【数学】2020届一轮复习人教版(理)第11章第5讲数学归纳法学案

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【数学】2020届一轮复习人教版(理)第11章第5讲数学归纳法学案

第5讲 数学归纳法 ‎[考纲解读] 1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题.(重点)‎ ‎2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题.(难点)‎ ‎[考向预测] 从近三年高考情况来看,对本讲并没有直接涉及,当遇到与正整数n有关的不等式的证明,且其他方法不易证时,可以考虑用数学归纳法进行证明求解.‎ 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:‎ ‎1.(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;‎ ‎2.(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.‎ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,上述证明方法叫做数学归纳法.‎ ‎1.概念辨析 ‎(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(  )‎ ‎(2)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(  )‎ ‎(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(  )‎ ‎(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(  )‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.小题热身 ‎(1)下列结论能用数学归纳法证明的是(  )‎ A.x>sinx,x∈(0,π)‎ B.ex≥x+1(x∈R)‎ C.1+++…+=2-n-1(n∈N*)‎ D.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α,β∈R)‎ 答案 C 解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法,由此可知C符合题意.‎ ‎(2)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等式左边的项是(  )‎ A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3‎ 答案 C 解析 验证n=1时,等式左边的项是1+a+a2.‎ ‎(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真.‎ 答案 2k+1‎ 解析 由于步长为2,所以2k-1后一个奇数应为2k+1.‎ 题型  用数学归纳法证明恒等式 设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).用数学归纳法证明:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.‎ 证明 ①当n=1时,左边=右边=cosθ+isinθ,所以命题成立;‎ ‎②假设当n=k时,命题成立,即 ‎(cosθ+isinθ)k=coskθ+isinkθ,‎ 则当n=k+1时,‎ ‎(cosθ+isinθ)k+1=(cosθ+isinθ)k·(cosθ+isinθ)‎ ‎=(coskθ+isinkθ)(cosθ+isinθ)‎ ‎=(coskθcosθ-sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+coskθsinθ)‎ ‎=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ,‎ 所以当n=k+1时,命题成立.‎ 综上,由①和②可得,(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.‎ 数学归纳法证明等式的思路和注意点 ‎(1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.‎ ‎(2)注意点:由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.‎ 提醒:归纳假设就是证明n=k+1时命题成立的条件,必须用上,否则就不是数学归纳法.‎ 用数学归纳法证明:‎ ++…+=(n∈N*).‎ 证明 ①当n=1时,左边==,‎ 右边==,‎ 左边=右边,等式成立.‎ ‎②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立.‎ 即++…+=,‎ 当n=k+1时,‎ 左边=++…++ ‎=+ ‎= ‎==,‎ 右边= ‎=,‎ 左边=右边,等式成立.‎ 由①②知,对n∈N*,原等式成立.‎ 题型  用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式·…·>均成立.‎ 证明 ①当n=2时,‎ 左边=1+=,右边=.‎ ‎∵左边>右边,∴不等式成立.‎ ‎②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立.‎ 即·…·>.‎ 则当n=k+1时,‎ ·…·· ‎>·= ‎=> ‎==.‎ ‎∴当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由①②知对于一切大于1的自然数n,不等式成立.‎ 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 ‎(1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.‎ ‎(2)关键:用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.‎ 求证:当n≥1(n∈N*)时,‎ ‎(1+2+…+n)≥n2.‎ 证明 (1)当n=1时,左边=右边,命题成立.‎ 当n=2时,左边=(1+2)=>22,‎ 命题成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,即 ‎(1+2+…+k)≥k2.‎ 则当n=k+1时,有 左边=[(1+2+…+k)+(k+1)]· ‎=(1+2+…+k)+(1+2+…+k)·+(k+1)+1≥k2++1+(k+1).‎ ‎∵当k≥2时,1++…+≥1+=,‎ ‎∴左边≥k2++1+(k+1)×=k2+2k+1+≥(k+1)2.‎ 这就是说当n=k+1时,命题成立.‎ 由(1)(2)可知当n≥1(n∈N*)时原命题成立.‎ 题型  归纳—猜想—证明 如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(00,所以a1=2,‎ 同理可得a2=6,a3=12.‎ ‎(2)依题意,得xn=,yn=·,‎ 由此及y=3xn得2=(an-1+an),‎ 即(an-an-1)2=2(an-1+an).‎ 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*).‎ 下面用数学归纳法予以证明:‎ ‎①当n=1时,命题显然成立;‎ ‎②假设当n=k时命题成立,即有an=k(k+1),‎ 则当n=k+1时,‎ 由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)得 ‎[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1],‎ 即a-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0,‎ 解得ak+1=(k+1)(k+2)或ak+1=k(k-1)0,n∈N*.‎ ‎(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明通项公式的正确性.‎ 解 (1)当n=1时,‎ 由已知得a1=+-1,a+2a1-2=0.‎ 所以a1=-1(a1>0).‎ 当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,‎ 将a1=-1代入并整理得a+2a2-2=0.‎ 所以a2=-(a2>0).同理可得a3=-.‎ 猜想an=-(n∈N*).‎ ‎(2)证明:①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.‎ ‎②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立,‎ 即ak=-.‎ 由ak+1=Sk+1-Sk=+--,‎ 将ak=-代入上式并整理,得 a+2ak+1-2=0,‎ 解得ak+1=-(负值舍去).‎ 即当n=k+1时,通项公式也成立.‎ 由①和②,可知对所有n∈N*,an=-都成立.‎
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