【数学】2020届一轮复习北师大版立体几何中的最值问题课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版立体几何中的最值问题课时作业

‎1.【2018北京市首师附高三理零模】在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2.【2018年江西省抚州市高三八校联考】如图，在长方体中，,,，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界).若平面，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 取中点，在上取点，使得，连结，‎ 则平面平面，‎ 因为是侧面内的一动点（含边界），平面，‎ 所以，‎ ‎3.如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－QEF的体积 (　　)‎ A. 是变量且有最大值 B. 是变量且有最小值 C.是变量且有最大值和最小值 D. 是常量 ‎【答案】D ‎【解析】因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，‎ ‎∴△QEF的面积为定值，设为S．‎ 又D1C1∥AB，D1C1平面QEF ，AB ⊂平面QEF，‎ ‎∴D1C1∥平面QEF，‎ ‎∴点P到平面QEF的距离也为定值，设为d．‎ ‎∴四面体P－QEF的体积为定值．选D．%%‎ ‎4. 【2017届甘肃省肃南裕固族自治县第一中高三上期期末】若一条直线与一个平面成角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当这个平面内经过斜足的直线与这条直线在这个平面内射影垂直时, 直线与这条直线垂直,所成角为直角,而两直线所成角范围为,所以直线与这条直线所成角最大值为,所以选B..‎ ‎5.【2017届云南省师范大附属中高三高考适应性月考】三棱锥内接于半径为的球中,,则三棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6.【2017年安徽省黄山市高二上期期末质量检测】在棱长为6的正方体中,是中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是（ ）‎ A. 36 B. C. 24 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因平面,则,同理平面,则,,则,,则,下面研究点在面的轨迹（立体几何平面化）,在平面直角坐标系内设,设,因为,所以,化简得：,该圆与的交点纵坐标最大,交点为,三棱锥的底面的面积为18,要使三棱锥体积最大,只需高最大,当在上切 时,棱锥的高最大,,.,本题应选.‎ ‎7.【2017湖北省武汉市第二中上期期末】如图,在四棱锥中,侧面是边长为4的正三角形,底面为正方形,侧面⊥底面,为底面内的一个动点,且满足,则点到直线的最短距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8．【2017届浙江省温州市高三第二次模拟考试】如图,在三棱锥中,平面平面,与均为等腰直角三角形,且,．点是线段上的动点,若线段上存在点,使得异面直线与成的角,则线段长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎9．【2016浙江省杭州二中】已知各棱长均为1的四面体ABCD中, E是AD的中点,P∈直线CE,则|BP|＋|DP|的最小值为（ ）‎ A．1＋ B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,将旋转至与共面,连结,则它与的交点,即为使|BP|＋|DP|取最小值的点．‎ 易知 ,‎ 在中由余弦定理得 ,‎ 从而由平方关系得,‎ 在中由余弦定理得 ‎,‎ 所以． %&‎ ‎10．【2016辽宁师大附中】在长方体中,,,点为的中点,点为对角线上的动点,点为底面上的动点（点、可以重合）,则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎11.已知四棱锥的三视图如图所示,则四棱锥的四个侧面中面积最大的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】 C ‎【解析】三棱锥如图所示,, ,‎ ‎ , ‎12.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为(　　)‎ A．(6－3)π B．(8－4)π C．(6＋3)π D．(8＋4)π ‎【答案】A ‎13.【河北省石家庄市2018届高三下期一模】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】[Failed to download image :如图，不妨设在处， ， 则有 由 该直角三角形斜边 ‎ 故答案为. %%‎ ‎14.【2017届湖南省衡阳市高三上期期末考试】表面积为的球面上有四点,且是边长为的等边三角形,若平面平面,则三棱锥体积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎15．【2016届辽宁省沈阳市二中高三上期期中】如图,在棱柱的侧棱上各有一个动点,且满足,是棱上的动点,则的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16．【2016届广东省广州市荔湾区高三上期调研】已知直三棱柱中,,侧面的面积为,则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,设,则有,从而有其外接球的半径为,所以其比表面积的最小值为．‎ ‎17．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为的球面上有四点且是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为,若,则棱锥 体积的最大值为 ．‎ ‎【答案】27‎ ‎18.如图,过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC,(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1,∵PA⊥PB,‎ ‎∴AB是⊙O1的直径,连PO1并延长交⊙O1于D,则PADB是矩形,PD2＝PA2+PB2.‎ 设O为球心,则OO1⊥平面⊙O1,&&‎ ‎∵PC⊥⊙O1平面,‎ ‎∴OO1∥PC,因此过PC、PD的平面经过球心O,截球得大圆,又PC⊥PD.‎ ‎∴CD是球的直径.‎ 故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.‎ ‎(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z,则三棱锥P—ABC的体积V＝xyz,‎ V2＝x2y2z2≤()3＝·＝R6.‎ ‎∴V≤R3.即 V最大＝R3.‎ ‎19.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,AB＝2,BD＝,沿BD将△BCD折起,使二面角A－BD－C是大小为锐角α的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.‎ ‎(1)当α为何值时,三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？‎ ‎(2)当AD⊥BC时,求α的大小．‎ ‎20. 如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB＝2,EB＝.‎ ‎(1)求证：DE⊥平面ACD；‎ ‎(2)设AC＝x,V(x)表示三棱锥B－ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值．‎