- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教版(理)第11章第5讲数学归纳法学案
第5讲 数学归纳法 [考纲解读] 1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题.(重点) 2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题.(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,对本讲并没有直接涉及,当遇到与正整数n有关的不等式的证明,且其他方法不易证时,可以考虑用数学归纳法进行证明求解. 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 1.(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立; 2.(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,上述证明方法叫做数学归纳法. 1.概念辨析 (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( ) (2)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( ) (4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.小题热身 (1)下列结论能用数学归纳法证明的是( ) A.x>sinx,x∈(0,π) B.ex≥x+1(x∈R) C.1+++…+=2-n-1(n∈N*) D.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α,β∈R) 答案 C 解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法,由此可知C符合题意. (2)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等式左边的项是( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 答案 C 解析 验证n=1时,等式左边的项是1+a+a2. (3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真. 答案 2k+1 解析 由于步长为2,所以2k-1后一个奇数应为2k+1. 题型 用数学归纳法证明恒等式 设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).用数学归纳法证明:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ. 证明 ①当n=1时,左边=右边=cosθ+isinθ,所以命题成立; ②假设当n=k时,命题成立,即 (cosθ+isinθ)k=coskθ+isinkθ, 则当n=k+1时, (cosθ+isinθ)k+1=(cosθ+isinθ)k·(cosθ+isinθ) =(coskθ+isinkθ)(cosθ+isinθ) =(coskθcosθ-sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+coskθsinθ) =cos(k+1)θ+isin(k+1)θ, 所以当n=k+1时,命题成立. 综上,由①和②可得,(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ. 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)注意点:由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. 提醒:归纳假设就是证明n=k+1时命题成立的条件,必须用上,否则就不是数学归纳法. 用数学归纳法证明: ++…+=(n∈N*). 证明 ①当n=1时,左边==, 右边==, 左边=右边,等式成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立. 即++…+=, 当n=k+1时, 左边=++…++ =+ = ==, 右边= =, 左边=右边,等式成立. 由①②知,对n∈N*,原等式成立. 题型 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式·…·>均成立. 证明 ①当n=2时, 左边=1+=,右边=. ∵左边>右边,∴不等式成立. ②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立. 即·…·>. 则当n=k+1时, ·…·· >·= => ==. ∴当n=k+1时,不等式也成立. 由①②知对于一切大于1的自然数n,不等式成立. 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)关键:用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明. 求证:当n≥1(n∈N*)时, (1+2+…+n)≥n2. 证明 (1)当n=1时,左边=右边,命题成立. 当n=2时,左边=(1+2)=>22, 命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,即 (1+2+…+k)≥k2. 则当n=k+1时,有 左边=[(1+2+…+k)+(k+1)]· =(1+2+…+k)+(1+2+…+k)·+(k+1)+1≥k2++1+(k+1). ∵当k≥2时,1++…+≥1+=, ∴左边≥k2++1+(k+1)×=k2+2k+1+≥(k+1)2. 这就是说当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)可知当n≥1(n∈N*)时原命题成立. 题型 归纳—猜想—证明 如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0查看更多