【数学】2018届一轮复习人教A版空间几何体的表面积与体积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版空间几何体的表面积与体积学案

‎　‎ ‎1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式．‎ ‎2．了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式．‎ 知识点一　空间几何体的表面积 ‎ ‎1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝______‎ S圆锥侧＝______‎ S圆台侧＝‎ π(r＋r′)l ‎2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．‎ 答案 ‎1．2πrl　πrl ‎1．(2016·新课标全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C.‎ 答案：C ‎2．(必修②P‎36A组第10题改编)一直角三角形的三边长分别为‎6 cm，‎8 cm, ‎10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．‎ 解析：旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S＝π××6＋π××8＝π(cm2)．‎ 答案：π(cm2)‎ 知识点二　空间几何体的体积 ‎ ‎1．柱体：V＝________；‎ ‎2．棱锥：V＝________；‎ ‎3．棱台：V＝h(S上＋S下＋)；‎ ‎4．球：V＝πR3.‎ 答案 ‎1．Sh　2.Sh ‎3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A．12π　 　　B.π　 　　C．8π　 　　D．4π 解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.‎ 答案：A ‎4．(必修②P28习题‎1.3A组第3题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．‎ 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc, 所以V1V2＝147.‎ 答案：147‎ ‎5．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．‎ 解析：∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.‎ ‎∵底面ABC为正三角形且边长为2，‎ ‎∴底面面积为×22×sin60°＝，‎ ‎∴VP－ABC＝××3＝.‎ 答案： 热点一　　空间几何体的表面积 ‎ ‎【例1】　(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π B．18π C．20π D．28π ‎(2)(2017·黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A. B. C．13 D. ‎【解析】　(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故×πr3＝π，所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.‎ ‎(2)由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝，A′B′＝2.∴棱台的上底面积为×1×1＝，下底面积为×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为 ‎×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为×(1＋2)×2＝3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，∴AE＝＝，∴梯形ABB′A′的面积为×(＋2)×＝，∴几何体的表面积S＝＋2＋3＋3＋＝13，故选C.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C ‎【总结反思】‎ ‎(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.‎ 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．54　　　　B．‎60　‎　　　C．66　　　　D．72‎ 解析：‎ 根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC－DEF，故其表面积为S＝S△DEF＋S△ABC＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＋S矩形ACFD＝×3×5＋×3×4＋×(5＋2)×4＋×(5＋2)×5＋3×5＝60.故选B.‎ 答案：B 热点二 空间几何体的体积 ‎ ‎【例2】　如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱A‎1A，CC1的中点，则四棱锥C1－B1EDF的体积为________．‎ ‎【解析】　‎ ‎(1)法1：连接A‎1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A‎1C1，且A‎1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF，∴A‎1C1∥平面B1EDF.‎ ‎∴C1到平面B1EDF的距离就是A‎1C1到平面B1EDF的距离．‎ ‎∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，且平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，‎ ‎∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高，‎ ‎∵△B1O1H∽△B1DD1，‎ ‎∴O1H＝＝a.‎ ‎∴VC1－B1EDF＝S四边形B1EDF·O1H ‎＝··EF·B1D·O1H ‎＝··a·a·a＝a3.‎ 法2：连接EF，B1D.‎ 设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a.‎ 由题意得，VC1－B1EDF＝VB1－C1EF＋VD－C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝a3.‎ ‎【答案】　a3‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．‎ ‎(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：‎ ‎(1)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝，所以＝＝.‎ ‎(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，则△BHC中BC边的高h＝.∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.‎ 答案：(1)D　(2)A 热点三 与球有关的切、接问题 ‎ 考向1　球的内接问题 ‎【例3】　已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】‎ ‎　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．‎ 在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝×AB2＝，高OD＝＝，‎ ‎∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2××× ‎＝.‎ ‎【答案】　A 考向2　球的外切问题 ‎【例4】　若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.‎ ‎【解析】　设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎【总结反思】‎ 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.‎ ‎(1)(2017·张掖模拟)如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2，则V1V2＝(　　)‎ A．12 B．8 C．6 D．4 ‎(2)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)‎ A.π B. C. D.π 解析：‎ ‎(1)三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是2，该几何体的外接球的体积 V1＝π()3＝π，‎ V2＝2×＝π，‎ 所以V1V2＝π＝4.‎ ‎(2)平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以内切圆的半径r＝，所以S＝πr2＝π×＝π.‎ 答案：(1)D　(2)C ‎1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．‎ ‎2．要注意将空间问题转化为平面问题．‎ ‎3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．‎ 如何巧妙确定各类外接球的球心 简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐．有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置．为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心．‎ 一、由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：‎ ‎1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；‎ ‎2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；‎ ‎3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；‎ ‎4．正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；‎ ‎5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．‎ ‎【例1】　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)‎ A．16π B．20π C．24π D．32π ‎【解析】　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为＝2，半径为，球的表面积为24π，故选C.‎ ‎【答案】　C 解题策略：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的．‎ 二、构造长方体或正方体确定球心 ‎1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；‎ ‎2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；‎ ‎3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；‎ ‎4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．‎ ‎【例2】　若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是________．‎ ‎【解析】　三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则可将三棱锥补形成正方体，从而外接球的直径为3，半径为，故所求外接球的体积V＝×()3＝.‎ ‎【答案】　 解题策略：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径．设其外接球的半径为R，则2R＝.‎ 三、由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．‎ ‎【例3】　正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为________．‎ ‎【解析】　如图，设三棱锥A－BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝，又OA＝OD＝r，所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝，所以球O的表面积S＝4πr2＝.‎ ‎【答案】　 解题策略：本题是运用公式R2＝r2＋d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们深思．‎