【数学】2019届一轮复习人教A版 空间向量及其运算 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 空间向量及其运算 学案

第06节 空间向量及其运算 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 空间向量及其运算 ‎(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ ‎2013•新课标I. 18;‎ ‎2014•新课标I. 19‎ ‎2015•新课标II.19; ‎ ‎2016•新课标I.18；‎ ‎2017•新课标I.18.‎ ‎1. 空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎2. 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ ‎3.应用空间向量解决立体几何问题.‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握空间向量的线性运算、坐标运算；‎ ‎(2)掌握空间向量的数量积计算方法.‎ ‎（3）利用向量判断垂直关系、平行关系.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 空间向量的线性运算 ‎1.空间向量的有关概念 ‎(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．‎ ‎(2)几种常用特殊向量 ‎①单位向量：长度或模为1的向量．‎ ‎②零向量：长度为0的向量．‎ ‎③相等向量：方向相同且模相等的向量.‎ ‎④相反向量：方向相反而模相等的向量．‎ ‎⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．‎ ‎⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．‎ ‎ 2.空间向量的线性运算 ‎(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．‎ 设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，. ‎ ‎（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ‎①加法交换律：a＋b＝b + a .‎ ‎②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．‎ ‎③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.‎ ‎④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．‎ 对点练习：‎ ‎【人教A版，P117复习题第1题】如图，空间四边形中，点在上，且，点为中点，则等于（ ）‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，‎ ‎，故选B.‎ ‎2. 共线向量定理、共面向量定理的应用 ‎(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y， }，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、 ，‎ 使.其中x＋y＋ ＝1.‎ 对点练习：‎ 已知，，，若三向量共面，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎3. 空间向量的数量积及其应用 ‎1．两个向量的数量积 ‎(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；‎ ‎(3)|a|2＝a2，|a|＝.‎ ‎2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)‎ 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)‎ 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)‎ 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)‎ 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 对点练习：‎ 已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念 ‎(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴， 轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxy ，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴， 轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．‎ ‎(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向 轴的正方向．‎ ‎(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y， )来表示，记作M(x，y， )，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标．‎ ‎2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1， 1)，B(x2，y2， 2)，则＝.‎ 对点练习：‎ ‎【2017届广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市高三5月联考】如图，在三棱锥中，平面平面， 与均为等腰直角三角形，且， ．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以， ，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则 ‎，即，应选答案B.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 本部分内容较少单独考查，主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与垂直及计算夹角与距离的应用．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点一 空间向量的线性运算 ‎【1-1】空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【1-2】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．‎ ‎（1）用向量表示，；‎ ‎（2）若，求实数x，y， 的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1），‎ ‎.‎ ‎（2），所以.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.‎ ‎2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则=( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式二】【百强校】2015-2016学年】辽宁省葫芦岛市一中如图，在平行六面体中，为的交点．若 ，‎ ‎，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，‎ ‎，故应选．‎ 考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用 ‎【2-1】【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知，，若，则（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【2-2】有4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立，③正确，④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．故选B.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．‎ ‎2.中点向量公式，在解题时可以直接使用．‎ ‎3．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.‎ ‎(1)；‎ ‎(2)对空间任一点O，；‎ ‎(3)对空间任一点O，．‎ ‎4．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ‎(1)；‎ ‎(2)对空间任一点O，；‎ ‎(3)对空间任一点O，；‎ ‎(4)∥(或∥或∥)．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（ ）‎ A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 ‎【答案】B ‎【变式二】【浙江慈溪中学】已知，，，，若，则________；若，，，四点共面，则__________．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】由题意得，，，∴，‎ ‎∴；若，，，四点共面，∴存在唯一的实数，使得，，‎ ‎∴，∴．‎ 考点3 空间向量的数量积及其应用 ‎【3-1】已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量与的夹角为（ ）‎ A．45° B．90° C．30° D．60°‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，故选D.‎ ‎【3-2】【2018届江西省南昌三中高三上学期第二次考试】已知半径为的球 内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是______________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四面体的边长为， O为球心，由下图可得在可知， ，因为内切球半径为1，即，解得，所以 而又 由题意M，N是直径的两端点，可得,,‎ 由此可知，要求出的取值范围，只需求出，的范围即可．‎ 当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；‎ 当P位于A处时，OP取得最大值3．‎ 综上可得的最小值为11=0，最大值为91=8．‎ 则的取值范围是[0，8]．‎ 再由，知取值范围是 故答案为： ．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；‎ ‎2. 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以 ‎ ‎3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知向量， ，且与互相垂直，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 0 C. -1 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为向量， 与互相垂直， ，解得，故选B.‎ ‎【变式二】【2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市高三二模】已知空间四边形，满足， ， ， ，则的值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 ‎【4-1】【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：‎ ‎①； ②； ③‎ ‎④函数在上是增函数， 在上是减函数.‎ 其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎，故答案③不正确；由于时，单调递增且当时， 最大；当，单调递减，故答案④正确；应填答案①④。‎ ‎【4-2】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点P ‎ 到坐标原点O的距离_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两点关于y轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点关于轴的对称点是可得 ，.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求向量的数量积的方法：‎ ‎①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ；‎ ‎②若a＝(x1，y1， 1)，b＝(x2，y2， 2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋ 1 2.‎ 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．‎ ‎2.求向量模的方法：‎ ‎①|a|＝；‎ ‎②若a＝(x，y， )，则|a|＝.‎ ‎3．空间向量的坐标运算 ‎（1）设i、j、 为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．‎ ‎（2）设a＝(x1，y1， 1)，b＝(x2，y2， 2)，那么 ‎①a±b＝．‎ ‎②a·b＝，‎ ‎③cos〈a，b〉＝，‎ ‎④|a|＝＝ ，‎ ‎⑤λa＝，‎ ‎⑥a∥b⇔(λ∈R)，‎ ‎⑦a⊥b⇔.‎ ‎（3）设点M1(x1，y1， 1)、M2(x2，y2， 2)，‎ 则 ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】在空间直角坐标系中的点，有下列叙述：‎ ‎①点关于横轴(轴)的对称点是；‎ ‎②点关于坐标平面的对称点为；‎ ‎③点关于纵轴(轴)的对称点是；‎ ‎④点关于坐标原点的对称点为．‎ 其中错误的叙述个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】点关于横轴的对称点，故①错；对于②，点关于坐标平面的对称点为，故②错；对于③，点关于纵轴的对称点是，故③错；④正确．‎ ‎【变式二】已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系O﹣xy 中的一点，则与点M关于 轴对称的点的坐标是（ ）‎ A．（a，﹣b，﹣c） B．（﹣a，b，﹣c） ‎ C．（﹣a，﹣b，c） D．（﹣a，﹣b，﹣c）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例1.【浙江卷】已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　)‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 易错分析：用向量方法解决立体几何问题时，基底选择不当容易出现错误．‎ 正确解析：如图，在图(1)中，易知AE＝CF＝，BE＝EF＝FD＝.‎ 在图(2)中，设，则，‎ 则故，故AC与BD不垂直，A不正确；所以.当cos θ＝－，即θ＝时，，故B正确；，所以，故无论θ为何值，故C不正确．且D也不正确.‎ 答案：B 温馨提醒：(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角大小在变化，即，因此以为基向量，同时也便于运算.(2)注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去.‎ 易错典例2.已知，则直线AD与BC(　　)‎ A．平行　　　　　　　 B．相交 C．重合 D．平行或重合 易错分析 ‎：误解了向量平行的概念，两个向量平行，它们所在的直线可能平行或重合，是哪一种情形要视具体问题而定.‎ 正确解析：因为，所以∥，又和有公共的端点B，所以A，B，C三点共线；因为＝3，又与有公共的端点C，所以B，C，D三点共线．所以A，B，C，D四点共线，所以直线AD与BC重合．选C.‎ 答案：C 温馨提醒：1．注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；2．注意向量夹角与两直线夹角的区别；3．注意向量共线与两直线平行与重合的区别.‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ 化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法 ‎1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.‎ ‎2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.‎ 非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！‎ ‎3.转化与化归的原则 ‎（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；‎ ‎（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；‎ ‎（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.‎ ‎（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；‎ ‎（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.‎ ‎4.转化与化归的基本类型 ‎（1） 正与反、一般与特殊的转化；‎ ‎（2） 常量与变量的转化；‎ ‎（3） 数与形的转化；‎ ‎（4） 数学各分支之间的转化；‎ ‎（5） 相等与不相等之间的转化；‎ ‎（6） 实际问题与数学模型的转化.‎ ‎5．常见的转化方法 ‎（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；‎ ‎（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；‎ ‎（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；‎ ‎（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；‎ ‎（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；‎ ‎（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；‎ ‎（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；‎ ‎（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；‎ ‎（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；‎ ‎（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.‎ 立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.‎ ‎【典例】三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 不妨设，, ，则由，得出 ‎，，，.于是向量，，所以 ‎，‎ 令，，则.‎ 因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.‎ 又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.‎ ‎ ‎