【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第10讲函数的图像学案

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第10讲函数的图像学案

第10讲　函数的图像 ‎1.描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:‎ 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).‎ 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).‎ 最后:描点,连线.‎ ‎2.图像变换 变换 类型 变换前 变换方法 变换后 平移 变换 y=f(x)‎ 的图像 a>0,右移a个单位;a<0,左移|a|个单位 y=　　　　的图像 ‎ b>0,上移b个单位;b<0,下移|b|个单位 y=　　　　的图像 ‎ ‎(续表)‎ 变换 类型 变换前 变换方法 变换后 对称 变换 y=f(x)‎ 的图像 关于x轴对称 y=　　　　的图像 ‎ 关于y轴对称 y=　　　　的图像 ‎ 关于原点对称 y=　　　　的图像 ‎ y=ax(a>0‎ 且a≠1)‎ 的图像 关于直线y=x对称 y=　　　　　　 ‎ 的图像 伸缩 变换 y=f(x)‎ 的图像 a>1,横坐标缩短为原来的‎1‎a,纵坐标不变;‎ ‎01,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变;‎ ‎01,‎若互不相等的实数p,q,r满足f(p)=f(q)=f(r),则2p+2q+2r的取值范围是 (　　)‎ A.(8,16) B.(9,17)‎ C.(9,16) D.‎‎17‎‎2‎‎,‎‎35‎‎2‎ ‎(2)[2018·厦门质检] 已知函数f(x)=‎|log‎2‎x|,00且a≠1)　f(ax)　af(x)　y=|f(x)|　y=f(|x|)‎ 对点演练 ‎1.y=0　[解析] y=log‎1‎ax=-logax,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.‎ ‎2.x=0　[解析] y=‎1‎ax=a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.‎ ‎3.y=x　[解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.‎ ‎4.③　[解析] 将y=‎|1-x‎2‎|‎两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.‎ ‎5.y=(2x+3)2　[解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.‎ ‎6.y=ln‎1‎‎2‎x　[解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln‎1‎‎2‎x.‎ ‎7.-log2(x-1)　[解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.‎ ‎8.　[解析] y=‎1,00,解得-20,‎ 得-11,‎ 故排除选项A,D.‎ f(2)=ln‎2-‎‎1‎‎2‎=ln‎3‎‎2‎>0,故排除选项C.‎ 故选B.‎ ‎3.C　[解析] 函数f(x)=log‎2‎(‎2‎x-1),x>0,‎log‎2‎(1-‎2‎x),x<0,‎所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B.又易知x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.‎ ‎4.D　[解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.‎ 例5　[思路点拨] 由图像逐一判断即可.‎ D　[解析] 从图像可以看出函数图像关于y轴对称,函数为偶函数,所以A错;当x=0时,y>0,所以B错;当x>0时,函数图像与x轴有两个交点,而对于C,y=ex-x>0恒成立,所以C错;对于D,y=2x-x2=0有两个解,所以满足题意.所以选D.‎ 例6　[思路点拨] 先求出当x≥0时不等式f(x)≤‎1‎‎2‎的解集,然后利用函数为偶函数求出整个定义域上不等式f(x)≤‎1‎‎2‎的解集,最后再求出不等式f(x-1)≤‎1‎‎2‎的解集.‎ A　[解析] 当x∈‎0,‎‎1‎‎2‎时,由f(x)=cos πx=‎1‎‎2‎,得πx=π‎3‎,解得x=‎1‎‎3‎;‎ 当x∈‎1‎‎2‎‎,+∞‎时,由f(x)=2x-1=‎1‎‎2‎,解得x=‎3‎‎4‎.‎ 画出当x≥0时函数f(x)的图像如图所示,‎ 结合图像可得,当x≥0时,不等式f(x)≤‎1‎‎2‎的解集为x‎1‎‎3‎≤x≤‎3‎‎4‎.‎ 因为函数f(x)为偶函数,‎ 所以当x<0时,不等式f(x)≤‎1‎‎2‎的解集为x-‎3‎‎4‎≤x≤-‎1‎‎3‎,‎ 所以不等式f(x)≤‎1‎‎2‎的解集为x-‎3‎‎4‎≤x≤-‎1‎‎3‎或‎1‎‎3‎≤x≤‎3‎‎4‎.‎ 由-‎3‎‎4‎≤x-1≤-‎1‎‎3‎或‎1‎‎3‎≤x-1≤‎3‎‎4‎,‎ 解得‎1‎‎4‎≤x≤‎2‎‎3‎或‎4‎‎3‎≤x≤‎7‎‎4‎,‎ 故不等式f(x-1)≤‎1‎‎2‎的解集为‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎∪‎4‎‎3‎‎,‎‎7‎‎4‎.‎ 故选A.‎ 例7　[思路点拨] 将方程f(x)=g(x)的解的个数问题转化为函数f(x)与函数g(x)图像的交点个数问题.‎ A　[解析] 先求函数g(x)的解析式.‎ 当x>0时,-x<0,‎ ‎∴f(-x)=2x2-4x+1,故g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1;‎ 当x<0时,-x>0,‎ ‎∴f(-x)=‎2‎e‎-x=2ex,故g(x)=-f(-x)=-2ex. ‎ 又g(0)=-f(0)=-2,‎ ‎∴g(x)=-f(-x)=‎‎-2x‎2‎+4x-1,x>0,‎‎-2ex,x≤0.‎ 在同一坐标系内画出函数f(x),g(x)的图像,实线为f(x)的图像,虚线为g(x)的图像,可得两函数的图像有4个交点,故方程f(x)=g(x)的根的个数为4.故选A.‎ 例8　[思路点拨] (1)作出函数图像,可以得出2p+2q=1,从而再得出r的范围即可;(2)分别作出y=f(x)和y=fx+‎‎1‎‎2‎的图像,找到两函数图像交点的横坐标即可.‎ ‎(1)B　(2)D　[解析] (1)不妨设p‎5‎‎2‎,即m∈(-∞,2)∪(5,+∞).又f(x)=ex-mx在(3,+∞)上单调递增,故f'(x)=ex-m≥0在(3,+∞)上恒成立,∴m≤e3.综上,m∈(-∞,2)∪(5,e3],故选B.‎ ‎3.B　[解析] 作出函数f(x)与g(x)的图像(图略),由图像可知,f(x)与g(x)的图像有2个交点,故方程f(x)=g(x)有2个解,故选B.‎ ‎4.‎0,‎‎5‎‎2‎　[解析] 设g(x)=5-mx,则函数g(x)的图像是过点(0,5)的直线.‎ 在同一坐标系内画出函数f(x)和g(x)的图像,如图所示.‎ ‎∵不等式f(x)≤5-mx恒成立,‎ ‎∴函数f(x)的图像上的任意一点不在函数g(x)的图像的上方.‎ 结合图像可得:‎ ‎①当m<0时,不成立;‎ ‎②当m=0时,成立;‎ ‎③当m>0时,需满足g(2)=5-2m≥0,解得00.故选B.‎ 例2　[配合例4使用] 将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位得到曲线C1,而且曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,则g(x)的解析式为 (　　)‎ A.g(x)=e2-x B.g(x)=ex-2‎ C.g(x)=ex D.g(x)=e-x ‎[解析] C　将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位,得到函数y=e1-(x+1)=e-x的图像,即曲线C1:y=e-x.∵曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,∴g(x)=ex,故选C.‎ 例3　[配合例6使用] 已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,若g(x)=f(x-4)是奇函数,且g(4)=0,则不等式f(x)≤0的解集是 (　　)‎ A.(-∞,-8]∪(-4,0] ‎ B.[-8,-4)∪[0,+∞)‎ C.[-8,-4]∪[0,+∞) ‎ D.[-8,0]‎ ‎[解析] C　∵g(x)=f(x-4)是奇函数,‎ ‎∴函数g(x)=f(x-4)的图像的对称中心为(0,0),‎ ‎∴函数f(x)的图像的对称中心为(-4,0).‎ 又函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,‎ ‎∴函数f(x)在(-4,+∞)上为减函数,且f(-4)=g(0)=0.‎ ‎∵g(4)=f(0)=0,‎ ‎∴f(-8)=0.‎ 画出函数f(x)图像的草图(如图),‎ 结合图像可得,f(x)≤0的解集是[-8,-4]∪[0,+∞).故选C.‎ 例4　[配合例7使用] 已知函数f(x)=log‎1‎‎2‎(1-x),x<1,‎‎3‎x‎-1‎‎,x≥1,‎若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 (　　)‎ A.(0,1)‎ B.(0,2)‎ C.(0,2] ‎ D.(0,+∞)‎ ‎[解析] A　由f(x)-a=0得a=f(x).‎ 画出函数y=f(x)的图像如图所示,且当x≥3时,函数y=f(x)的图像以直线y=1为渐近线.‎ 结合图像可得,当0

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