人教A版选修1-11-1-2四种命题间的相互关系（含答案）

人教A版选修1-11-1-2四种命题间的相互关系（含答案）

§1．1.2 四种命题间的相互关系 【学情分析】： 四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互 间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难 则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据． 【教学目标】： （1）知识目标： 理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题 真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。 （2）过程与方法目标： 让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表 述数学问题的数学意识。 （3）情感与能力目标： 通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。 【教学重点】： 四种命题之间的关系； 【教学难点】： 利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。 【教学过程设计】 教学环节 教学活动 设计意图 一．问题 情境 问题 1：写出命题 若 f(x)是正弦函数,则 f(x)是周期函数; 的逆命题、否命题与逆否命题。 问题 2：这四个命题中任意两个命题的关系？ 问题 3：这四个命题的真假性是否也有一定的关系？ 巩固由原命题写出其他三种形 式且引导学生探究四种命题相 互了解间的内在的联系。 二、知识 建构 1、 四种题的形式和关系如下图： 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 ┐p则 ┐q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 ┐q则 ┐p 互 为 逆 否 互 逆 否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 由师生合作完成四种题的形式 和关系图，培养学生分析和概 括的能力。 三、学生 探究 设原命题是“若 0232  xx ，则 2x ”， 写出它的逆命题、否定命与逆否命题，并分别判断它 们的真假． 问题 4：分析其它一些命题， 四个命题的真假性间有什么规律？ 由学生的分组讨论探索四种命 题 真假性间的规律。 四、知识 建构 结论：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (2)两个命题为互逆或互否命题,它们的真假性没有 关系. 在命题真假性的判断中,要借 助原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题同真同假, 学 会利用互为逆否命题的等价 性,通过“正难则反”培养自己 的逆向思维能力． 五．体验与 运用 例 1:设原命题是“当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc”，写 出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们 的真假 解： 逆命题“当 时，若 ，则 ”． 否命题“当 时，若 ，则 ”．否 命题为真． 逆否命题“当 时，若 ，则 ”．逆 否命题为真． 课堂练习 写出命题：“若 xy = 6 则 x = 3 且 y = 2”的逆命题否 命题逆否命题，并判断它们的真假 例 2：证明：若 022  yx ，则 0 yx 。 练习： 已知 a,b 两直线是异面直线,且点 A 与 B,C 与 D 分别是直线 a,b 上的相异点求证:直线 AC 与 BD 必异面 通过“正难则反”培养自己的 逆向思维能力．这也是反证明 法证明问题的理论依据 六、小结与 反思 课堂小结 1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的 关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不 变． 2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否 命题同真同假,逆命题与否命题同真同假, 学会利用 互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己 的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依 据． 通过学生自己的小结，将新知 识系统化、重点化。通过学生 的反思，使学生意识重点和难 点，提高学习效率。 课后练习 1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（ ） A．真命题， B． 假命题， C．不一定是真命题， D．不一定是假命题。 2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ） A．真命题的个数一定是奇数 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D．上述判断都不正确 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) A．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题： ①“若 1,xy  则 ,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题 ③“若 0b  ，则关于若 x 的方程若 2 22 0x bx b b    有实根”的逆否命题 ④“ A B B ，则 A B ”的逆否命题 其中，真命题的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D．3 5．用反证法证明命题“a、b∈N*，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”，那么假设内容 是（ ） A．a、b 都能被 5 整除 B．a、b 都不能被 5 整除 C．a 不能被 5 整除 D．a、b 有一个不能被 5 整除 6．下列 4 个命题是真命题的是（ ） ①“若 022  yx 则 x 、 y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若 BA  A 则 BA  ”的逆否命题 ④“末位数字不是零的数可被 3 整除”的逆否命题 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 7、命题“若 a＞b,则 ac2＞bc2(a、b∈R)”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 8．“在整数范围内， a ，b 是偶数，则 ba  是偶数”的逆否命题是 。 9．用反证法证明命题“5 个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设 成： ．反设若用式子表示，则为： ． 10． 判断下列命题“若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与 轴有公共 点”．的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假． 11．反证法证明：若 ，则 、 、 中至少有一个不等于 0． 12．若 a，b，c 均为实数，且 a=x2-2y+ 2  ，b=y2-2z+ 3  ，c=z-2x+ 6  ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0． 参考答案： 1． C 2．B 3．D 4．C 5．B 6． C 7，B 8．在整数范围内，若 ba  不是偶数则 ba , 不都是偶数。 9.“假设 5 个连续自然数的平方和是一个完全平方数”．用式子表示，则为“假设 是一个完全平方数（ ） 10.该命题为假． 逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则 ．为假． 否命题：若二次函数 中， ，则该二次函数图象与 轴没有公共点．为 假． 逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则 ．为假． 11．证明：假设 、 、 都等于 0，则 与 矛盾，所以 、 、 中至少有一个不等于 0． 常见错误及分析：往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、 中最多 有一个不等于零，或错认为是 、 、 中最多有一个等于零 12、假设 a、b、c 都不大于 0， 即：a≤0，b≤0，c≤0，则 a+b+c≤0 但 a+b+c=（x2-2y+ 2  ）+（y2-2z+ 3  ）+（z2-2x+ 6  ） =（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+（π-3） ∵π＞3，且 （x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≥0． 对一切 x，y，z∈R 恒成立． ∴必有 a+b+c＞0，这与假设 a+b+c≤0 矛盾． ∴a，b，c 中至少有一个大于 0．