福建省厦门市湖滨中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

福建省厦门市湖滨中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

厦门市湖滨中学2019---2020学年第一学期期中考 高三理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.复数（为虚数单位）的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎3.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎ 4.已知向量，，，则与的夹角为 A. B. C. D.‎ ‎5．在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.则 A． B． C． D．‎ ‎6.设曲线和曲线在它们的公共点M（1，2）处有相同的切线，的值为 A．0 B．‎2 C．﹣2 D．4‎ ‎7．下列说法正确的是　　‎ A．向量的夹角为钝角，则． ‎ B．“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件． ‎ C．命题“，使得”的否定是：“，”． ‎ D．命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题．‎ ‎8．函数的图像大致是 ‎ ‎9.某班举行主题团日活动，从含甲、乙、丙的共7名同学中选派4名同学参加主题发言，要求甲、乙、丙3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的发言次序不能相邻，那么选派的4名同学的所有不同发言顺序的种数是 A. 720 B. ‎768 C. 810 D. 816‎ ‎10.已知点P为椭圆 上的一点，点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|·|BM|的值为 A.4 B‎.4 ‎‎ C. D. ‎ ‎11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A．的图象关于直线对称 ‎ B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ‎12.已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．展开式中的常数项为 ．‎ ‎14．在矩形中，，，点在边上．若，则______．‎ ‎15.设函数在处取得极值，则的值为_________‎ ‎16.已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，其中为坐标原点，则=__________． ‎A B C D 三、解答题：应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，且,‎ 为边上的中线，‎ ‎（1）若AB=3,AC=2,求AD；（2）若，，求的面积．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标题目中随机抽取3个题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．‎ ‎（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；‎ ‎（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图,四棱锥中，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，在线段上，且的周长等于8‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）设是的极值点，求的值；‎ ‎（2）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明：‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知在平面直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的方程为 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ‎ ‎（1）求直线 和曲线C1的极坐标系方程； ‎ ‎（2）曲线C2： 分别交直线 和曲线C1交于A、B，求 的最大值. ‎ ‎ ‎ 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:DCC BA 6-10: DB， 8B 9B ‎10 A 11、D‎12 A：‎ 二、填空题 ‎13. -40 14. 15. 2 16.‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分12分）‎ 得．‎ AD=‎ II）在中，，得．……7分 则．……8分 由正弦定理得．……9分 设，，在中，由余弦定理得：‎ ‎，则 ‎，解得，‎ 即，……11分 故．……12分 ‎18解：（1）由题意可知，所求概率．‎ ‎（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.‎ ‎，，．‎ 则X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴．‎ 设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，‎ 则Y的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴．（或∵，∴）．（）‎ 由E（X）=D（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．‎ ‎19．如图,四棱锥中，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 解】（1）证明：因四边形为直角梯形，‎ 且, ,,‎ 所以， ‎ 又因为。根据余弦定理得 ‎ 所以，故. ‎ 又因为, ,且,平面，所以平面， ‎ 又因平面PBC，所以 ‎（2）由（1）得平面平面, ‎ 设为的中点，连结 ，因为,‎ 所以,,又平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面.‎ 如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，， ‎ 假设存在满足要求，设，即，‎ 所以 易得平面的一个法向量为. ‎ 设为平面的一个法向量，， ‎ 由得，不妨取.‎ 因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，‎ 解得，（不合题意舍去）.‎ 故存在点满足条件，且.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1），，‎ ‎∴所求的椭圆方程为. ……………………………………………4分 ‎（2）由（1）知，，. 由题意可设，，‎ ‎∵，∴.‎ 由整理得：. ……6分 ‎∵，∴，，‎ 所以， ………………………………………………………9分 ‎∴，‎ 即为定值. …………………………………………………………………12分 ‎21.解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．‎ 经检验m=1 符合题意 ……………2分 ‎（Ⅱ）由（ Ι）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）．‎ ‎∵ ………………………………………………4分 ‎ 设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，‎ ‎ 又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．‎ ‎ 所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；因此，的最小值为 ‎∵0在定义域内恒成立,即 ……………………………………………………………7分 ‎（Ⅲ）证明：要证 ， .‎ 设, 即证 当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，.‎ 当m=2时，函数在（－2，+∞）上为增函数，且．‎ 故在（－2，+∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）．‎ 当时，，当时，,‎ 从而当时，取得最小值． …………………………………………………10分 由，得，故．‎ 综上，当m≤2时， 即＞m． ………………………………………12分 ‎22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知在平面直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的方程为 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ‎ ‎(Ⅰ)求直线 和曲线C1的极坐标系方程； ‎ ‎(Ⅱ)曲线C2： 分别交直线 和曲线C1交于A、B，求 的最大值. ‎ ‎ 22.【答案】（1）解：∵ ,∴直线 的普通方程为: , ‎ 直线 的极坐标方程为 . ‎ 曲线C1的普通方程为 , ‎ ‎∵ ∴C1的参数方程为: …......4分 ‎ （2）解：直线 的极坐标方程为 ，令 ，则 所以   ,又   ‎ ‎∴   ‎ ‎∵ ，∴ ， ‎ ‎∴ 时，即 时， 取得最大值 …......10分