【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第2章第4讲函数的奇偶性与周期性作业
对应学生用书[练案7理][练案7文]
第四讲 函数的奇偶性与周期性
A组基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( D )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
[解析] 选项A是奇函数，B、C都是偶函数，故选D．
2．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( C )
A．函数f(g(x))是奇函数
B．函数g(f(x))是奇函数
C．函数f(x)·g(x)是奇函数
D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
[解析] 对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数，故选C．
3．(2019·西藏山南二高一模)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( D )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
[解析] A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D．
4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是( B )
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
[解析] ∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
5．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( B )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
[解析] 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
6．(2019·山东普通高校招生春季考试)奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则( A )
A．f(2)>0>f(4)
B．f(2)<0
f(4)>0
D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．故选A．
7．(2020·山东师大附中模拟)函数f(x)在R上是偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是( D )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
[解析] 因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数，又f(x)在R上是偶函数，且在 [－1,0]上单调递减，所以f(x)在[0,1]单调递增．所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数，故选D．
8．(2019·广东佛山一模，7)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝( D )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 由f(x)＝2x＋为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝0，即(2x＋)＋(2－x＋)＝0，可得a＝－1；由g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b＝1，则ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－，故选D．
9．设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)等于( B )
A．10 B．
C．－10 D．－
[解析] 因为f(x＋3)＝－，所以f(x＋6)＝－＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数，所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝－＝－＝－＝.
10．(文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则使不等式f(2x－1)>f()成立的x的取值范围是( B )
A．[－，) B．(－，)
C．(，) D．[，)
(理)(2020·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( C )
A．(，＋∞) B．(－∞，)
C．(－∞，)∪(，＋∞) D．(0，)∪(，＋∞)
[解析] (文)因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)>f()，则－<2x－1<，解得－f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>或a<，故选C．
二、填空题
11．若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝1 .
[解析] 解法一：由已知得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以y＝f(x)关于x＝1对称．
解法二：将y＝f(x＋1)右移1个单位，得到y＝f(x)图象，关于x＝1对称．
12．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝7 .
[解析] 因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.
13．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f()＝0，则f(x)>0的解集为(－，0)∪(，＋∞).
[解析] 由已知可造构y＝f(x)的示意图象，
所以f(x)>0的解集为(－，0)∪(，＋∞)．
14．(文)(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝0 .
(理)(2018·课标全国Ⅲ，16)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝－2 .
[解析] (文)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.
(理)本题考查函数的奇偶性．
易知f(x)的定义域为R，
令g(x)＝ln(－x)，则g(x)＋g(－x)＝0，
∴g(x)为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝2，
又f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.
B组能力提升
1．(2020·陕西西安中学模拟)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为( B )
A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex
[解析] 因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B．
2．(2020·吉林长春月考)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.故选C．
3．(2019·黑龙江哈尔滨六中高三上10月月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)f(2－)>f(2－)
B．f(log3)>f(2－)>f(2－)
C．f(2－)>f(2－)>f(log3)
D．f(2－)>f(2－)>f(log3)
[解析] ∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(log3)＝f(－log34)＝f(log34)．
∵log34>log33＝1，且1>2－>2－>0，
∴log34>2－>2－>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(2－)>f(2－)>f(log34)＝f(log3)．故选C．
5．(文)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则实数a＝( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(理)(2019·河北省“五个一名校联盟”高三第二次考试)已知奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝lg ，且f(2 018－a)＝1，则实数a的值可以是( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] (文)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即xln(x＋)＝－xln(－x＋)，所以x＋＝，得a＝1.故选C．
(理)∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(2－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)为周期函数，周期为4.当x∈(－1,1)时，令f(x)＝lg ＝1，得x＝，又f(2 018－a)＝f(2－a)＝f(a)，∴a可以是
，故选A．
