【数学】2019届一轮复习人教A版 空间向量及其运算 学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版 空间向量及其运算 学案

第06节 空间向量及其运算 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 空间向量及其运算 ‎(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ ‎2013•新课标I. 18;‎ ‎2014•新课标I. 19‎ ‎2015•新课标II.19; ‎ ‎2016•新课标I.18;‎ ‎2017•新课标I.18.‎ ‎1. 空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎2. 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ ‎3.应用空间向量解决立体几何问题.‎ ‎4.备考重点:‎ ‎ (1) 掌握空间向量的线性运算、坐标运算;‎ ‎(2)掌握空间向量的数量积计算方法.‎ ‎(3)利用向量判断垂直关系、平行关系.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 空间向量的线性运算 ‎1.空间向量的有关概念 ‎(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的模或长度.‎ ‎(2)几种常用特殊向量 ‎①单位向量:长度或模为1的向量.‎ ‎②零向量:长度为0的向量.‎ ‎③相等向量:方向相同且模相等的向量.‎ ‎④相反向量:方向相反而模相等的向量.‎ ‎⑤共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平行向量.‎ ‎⑥共面向量:平行于同一个平面的向量.‎ ‎ 2.空间向量的线性运算 ‎(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广.‎ 设a,b是空间任意两向量,若,P∈OC,则,,. ‎ ‎(2)向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ‎①加法交换律:a+b=b + a .‎ ‎②加法结合律:(a+b)+c=a +(b+c).‎ ‎③数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.‎ ‎④数乘结合律:λ(μa)=(λμ) a.(λ∈R,μ∈R).‎ 对点练习:‎ ‎【人教A版,P117复习题第1题】如图,空间四边形中,点在上,且,点为中点,则等于( )‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,‎ ‎,故选B.‎ ‎2. 共线向量定理、共面向量定理的应用 ‎(1)共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.‎ ‎(2)共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y,使.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y, },使.把{a,b,c}叫做空间的一个基底.‎ 推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x、y、 ,‎ 使.其中x+y+ =1.‎ 对点练习:‎ 已知,,,若三向量共面,则实数等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎3. 空间向量的数量积及其应用 ‎1.两个向量的数量积 ‎(1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉;‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量);‎ ‎(3)|a|2=a2,|a|=.‎ ‎2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)‎ 向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)‎ 向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)‎ 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3‎ 共线 a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)‎ 垂直 a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0‎ 夹角 公式 cos〈a,b〉= 对点练习:‎ 已知向量,,且与互相垂直,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念 ‎(1)空间直角坐标系:以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴,y轴, 轴.这时建立了一个空间直角坐标系Oxy ,其中点O叫做坐标原点,x轴,y轴, 轴统称坐标轴.由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面.‎ ‎(2)右手直角坐标系的含义:当右手拇指指向x轴的正方向,食指指出y轴的正方向时,中指指向 轴的正方向.‎ ‎(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x,y, )来表示,记作M(x,y, ),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标, 叫做点M的竖坐标.‎ ‎2.空间两点间的距离公式 设点A(x1,y1, 1),B(x2,y2, 2),则=.‎ 对点练习:‎ ‎【2017届广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市高三5月联考】如图,在三棱锥中,平面平面, 与均为等腰直角三角形,且, .点是线段上的动点,若线段上存在点,使得异面直线与成的角,则线段长的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设的中点为,连,因,故建立如图所示的空间直角坐标系,则,则,所以, ,所以,即,也即,由此可得,结合可得,所以,则 ‎,即,应选答案B.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 本部分内容较少单独考查,主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与垂直及计算夹角与距离的应用.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点一 空间向量的线性运算 ‎【1-1】空间四边形ABCD中,若向量,,点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【1-2】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设,E,F分别是AD1,BD的中点.‎ ‎(1)用向量表示,;‎ ‎(2)若,求实数x,y, 的值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1),‎ ‎.‎ ‎(2),所以.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.‎ ‎2.首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,求若干个向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】如图,在空间四边形中, , , .点在上,且, 是的中点,则=( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式二】【百强校】2015-2016学年】辽宁省葫芦岛市一中如图,在平行六面体中,为的交点.若 ,‎ ‎,则下列向量中与相等的向量是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知,‎ ‎,故应选.‎ 考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用 ‎【2-1】【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知,,若,则( )‎ A. , B. , C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【2-2】有4个命题:①若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb;③若=x+y,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则=x+y.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立,③正确,④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.故选B.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量,其它任意一向量都可用这一组基向量表示.‎ ‎2.中点向量公式,在解题时可以直接使用.‎ ‎3.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.‎ ‎(1);‎ ‎(2)对空间任一点O,;‎ ‎(3)对空间任一点O,.‎ ‎4.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ‎(1);‎ ‎(2)对空间任一点O,;‎ ‎(3)对空间任一点O,;‎ ‎(4)∥(或∥或∥).‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】若,,不共线,对于空间任意一点都有,则,,,四点( )‎ A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 ‎【答案】B ‎【变式二】【浙江慈溪中学】已知,,,,若,则________;若,,,四点共面,则__________.‎ ‎【答案】,.‎ ‎【解析】由题意得,,,∴,‎ ‎∴;若,,,四点共面,∴存在唯一的实数,使得,,‎ ‎∴,∴.‎ 考点3 空间向量的数量积及其应用 ‎【3-1】已知A(2,3,-1),B(2,6,2),C(1,4,-1),则向量与的夹角为( )‎ A.45° B.90° C.30° D.60°‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以,故选D.‎ ‎【3-2】【2018届江西省南昌三中高三上学期第二次考试】已知半径为的球 内切于正四面体,线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四面体的边长为, O为球心,由下图可得在可知, ,因为内切球半径为1,即,解得,所以 而又 由题意M,N是直径的两端点,可得,,‎ 由此可知,要求出的取值范围,只需求出,的范围即可.‎ 当P位于E(切点)时,OP取得最小值1;‎ 当P位于A处时,OP取得最大值3.‎ 综上可得的最小值为11=0,最大值为91=8.‎ 则的取值范围是[0,8].‎ 再由,知取值范围是 故答案为: .‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用;‎ ‎2. 当异面直线所成的角为时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算.应该注意的是,,所以 ‎ ‎3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据|a|=转化为向量求解.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知向量, ,且与互相垂直,则的值为( )‎ A. 2 B. 0 C. -1 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为向量, 与互相垂直, ,解得,故选B.‎ ‎【变式二】【2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市高三二模】已知空间四边形,满足, , , ,则的值( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 ‎【4-1】【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题:‎ ‎①; ②; ③‎ ‎④函数在上是增函数, 在上是减函数.‎ 其中为真命题的是___________(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎,故答案③不正确;由于时,单调递增且当时, 最大;当,单调递减,故答案④正确;应填答案①④。‎ ‎【4-2】在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点是,则点P ‎ 到坐标原点O的距离_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两点关于y轴对称,则两点的横坐标,竖坐标互为相反数,纵坐标相同,所以由点关于轴的对称点是可得 ,.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求向量的数量积的方法:‎ ‎①设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ;‎ ‎②若a=(x1,y1, 1),b=(x2,y2, 2),则a·b=x1x2+y1y2+ 1 2.‎ 根据已知条件,准确选择上述两种方法,可简化计算.‎ ‎2.求向量模的方法:‎ ‎①|a|=;‎ ‎②若a=(x,y, ),则|a|=.‎ ‎3.空间向量的坐标运算 ‎(1)设i、j、 为两两垂直的单位向量,如果,则叫做向量的坐标.‎ ‎(2)设a=(x1,y1, 1),b=(x2,y2, 2),那么 ‎①a±b=.‎ ‎②a·b=,‎ ‎③cos〈a,b〉=,‎ ‎④|a|== ,‎ ‎⑤λa=,‎ ‎⑥a∥b⇔(λ∈R),‎ ‎⑦a⊥b⇔.‎ ‎(3)设点M1(x1,y1, 1)、M2(x2,y2, 2),‎ 则 ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】在空间直角坐标系中的点,有下列叙述:‎ ‎①点关于横轴(轴)的对称点是;‎ ‎②点关于坐标平面的对称点为;‎ ‎③点关于纵轴(轴)的对称点是;‎ ‎④点关于坐标原点的对称点为.‎ 其中错误的叙述个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】点关于横轴的对称点,故①错;对于②,点关于坐标平面的对称点为,故②错;对于③,点关于纵轴的对称点是,故③错;④正确.‎ ‎【变式二】已知点M(a,b,c)是空间直角坐标系O﹣xy 中的一点,则与点M关于 轴对称的点的坐标是( )‎ A.(a,﹣b,﹣c) B.(﹣a,b,﹣c) ‎ C.(﹣a,﹣b,c) D.(﹣a,﹣b,﹣c)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例1.【浙江卷】已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中(  )‎ A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 易错分析:用向量方法解决立体几何问题时,基底选择不当容易出现错误.‎ 正确解析:如图,在图(1)中,易知AE=CF=,BE=EF=FD=.‎ 在图(2)中,设,则,‎ 则故,故AC与BD不垂直,A不正确;所以.当cos θ=-,即θ=时,,故B正确;,所以,故无论θ为何值,故C不正确.且D也不正确.‎ 答案:B 温馨提醒:(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底,且该基底既能反映条件的特征,也能方便地与结论联系;例如本题中,翻折过程中二面角大小在变化,即,因此以为基向量,同时也便于运算.(2)注意将平面图形分析到位,并将已知条件转化到立体图形中去.‎ 易错典例2.已知,则直线AD与BC(  )‎ A.平行        B.相交 C.重合 D.平行或重合 易错分析 ‎:误解了向量平行的概念,两个向量平行,它们所在的直线可能平行或重合,是哪一种情形要视具体问题而定.‎ 正确解析:因为,所以∥,又和有公共的端点B,所以A,B,C三点共线;因为=3,又与有公共的端点C,所以B,C,D三点共线.所以A,B,C,D四点共线,所以直线AD与BC重合.选C.‎ 答案:C 温馨提醒:1.注意向量夹角的确定,避免首尾相连的向量夹角确定错误;2.注意向量夹角与两直线夹角的区别;3.注意向量共线与两直线平行与重合的区别.‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ 化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法 ‎1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂.‎ ‎2. 转化包括等价转化和非等价转化,非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的,这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果,非等价转化其过程则是充分的或必要的,这样的转化能给人带来思维的启迪,找到解决问题的突破口,非等价变形要对所得结论进行必要的修改.‎ 非等价转化(强化转化和弱化转化)在思维上带有跳跃性,是难点,在压轴题的解答中常常用到,一定要特别重视!‎ ‎3.转化与化归的原则 ‎(1)熟悉化原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题;‎ ‎(2)直观化原则:将抽象的问题转化为具体的直观的问题;‎ ‎(3)简单化原则:将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便与解决.‎ ‎(4)正难则反原则:若过正面问题难以解决,可考虑问题的反面,从问题的反面寻求突破的途径;‎ ‎(5)低维度原则:将高维度问题转化成低维度问题.‎ ‎4.转化与化归的基本类型 ‎(1) 正与反、一般与特殊的转化;‎ ‎(2) 常量与变量的转化;‎ ‎(3) 数与形的转化;‎ ‎(4) 数学各分支之间的转化;‎ ‎(5) 相等与不相等之间的转化;‎ ‎(6) 实际问题与数学模型的转化.‎ ‎5.常见的转化方法 ‎(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;‎ ‎(2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题;‎ ‎(3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化;‎ ‎(4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;‎ ‎(5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径;‎ ‎(6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径;‎ ‎(7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题;‎ ‎(8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化;‎ ‎(9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的;‎ ‎(10)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集获得原问题的解决.‎ 立体几何中的转化与化归,主要利用直接转化法或坐标法,将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.‎ ‎【典例】三棱锥中,两两垂直且相等,点分别是线段和上移动,且满足,,则和所成角余弦值的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为原点,分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 不妨设,, ,则由,得出 ‎,,,.于是向量,,所以 ‎,‎ 令,,则.‎ 因为对称轴为,所以关于为递增函数,关于为递增函数.‎ 又因为与独立取值,所以,所以和所成角余弦值的取值范围为,即为所求.‎ ‎ ‎
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