【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的数量积 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的数量积 学案

平面向量的数量积 ‎【考点梳理】‎ ‎1．平面向量的数量积 ‎(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ ‎2．平面向量数量积的运算律 ‎(1)交换律：a·b＝b·a；‎ ‎(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；‎ ‎(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2‎ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤· ‎【考点突破】‎ 考点一、平面向量数量积的运算 ‎【例1】(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－　　　 B．　　　 C．　　 　D． ‎(2)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则· 的最大值为________.‎ ‎[答案] (1)B　(2) 6‎ ‎[解析] (1)如图所示，＝＋.‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，‎ 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，‎ 所以＝＋.‎ 又＝－，‎ 则·＝·(－)‎ ‎＝·－2＋2－· ‎＝2－2－·.‎ 又||＝||＝1，∠BAC＝60°，‎ 故·＝－－×1×1×＝.故选B.‎ ‎(2)设P(cos α，sin α)，‎ ‎∴＝(cos α＋2，sin α)，‎ ‎∴·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，‎ 当且仅当cos α＝1时取等号.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.‎ ‎2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝(　　)‎ A．－　　 B． C．－　 　 D． ‎[答案] A ‎[解析] 由等边三角形的性质得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故选A.‎ ‎2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ ‎[答案] 1　1‎ ‎[解析] 法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0，1]，则＝(t，－1)， ‎＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ 因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1，‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，‎ 所以(·)max＝||·1＝1.‎ 考点二、平面向量的夹角与垂直 ‎【例2】(1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.‎ ‎(2)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－7 B．－3 C．2 D．3‎ ‎(3)若向量a＝( ，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则 的取值范围是________.‎ ‎[答案] (1)2　(2)D　(3)∪ ‎[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.‎ ‎(2)依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.‎ ‎(3)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，‎ 即(2 －3，－6)·(2，1)<0，解得 ＜3.‎ 又若(2a－3b)∥c，则2 －3＝－12，即 ＝－.‎ 当 ＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，‎ 即2a－3b与c反向.‎ 综上， 的取值范围为∪.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.‎ ‎2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6‎ C．6 D．8‎ ‎[答案] D ‎[解析] 法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．‎ 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.‎ 法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.‎ ‎2．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎[答案] －2‎ ‎[解析] ∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，‎ ‎∴a·b＝0.‎ 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.‎ ‎3．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(‎2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A． B． C． D． ‎[答案] C ‎[解析] ∵a⊥(‎2a＋b)，∴a·(‎2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.‎ ‎∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.‎ ‎4．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30°　　　 B．45°‎ C．60°　　　 D．120°‎ ‎[答案] A ‎[解析] 因为＝，＝，所以·＝＋＝.‎ 又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.‎ 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.‎ 考点三、平面向量的模及其应用 ‎【例3】(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ ‎(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.‎ ‎[答案] (1) 2　(2) 5‎ ‎[解析] (1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22‎ ‎＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.‎ ‎(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x(0≤x≤a)，∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5，3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，当x＝时取等号.∴|＋3|的最小值为5.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.‎ ‎2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝(　　)‎ A． B． C．57 D．61‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意可得a·b＝|a|·|b|cos＝3，‎ 所以|2a－3b|＝＝＝＝，故选B.‎ ‎2．已知正△ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________.‎ ‎[答案] ‎[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，‎ 则B(－，0)，C(，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.‎ 设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－，y＝2y0，‎ 代入圆的方程得＋＝，‎ 所以点M的轨迹方程为＋＝，‎ 它表示以为圆心，以为半径的圆，‎ 所以||max＝＋＝，所以||＝.‎