)m， 即 6 月份盈利最大． 10．已知定义在区间 －π 2 ，π 上的函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π 4 对称，当 x≥π 4 时，f(x)＝sinx. (1)求 f －π 2 ，f －π 4 的值； (2)求 y＝f(x)的解析式． 解：(1)f －π 2 ＝f π 4 ＋3π 4 ＝f(π)＝sinπ＝0， f －π 4 ＝f π 4 ＋π 2 ＝f 3π 4 ＝sin3π 4 ＝ 2 2 . (2)当 x∈ －π 2 ，π 4 时，π 2 －x∈ π 4 ，π ， 此时 f(x)＝f π 2 －x ＝sin π 2 －x ＝cosx. 所以 f(x)＝ cosx，x∈ －π 2 ，π 4 ， sinx， x∈ π 4 ，π . 11．如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b. (1)求这一天 6～14 时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)由图可知：这段时间的最大温差为 30－10＝20(°C)． (2)从图可以看出：从 6～14 时的图象是 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象， 所以T 2 ＝14－6＝8，所以 T＝16. 因为 T＝2π ω ，所以ω＝π 8 . 又因为 A＝30－10 2 ＝10，b＝30＋10 2 ＝20， 所以 y＝10sin π 8 x＋φ ＋20， 将点(6，10)代入得 sin 3π 4 ＋φ ＝－1， 所以3π 4 ＋φ＝2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 所以φ＝2kπ＋3π 4 ，k∈Z，取φ＝3π 4 ， 所以 y＝10sin π 8 x＋3π 4 ＋20，6≤x≤14. (2014·湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变化近似满 足函数关系：f(t)＝10－ 3cosπ 12 t－sinπ 12 t，t∈上的解为________． 解：3sinx＝1＋cos2x，即 3sinx＝2－2sin2x，所以 2sin2x＋3sinx－2＝0，解得 sinx ＝1 2 或 sinx＝－2(舍去)，所以在区间[0，2π]上的解为π 6 或5π 6 .故填π 6 或5π 6 . 类型一 非特殊角求值问题 求值： (1)sin18°cos36°； (2)2cos10°－sin20° cos20° . 解：(1)原式＝2sin18°cos18°cos36° 2cos18° ＝2sin36°cos36° 4cos18° ＝ sin72° 4cos18° ＝1 4 . (2)原式＝2cos（30°－20°）－sin20° cos20° ＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20° cos20° ＝2cos30°cos20° cos20° ＝ 3. 点拨： 对于给角求值问题，如果所给角是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化非特 殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进 行约分求值；(4)当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向 2α，3α(或 4α)向 2α转化，再求关于 2α式子的值． (1)(2016·四川)cos2π 8 －sin2π 8 ＝________. 解： 根据二倍角公式有 cos2π 8 －sin2π 8 ＝cosπ 4 ＝ 2 2 .故填 2 2 . (2)(2015·长沙模拟) 3tan12°－3 sin12°（4cos212°－2） ＝________. 解： 3tan12°－3 sin12°（4cos212°－2） ＝ 3（sin12°－ 3cos12°） 2cos24°sin12°cos12° ＝ 2 3sin（12°－60°） 1 2 sin48° ＝－4 3.故填－4 3. (3)(2015·浙江模拟)tan70°＋tan50°－ 3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B. 3 3 C．－ 3 3 D．－ 3 解：因为 tan120°＝ tan70°＋tan50° 1－tan70°·tan50° ＝ － 3， 所以 tan70°＋tan50°－ 3tan70°·tan50°＝－ 3.故选 D. 类型二 给值求值问题 (1)(2015·江苏)已知 tanα＝－2，tan(α＋β)＝1 7 ，则 tanβ的值为________． 解：tanβ＝tan＝ tan（α＋β）－tanα 1＋tan（α＋β）tanα ＝ 1 7 ＋2 1－2 7 ＝3.故填 3. (2)(2014·四川模拟)设α为锐角，若 cos α＋π 6 ＝4 5 ，则 sin 2α＋π 12 的值为 ________． 解：cos α＋π 6 ＝4 5 ，α为锐角，则α＋π 6 为锐角， sin α＋π 6 ＝3 5 ， 由二倍角公式得 sin2 α＋π 6 ＝24 25 ，cos2 α＋π 6 ＝ 7 25 ， 所以 sin 2α＋π 12 ＝sin 2 α＋π 6 －π 4 ＝sin2 α＋π 6 cosπ 4 －cos2 α＋π 6 sinπ 4 ＝24 25 × 2 2 － 7 25 × 2 2 ＝17 2 50 .故填17 2 50 . (3)(2016·沈阳十一中联考)若 cosα＝－4 5 ，α是第三象限角，则 1＋tanα 2 1－tanα 2 ＝( ) A. －1 2 B. 1 2 C. 2 D. －2 解：由 cosα＝－4 5 ，α是第三象限角， 得 sinα＝－3 5 ， 1＋tanα 2 1－tanα 2 ＝ cosα 2 ＋sinα 2 cosα 2 －sinα 2 ＝ cosα 2 ＋sinα 2 cosα 2 ＋sinα 2 cosα 2 －sinα 2 cosα 2 ＋sinα 2 ＝1＋sinα cosα ＝ 1－3 5 －4 5 ＝－1 2 .故选 A. 点拨： 给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的 关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已 知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．另掌握常用的勾股数(3，4，5；5， 12，13；8，15，17；20，21，29)，可简化计算． (1)已知 tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝1 2 ，则sin2α sin2β 的值为( ) A.1 3 B．－1 3 C．3 D．－3 解：sin2α sin2β ＝sin[（α＋β）＋（α－β）] sin[（α＋β）－（α－β）] ＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β） sin（α＋β）cos（α－β）－cos（α＋β）sin（α－β） ＝tan（α＋β）＋tan（α－β） tan（α＋β）－tan（α－β） ＝1 3 .故选 A. (2)(2015·汕头模拟)已知 tanα 2 ＝3，则 cosα＝( ) A.4 5 B．－4 5 C. 4 15 D．－3 5 解：cosα＝cos2α 2 －sin2α 2 ＝ cos2α 2 －sin2α 2 cos2α 2 ＋sin2α 2 ＝ 1－tan2α 2 1＋tan2α 2 ＝1－9 1＋9 ＝－4 5 .故选 B. (3)已知 cosα＝1 3 ，cos(α＋β)＝－1 3 ，且α，β∈ 0，π 2 ，则 cos(α－β)的值等于 ( ) A．－1 2 B.1 2 C．－1 3 D.23 27 解：因为α∈ 0，π 2 ，2α∈(0，π)，cosα＝1 3 ，所以 cos2α＝2cos2α－1＝－7 9 ，sin2α ＝ 1－cos22α＝4 2 9 .而α，β∈ 0，π 2 ，所以α＋β∈(0，π)，所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝2 2 3 .所以 cos(α－β)＝cos＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α ＋β)＝ －7 9 × －1 3 ＋4 2 9 ×2 2 3 ＝23 27 .故选 D. 类型三 给值求角问题 (2016·北京五中期中)已知 tan(α－β)＝1 2 ，tanβ＝－1 7 ，且α，β∈(0， π)，则 2α－β的大小为________． 解：已知 tan(α－β)＝1 2 ， 所以 tan2(α－β)＝ 2tan（α－β） 1－tan2（α－β） ＝4 3 ， 所以 tan(2α－β)＝tan＝ tan2（α－β）＋tanβ 1－tan2（α－β）tanβ ＝1. tanα＝tan＝ tan（α－β）＋tanβ 1－tan（α－β）tanβ ＝1 3 . 由于α，β∈(0，π)，tanα＝1 3 ∈ 0， 3 3 ，所以α∈ 0，π 6 ，所以 2α∈ 0，π 3 . tanβ＝－1 7 ∈ － 3 3 ，0 ，所以β∈ 5π 6 ，π ， 即－β∈ －π，－5π 6 .所以 2α－β∈ －π，－π 2 ， 结合 tan(2α－β)＝1，可得 2α－β＝－3π 4 .故填－3π 4 . 点拨： 给值求角问题，可转化为“给值求值”问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求 角的范围及函数的单调性可求得角． (2016·苏北四市调研)已知 π 2 <α<π，－π<β<0，tanα＝－1 3 ，tanβ＝－ 1 7 ，则 2α＋β等于________． 解：tan2α＝ 2tanα 1－tan2α ＝ 2× －1 3 1－ －1 3 2 ＝－3 4 ， tan(2α＋β)＝ tan2α＋tanβ 1－tan2αtanβ ＝ －3 4 －1 7 1－ －3 4 × －1 7 ＝－1. 因为π 2 <α<π，－10)的最小正周期为 π. (1)求ω的值； (2)求 f(x)的单调递增区间． 解：(1)因为 f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx ＝sin2ωx＋cos2ωx＝ 2sin 2ωx＋π 4 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2ω ＝π ω . 依题意，π ω ＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知 f(x)＝ 2sin 2x＋π 4 . 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 (k∈Ζ)． 已知函数 f(x)＝sin(x＋7 4 π)＋cos x－3 4 π ， x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知 cos(β－α)＝4 5 ，cos(β＋α)＝－4 5 ，0＜α＜β≤π 2 ，求证：2－2＝0. 解：(1)f(x)＝sinxcos7π 4 ＋cosxsin7π 4 ＋cosxcos3π 4 ＋sinxsin3π 4 ＝ 2sinx－ 2cosx ＝2sin x－π 4 . 所以 T＝2π，f(x)min＝－2. (2)证明：cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝4 5 ，① cos(β＋α)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－4 5 ，② ①＋②得 cosαcosβ＝0. 因为 0＜α＜β≤π 2 ，所以 cosα∈(0，1)，则 cosβ＝0，β＝π 2 . 所以 f(β)＝ 2⇒2－2＝0. 4．7 正弦定理、余弦定理及其应用 1．正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即___________．其 中 R 是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式： ①a＝2RsinA，b＝____________，c＝____________； ②sinA＝ a 2R ，sinB＝___________，sinC＝___________； ③a∶b∶c＝______________________. 2．余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的 夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝________，b2＝________， c2＝________.若令 C＝90°，则 c2＝________，即为勾股定理． (2) 余 弦 定 理 的 推 论 ： cosA ＝ ________________ ， cosB ＝ ___________ ， cosC ＝ ___________. 若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a2＋b2______c2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a2＋b2______c2. 故由 a2＋b2 与 c2 值的大小比较，可以判断 C 为锐角、钝角或直角． (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成 sin2A ＝ sin2B ＋ sin2C － 2sinBsinCcosA ， 类 似 地 ， sin2B ＝ __________________ ； sin2C ＝ __________________.注意式中隐含条件 A＋B＋C＝π. 3．解三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解． (2)已 知三 角 形的 任意 两 边与 其 中一 边的 对 角 ，用 ____________ 定 理， 可 能有 ________________________．如在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如表： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a＝bsinA bsinAb 解的 个数 ① ② ③ ④ (3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解． 4．三角形中的常用公式及变式 (1) 三 角 形 面 积 公 式 S△ ＝ ____________ ＝ ____________ ＝ ____________ ＝ ____________＝____________．其中 R，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径． (2)A＋B＋C＝π，则 A＝__________，A 2 ＝__________，从而 sinA＝____________，cosA ＝____________，tanA＝____________；sinA 2 ＝__________，cosA 2 ＝__________，tanA 2 ＝ __________.tanA＋tanB＋tanC＝____________. (3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________⇔2sinB ＝ ____________⇔ 2sinB 2 ＝cosA－C 2 ⇔2cosA＋C 2 ＝cosA－C 2 ⇔ tanA 2 tanC 2 ＝1 3 . (4)在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB，b＝____________，c＝____________.(此定理称作 “射影定理”，亦称第一余弦定理) 自查自纠： 1．(1) a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R (2)①2RsinB 2RsinC ② b 2R c 2R ③sinA∶sinB∶sinC 2．(1)b2＋c2－2bccosA c2＋a2－2cacosB a2＋b2－2abcosC a2＋b2 (2)b2＋c2－a2 2bc c2＋a2－b2 2ca a2＋b2－c2 2ab > < (3)互化 sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC 3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 4．(1)1 2 absinC 1 2 bcsinA 1 2 acsinB abc 4R 1 2 (a＋b＋c)r (2)π－(B＋C) π 2 －B＋C 2 sin(B＋C) －cos(B＋C) －tan(B＋C) cosB＋C 2 sinB＋C 2 1 tanB＋C 2 tanAtanBtanC (3)a＋c sinA＋sinC (4)acosC＋ccosA acosB＋bcosA (2014·广东)在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，则“a≤b”是“sinA ≤sinB”的( ) A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 解：在△ABC 中，由正弦定理可得， a sinA ＝ b sinB ，即a b ＝sinA sinB ，注意到 a，b，sinA，sinB 均为正数，则 a≤b⇔sinA≤sinB，亦即“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．故选 A. (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝ 5，c＝ 2， cosA＝2 3 ，则 b＝( ) A. 2 B. 3 C．2 D．3 解：由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×2 3 ，解得 b＝3 b＝－1 3 舍去 .故选 D. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcosC＋ccosB＝asinA, 则 △ABC 的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解：由已知和正弦定理可得 sinBcosC＋sinCcosB＝sinA·sinA，即 sin(B＋C)＝ sinAsinA，亦即 sinA＝sinAsinA.因为 0AC，且对于线段 AC 上任意点 P，有 OP≥OC>AC. 而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h，故小艇与轮船不可能在 A，C 之间(包含 C)的任意位置相遇． 设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在 Rt△COD 中， CD＝10 3tanθ，OD＝10 3 cosθ . 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t＝10＋10 3tanθ 30 和 t＝ 10 3 vcosθ ， 所以10＋10 3tanθ 30 ＝ 10 3 vcosθ . 由此可得，v＝ 15 3 sin（θ＋30°） . 又 v≤30，故 sin(θ＋30°)≥ 3 2 ，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为 3 3 . 于是，当θ＝30°时，t＝10＋10 3tanθ 30 取得最小值，且最小值为2 3 . 点拨： ①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题， 根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形 的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方 法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什 么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出 帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简 便． (2015·济南模拟)如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据 规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村 庄 A)，要求 PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最 小(即工厂与村庄的距离最远)? 解：设∠AMN＝θ， 在△AMN 中， MN sin60° ＝ AM sin（120°－θ） . 因为 MN＝2，所以 AM＝4 3 3 sin(120°－θ)． 在△APM 中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)， AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝16 3 sin2(120°－θ)＋4－2×2×4 3 3 sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝16 3 sin2(θ＋60°)－16 3 3 sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4 ＝－8 3 [ 3sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋20 3 ＝20 3 －16 3 sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 当且仅当 2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 3. 1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解． 2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转 化为角的关系(注意应用 A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等 变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因 式，否则有可能漏掉一种形状． 3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为 60°；若三内角的正弦 值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B ＋C)，cosA＝ －cos(B＋C)，sinA 2 ＝cosB＋C 2 ，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B ＋C)等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建 立一个解斜三角形的模型； (3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解． 5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来， 从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积 等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方 法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、 等价转化思想及分类讨论思想． 1．(2016·山东)△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b＝c，a2＝2b2(1 －sinA)，则 A＝( ) A.3π 4 B.π 3 C.π 4 D.π 6 解：在△ABC 中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 因为 b＝c，所以 a2＝2b2(1－cosA)， 又因为 a2＝2b2(1－sinA)， 所以 cosA＝sinA，所以 tanA＝1， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝π 4 .故选 C. 2．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连接 EC，ED，则 sin∠CED ＝( ) A.3 10 10 B. 10 10 C. 5 10 D. 5 15 解法一：在△ECD 中，CD＝1，CE＝ 5， ∠CDE＝135°，所以由正弦定理知 CE sin∠CDE ＝ CD sin∠CED ，即 5 sin135° ＝ 1 sin∠CED ，解得 sin∠CED＝ 10 10 . 解法二：由题意知 CD＝1，CE＝ EB2＋BC2＝ 22＋12＝ 5，DE＝ AE2＋AD2＝ 12＋12＝ 2， 所 以 cos ∠ CED ＝ DE2＋CE2－CD2 2DE·CE ＝ 2＋5－1 2× 2× 5 ＝ 3 10 10 ， sin ∠ CED ＝ 1－cos2∠CED ＝ 1－ 3 10 10 2 ＝ 10 10 .故选 B. 3．(2015·合肥模拟)△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若c b ＜cosA，则 △ABC 为( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解：依题意得sinC sinB ＜cosA，sinC＜sinBcosA，所以 sin(A＋B)＜sinBcosA，即 sinBcosA ＋cosBsinA－sinBcosA＜0，得 cosBsinA＜0.又 sinA＞0，于是有 cosB＜0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．故选 A. 4．(2015·天津改编)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为 3 15，b－c＝2，cosA＝－1 4 ，则 a 的值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解：由 cosA＝－1 4 得 sinA＝ 15 4 ，所以△ABC 的面积为 1 2 bcsinA＝1 2 bc× 15 4 ＝3 15，解 得 bc＝24，又 b－c＝2，所以 a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bccosA＝22＋2×24－2 ×24× －1 4 ＝64，得 a＝8.故选 D. 5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C＝120°，c＝ 2a，则( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a 与 b 的大小关系不能确定 解：据题意由余弦定理可得 a2＋b2－2abcos120°＝c2＝( 2a)2，化简整理得 a2＝b2＋ab，变形得 a2－b2＝(a＋b)(a －b)＝ab>0，故有 a－b>0，即 a>b.故选 A. 6．(2015·重庆改编)在△ABC 中，B＝120°，AB＝ 2，A 的角平分线 AD＝ 3，则 AC ＝( ) A. 2 B．2 C. 6 D．2 2 解：在△ABD 中，由正弦定理得 sin∠ADB＝ABsinB AD ＝ 2× 3 2 3 ＝ 2 2 ， 因为 0°<∠ADB<60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝15°，∠BAC ＝2∠BAD＝30°， 所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝30°， 所以 BC＝AB＝ 2.由余弦定理得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BCcos120° ＝ （ 2）2＋（ 2）2－2× 2× 2× －1 2 ＝ 6.故选 C. 7．(2014·广东)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 bcosC＋ccosB ＝2b，则a b ＝________. 解法一：由正弦定理 sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB， 即 sin(B＋C)＝sinA＝2sinB，有a b ＝sinA sinB ＝2. 解法二：由余弦定理得 b·a2＋b2－c2 2ab ＋c·a2＋c2－b2 2ac ＝2b，化简得 a＝2b，因此，a b ＝2. 解法三：由三角形射影定理，知 bcosC＋ccosB＝a， 所以 a＝2b，所以a b ＝2.故填 2. 8．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的 取值范围是________． 解：如图， 作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线 AD 分别交线段 PB，PC 于 A，D 两点(不与 端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形 ABCD 就是符合题意的四边形．过 C 作 AD 的平行线 交 PB 于点 Q，在△PBC 中，可求得 PB＝ 6＋ 2，在△QBC 中，可求得 BQ＝ 6－ 2，所以 AB 的取值范围是( 6－ 2， 6＋ 2)．故填( 6－ 2， 6＋ 2)． 9．(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac. (1)求角 B 的大小； (2)求 2cosA＋cosC 的最大值． 解：(1)由 a2＋c2＝b2＋ 2ac 得 a2＋c2－b2＝ 2ac. 由余弦定理得 cosB＝a2＋c2－b2 2ac ＝ 2ac 2ac ＝ 2 2 . 又 0＜B＜π，所以 B＝π 4 . (2)A＋C＝π－B＝π－π 4 ＝3π 4 ， 所以 C＝3π 4 －A，0＜A＜3π 4 . 所以 2cosA＋cosC＝ 2cosA＋cos 3π 4 －A ＝ 2cosA＋cos3π 4 cosA＋sin3π 4 sinA ＝ 2cosA－ 2 2 cosA＋ 2 2 sinA ＝ 2 2 sinA＋ 2 2 cosA＝sin A＋π 4 . 因为 0＜A＜3π 4 ，所以π 4 ＜A＋π 4 ＜π，故当 A＋π 4 ＝π 2 ，即 A＝π 4 时， 2cosA＋cosC 取得最大值为 1. 10．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求sin∠B sin∠C ； (2)若 AD＝1，DC＝ 2 2 ，求 BD 和 AC 的长． 解：(1)S△ABD＝1 2 AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝1 2 AC·ADsin∠CAD，因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝ ∠CAD，所以 AB＝2AC.由正弦定理可得sin∠B sin∠C ＝AC AB ＝1 2 . (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，AB2＋2AC2＝3AD2 ＋BD2＋2DC2＝6.由(1)知 AB＝2AC，故 AC＝1. (2015·四川)如图，A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角． (1)证明：tanA 2 ＝1－cosA sinA ； (2)若 A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求 tanA 2 ＋tanB 2 ＋tanC 2 ＋tan D 2 的值． 解：(1)证明：tanA 2 ＝ sinA 2 cosA 2 ＝ 2sin2A 2 2sinA 2 cosA 2 ＝1－cosA sinA . (2)由 A＋C＝180°， 得 C＝180°－A，D＝180°－B. 由(1)得 tanA 2 ＋tanB 2 ＋tanC 2 ＋tanD 2 ＝1－cosA sinA ＋1－cosB sinB ＋1－cos（180°－A） sin（180°－A） ＋1－cos（180°－B） sin（180°－B） ＝ 2 sinA ＋ 2 sinB . 连结 BD， 在△ABD 中，有 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA， 在△BCD 中，有 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC， 所以 AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA， 则 cosA＝ AB2＋AD2－BC2－CD2 2（AB·AD＋BC·CD） ＝ 62＋52－32－42 2（6×5＋3×4） ＝3 7 ， 于是 sinA＝ 1－cos2A＝ 1－ 3 7 2＝2 10 7 . 连结 AC，同理可得 cosB＝ AB2＋BC2－AD2－CD2 2（AB·BC＋AD·CD） ＝ 62＋32－52－42 2（6×3＋5×4） ＝ 1 19 ， 于是 sinB＝ 1－cos2B＝ 1－ 1 19 2＝6 10 19 . 所以 tanA 2 ＋tanB 2 ＋tanC 2 ＋tanD 2 ＝ 2 sinA ＋ 2 sinB ＝ 7 10 ＋ 19 3 10 ＝4 10 3 . 1．(2016·湖南四校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2＋b2 －c2)tanC＝ab，则角 C 为( ) A.π 6 或5π 6 B.π 3 或2π 3 C.π 6 D.2π 3 解：由题意得a2＋b2－c2 2ab ＝ 1 2tanC ，则 cosC＝ cosC 2sinC ，且 cosC≠0，所以 sinC＝1 2 ，所以 C ＝π 6 或5π 6 .故选 A. 2．(2016·厦门期中测试)如图，D，C，B 在地平面同一直线上，DC＝10 m，从 D，C 两 地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°，则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A．10 m B．5 3 m C．5( 3－1) m D．5( 3＋1) m 解：直角三角形中，根据三角函数的定义得 AB tan30° － AB tan45° ＝10，解得 AB＝5( 3＋1) (m)．故选 D. 3．(2016·郑州一测)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b 3cosB ＝ a sinA ， 则 cosB＝( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解：因为 b 3cosB ＝ a sinA ，所以由正弦定理得 sinB 3cosB ＝sinA sinA ，所以 tanB＝ 3，又 00)，则 a＝ksinA，b＝ksinB， c＝ksinC. 代入cosA a ＋cosB b ＝sinC c 中，有 cosA ksinA ＋ cosB ksinB ＝ sinC ksinC ，变形可得 sinAsinB＝sinAcosB＋ cosAsinB＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC. 所以 sinAsinB＝sinC. (2)由已知，b2＋c2－a2＝6 5 bc， 根据余弦定理，有 cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝3 5 ， 所以 sinA＝ 1－cos2A＝4 5 . 由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， 所以 4 5 sinB＝4 5 cosB＋3 5 sinB，即 sinB＝4cosB. 故 tanB＝sinB cosB ＝4. (2016·长春检测)已知向量 a＝ sinx 3 ，cosx 3 ，b＝ cosx 3 ， 3cosx 3 ，函数 f(x) ＝a·b. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b2＝ac，且角 B 的大小为 x， 试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域． 解：(1)向量 a＝ sinx 3 ，cosx 3 ，b＝ cosx 3 ， 3cosx 3 ， 则函数 f(x)＝a·b＝sinx 3 cosx 3 ＋ 3cos2x 3 ＝1 2 sin2x 3 ＋ 3 2 cos2x 3 ＋ 3 2 ＝sin 2x 3 ＋π 3 ＋ 3 2 ， 令 2kπ－π 2 ≤2x 3 ＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z. 解得 3kπ－5 4 π≤x≤3kπ＋π 4 ，k∈Z， 故函数 f(x)的单调递增区间为 3kπ－5 4 π，3kπ＋π 4 ，k∈Z. (2)因为 b2＝ac，所以 cosx＝a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋c2－ac 2ac ≥2ac－ac 2ac ＝1 2 ， 又 － 10，则( ) A．sin2α>0 B．cosα>0 C．sinα>0 D．cos2α>0 解：因为 tanα>0，所以α∈ kπ，kπ＋π 2 (k∈Z)，即α是第一、三象限角．所以 2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，再根据三角函数值在各象限的符号知，sin2α>0.故选 A. 3．(2015·厦门模拟)已知角θ是第二象限角，sinθ＝3 4 ，那么角 2θ为( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：因为 sinθ＝3 4 且角θ为第二象限角，所以 cosθ＝－ 1－sin2θ＝－ 7 4 ，cos2θ ＝cos2θ－sin2θ＝－1 8 ，sin2θ＝2sinθcosθ＝－3 7 8 .所以角 2θ为第三象限角．故选 C. 4．(2016·江西三校联考)函数 y＝sin2x 的图象的一个对称中心为( ) A．(0，0) B. π 4 ，0 C. π 4 ，1 2 D. π 2 ，1 解：因为 y＝sin2x＝1－cos2x 2 ，令 2x＝π 2 ＋kπ， k∈Z，所以 x＝π 4 ＋kπ 2 ，k∈Z， 所以函数 y＝sin2x 的图象的一个对称中心为 π 4 ，1 2 .故选 C. 5．(2016·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝cos2x＋6cos π 2 －x 的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解：因为f(x)＝1－2sin2x＋6sinx＝－2 sinx－3 2 2＋11 2 ，而 sinx∈，所以当 sinx＝1 时， f(x)取最大值 5.故选 B. 6．(2016·淮南二模)已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)满足 f(x)≤f(a)对 x∈R 恒成立，则 函数( ) A．f(x－a)一定为奇函数 B．f(x－a)一定为偶函数 C．f(x＋a) 一定为奇函数 D．f(x＋a)一定为偶函数 解：由题意得 f(a)＝sin(2a＋φ)＝1， 则 2a＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z， 所以 f(x＋a)＝sin(2x＋2a＋φ)＝sin(2x＋ 2kπ＋π 2 )＝cos2x，此时函数为偶函 数．故选 D. 7．(2016·南开模拟)△ABC 中三个内角为 A，B，C，若关于 x 的方程 x2－xcosAcosB－ cos2C 2 ＝0 有一根为 1，则△ABC 一定是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解：依题意，可得 1－cosAcosB－cos2C 2 ＝0，因为 cos2C 2 ＝1＋cosC 2 ＝1－cos（A＋B） 2 ＝ 1－cosAcosB＋sinAsinB 2 ，所以 1－cosAcosB－1－cosAcosB＋sinAsinB 2 ＝0， 整理得：cos(A－B)＝1，又 A，B 为△ABC 的内角，所以 A＝B，所以△ABC 一定为等腰 三角形．故选 B. 8．已知 sin α＋π 3 ＋sinα＝－4 3 5 ，－π 2 ＜α＜0，则 cos α＋2π 3 ＝( ) A．－4 5 B．－3 5 C.4 5 D.3 5 解：因为 sin α＋π 3 ＋sinα＝3 2 sinα＋ 3 2 cosα＝ －4 3 5 ，所以 3 2 sinα＋1 2 cosα＝ －4 5 . 所以 cos α＋2π 3 ＝cosαcos2π 3 －sinαsin2π 3 ＝ －1 2 cosα－ 3 2 sinα＝4 5 .故选 C. 9．(2016·湖南师大附中二模)设 f(x)＝ 1＋cos2x＋sin2x 2sin π 2 ＋x ＋asin x＋π 4 的最大值为 3， 则常数 a＝( ) A．1 B．1 或－5 C．－2 或 4 D．± 7 解：f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx 2cosx ＋asin x＋π 4 ＝ 2cosx＋ 2sinx＋asin x＋π 4 ＝ 2sin x＋π 4 ＋asin x＋π 4 ＝(a＋2)sin x＋π 4 ，则|a＋2|＝3，所以 a＝1 或 a＝－5.故选 B. 10．(2016·安庆质检)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π 2 )的部分图 象如图所示，则 f(x)的递增区间为( ) A. －π 12 ＋2kπ，7π 12 ＋2kπ ，k∈Ζ B. －π 12 ＋kπ，5π 12 ＋kπ ，k∈Ζ C. －π 6 ＋2kπ，5π 6 ＋2kπ ，k∈Ζ D. －π 6 ＋kπ，5π 6 ＋kπ ，k∈Ζ 解：由图象可知 A＝2，3 4 T＝11π 12 －π 6 ＝3π 4 ，所以 T＝π，故ω＝2.π 6 ＋π 4 ＝5π 12 ，π 6 － π 4 ＝－π 12 ，得 f(x)的递增区间为 kπ－π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z)．故选 B. 11．(2015·郑州模拟)已知函数 f(x)＝cos 2x＋π 3 －cos2x，其中 x∈R，给出下列四 个结论：①函数 f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 x ＝ 2π 3 ； ③ 函 数 f(x) 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 5π 12 ，0 ； ④ 函 数 f(x) 的 递 增 区 间 为 kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ，k∈Z.则正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解：f(x)＝cos 2x＋π 3 －cos2x＝cos2xcosπ 3 －sin2xsinπ 3 －cos2x＝－sin 2x＋π 6 ， 不是奇函数，①错；f 2π 3 ＝－sin 4π 3 ＋π 6 ＝1，②正确；f 5π 12 ＝ －sinπ＝0，③ 正确；令 2kπ＋π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋3π 2 ，k∈Z，得 kπ＋π 6 ≤x≤kπ＋2 3 π，k∈Z，④正确．综 上知正确结论的个数为 3.故选 C. 12．(2015·重庆)若 tanα＝2tanπ 5 ，则 cos α－3π 10 sin α－π 5 ＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解： cos α－3π 10 sin α－π 5 ＝ cosαcos3π 10 ＋sinαsin3π 10 sinαcosπ 5 －cosαsinπ 5 ＝ cos3π 10 ＋tanαsin3π 10 tanαcosπ 5 －sinπ 5 ＝ cos3π 10 ＋2tanπ 5 sin3π 10 2tanπ 5 cosπ 5 －sinπ 5 ＝ cosπ 5 cos3π 10 ＋2sinπ 5 sin3π 10 sinπ 5 cosπ 5 ＝ cosπ 5 cos3π 10 ＋sinπ 5 sin3π 10 ＋cos π 2 －π 5 sin3π 10 1 2 sin2π 5 ＝ 3cosπ 10 cosπ 10 ＝3.故选 C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为____________． 解：cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝ cos43°cos77°＋sin43°(－sin77°)＝ cos120°＝－1 2 .故填－1 2 . 14．(2015·广东模拟)已知角φ的终边经过点 P(3，－4)，函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω ＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π 3 ，则 f π 12 的值为________． 解：根据题意，T＝2π 3 ，ω＝2π T ＝3，sinφ＝－4 5 ，cosφ＝3 5 ，f π 12 ＝sin 3×π 12 ＋φ ＝sin π 4 ＋φ ＝ 2 2 (sinφ＋cosφ)＝－ 2 10 .故填－ 2 10 . 15．(2016·山西三校联考)已知在△ABC 中，B＝2A，∠ACB 的平分线 CD 把三角形分成 面积比为 4∶3 的两部分，则 cosA＝________. 解：由题意可知 S△ACD S△BCD ＝ 1 2 AC·CD·sin∠ACD 1 2 BC·CD·sin∠BCD ＝AC BC ，由正弦定理得AC BC ＝sinB sinA ＝sin2A sinA ＝2cosA，所以 2cosA ＝4 3 或3 4 ，即 cosA＝2 3 或3 8 ，当 cosA＝3 8 时，A＞π 3 ，B＋A＞π，舍去．故 cosA＝2 3 .故填2 3 . 16．(2016·烟台模拟)已知函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π 2 ) 的最大值为 3，f(x)的图象与 y 轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为 2，则 f(1)＋f(2)＋…＋ f(2 017)＝________. 解：函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A 2 cos(2ωx＋2φ)＋A 2 ＋1 A>0，ω>0，0<φ<π 2 的 最大值为 3，所以 A＝2，其相邻的两条对称轴的距离为 2，所以T 2 ＝2π 4ω ＝2，即ω＝π 4 ，所 以 f(x)＝cos π 2 x＋2φ ＋2(0<φ<π 2 )，又 f(x)的图象与 y 轴交点坐标为(0，2)，所以φ＝ π 4 ，f(x)＝－sinπ 2 x＋2， 而 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，且周期为 4， 所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝504×8＋f(1)＝4 033.故填 4 033. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分)(2015·陕西)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m＝(a， 3b)与 n＝(cosA，sinB)平行． (1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为 m∥n，所以 asinB－ 3bcosA＝0， 由正弦定理，得 sinAsinB－ 3sinBcosA＝0， 又 sinB≠0，从而 tanA＝ 3，由于 0＜A＜π，所以 A＝π 3 . (2)解法一：由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA，而 a＝ 7，b＝2，A＝π 3 ，所以 7＝ 4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0， 因为 c＞0，所以 c＝3， 故△ABC 的面积为 S＝1 2 bcsinA＝3 3 2 . 解法二：由正弦定理，得 7 sinπ 3 ＝ 2 sinB ，从而 sinB＝ 21 7 ， 又由 a＞b，知 A＞B，所以 cosB＝2 7 7 ， 故 sinC＝sin(A＋B)＝sin B＋π 3 ＝sinBcosπ 3 ＋cosBsinπ 3 ＝3 21 14 . 所以△ABC 的面积为 S＝1 2 absinC＝3 3 2 . 18．(12 分)(2016·长沙模拟)已知向量 a＝(2sinx， 3cosx)，b＝(－sinx，2sinx)， 函数 f(x)＝a·b. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边且 f(C)＝1，c＝1，ab＝2 3，a>b， 求 a，b 的值． 解：(1)由题意得 f(x)＝－2sin2x＋2 3sinxcosx＝ 3sin2x＋cos2x－1＝2sin 2x＋π 6 －1， 令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)， 得 kπ－π 3 ≤x≤kπ＋π 6 (k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间是 kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ， k∈Z. (2)由(1)和条件可得 f(C)＝2sin 2C＋π 6 －1＝1，则 sin 2C＋π 6 ＝1. 因为 0＜C＜π，所以 2C＋π 6 ＝π 2 ，即 C＝π 6 . 所以 cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝ 3 2 ， 又 c＝1，ab＝2 3，所以 a2＋12 a2 ＝7， 解得 a2＝3 或 a2＝4， 所以 a＝ 3或 2，所以当 a＝ 3时，b＝2， 当 a＝2 时，b＝ 3. 因为 a>b，所以 a＝2，b＝ 3. 19．(12 分)(2016·石家庄二模)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 满足 a＝3bcosC. (1)求tanC tanB 的值； (2)若 a＝3，tanA＝3，求△ABC 的面积． 解：(1)因为正弦定理 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ，又 A＋B＋C＝π，所以 sinA＝sin(B＋C)＝ 3sinBcosC， 即 sinBcosC＋cosBsinC＝3sinBcosC， 所以 cosBsinC＝2sinBcosC，即cosBsinC sinBcosC ＝2.故tanC tanB ＝2. (2)由 A＋B＋C＝π得 tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3， 即 tanB＋tanC 1－tanBtanC ＝－3, 将 tanC＝2tanB 代入得 3tanB 1－2tan2B ＝－3， 解得 tanB＝1 或 tanB＝－1 2 ， 根据 tanC＝2tanB 得 tanC，tanB 同正， 所以 tanB＝1，tanC＝2. 可得 sinB＝ 2 2 ，sinC＝2 5 5 ，sinA＝3 10 10 ， 代入正弦定理可得 3 3 10 10 ＝ b 2 2 ，所以 b＝ 5， 所以 S△ABC＝1 2 absinC＝1 2 ×3× 5×2 5 5 ＝3. 20．(12 分)(2015·福建)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)＝cosx 的图象经如下变换 得到：先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图 象向右平移π 2 个单位长度． (1)求函数 f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程； (2)已知关于 x 的方程 f(x)＋g(x)＝m 在＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC ＝ 5 13 ×3 5 ＋12 13 ×4 5 ＝63 65 . 由正弦定理 AB sinC ＝ AC sinB ， 得 AB＝ AC sinB ×sinC＝ 1 260 63 65 ×4 5 ＝1 040(m)． 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙 距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13 ＝200(37t2－70t＋50)， 因为 0≤t≤1 040 130 ，即 0≤t≤8，故当 t＝35 37 (min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理 BC sinA ＝ AC sinB ， 得 BC＝ AC sinB ×sinA＝ 1 260 63 65 × 5 13 ＝500(m)． 乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得－3≤500 v －710 50 ≤3，解得1 250 43 ≤v≤625 14 ，所以 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 1 250 43 ，625 14 (单 位：m/min)范围内．