2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

第 1 课时　两角差的余弦公式 必备知识 · 自主学习 导思 1. 两角差的余弦公式是怎样推导出来的？ 2. 利用两角差的余弦公式能解决哪些问题？ 两角差的余弦公式 (1) 公式： cos(α-β)=__________________________.  ① 简记符号： C (α-β) . ② 适用条件：公式中的角 α ， β 都是 _______. (2) 本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算 . (3) 应用：①化简，②求值 . cos αcos β+sin αsin β 任意角 【 思考 】 公式的结构特征是怎样的？ 　 提示： 差角的余弦简记：余余正正，符号反 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)cos(80°-30°)=cos 80°-cos 30°. ( 　　 ) (2) 对于任意 α ， β ， cos(α-β)=cos α-cos β 都不成立 . ( 　　 ) (3) 对任意 α ， β∈R ， cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 都成立 . ( 　　 ) (4)cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=1. ( 　　 ) 提示： (1) × .cos(80 ° -30 ° )=cos 50 ° ≠cos 80 ° -cos 30 ° . (2) × . 当 α =-45 ° ， β =45 ° 时， cos( α - β )=cos(-45 ° -45 ° )=cos(-90 ° )=0 ， cos α -cos β = cos(-45 ° )-cos 45 ° =0 ，此时 cos( α - β )=cos α -cos β . (3)√. 结论为两角差的余弦公式 . (4) × .cos 30 ° cos 60 ° +sin 30 ° sin 60 ° =cos(60 ° -30 ° )=cos 30 ° = . 2.cos 20°= ( 　　 ) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10° 【 解析 】 选 B.cos 20 ° =cos(30 ° -10 ° )=cos 30 ° cos 10 ° + sin 30 ° sin 10 ° . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 已知 ， sin β = ，则 cos =_______.  【 解析 】 因为 ， sin β = ，所以 cos β = ，所以 cos =cos β cos +sin β sin = 答案： 关键能力 · 合作学习 类型一　给角求值问题 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.cos 165° 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 2.cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25° 的结果是 ( 　　 ) A.1 B. 3. 化简 cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α=_______.  【 解析 】 1. 选 D.cos 165 ° =cos(180 ° -15 ° ) =-cos 15 ° =-cos(45 ° -30 ° ) =-cos 45 ° cos 30 ° -sin 45 ° sin 30 ° =- 2. 选 B. 原式 =cos 70 ° cos(360 ° -25 ° )+sin(180 ° -70 ° )sin 25 ° =cos 70 ° cos 25 ° +sin 70 ° sin 25 ° =cos(70 ° -25 ° )=cos 45 ° = . 3.cos( α +45 ° )cos α +sin( α +45 ° )sin α =cos( α +45 ° - α )= . 答案： 【 解题策略 】 　利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1) 把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解 . (2) 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值 . 【 补偿训练 】 求下列各式的值： (1)cos 105° ； (2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°. 【 解析 】 (1) 原式 =cos(150 ° -45 ° ) =cos 150 ° cos 45 ° +sin 150 ° sin 45 ° (2) 原式 =cos(46 ° -16 ° )=cos 30 ° = . 类型二　给值求值问题 ( 数学运算 ) 　角度 1 　“逆用”求值  【 典例 】 (2020· 泰安高一检测 ) 已知 sin ，则 cos α+ sin α 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B. C.2 D.-1 　 【 思路导引 】 对所求式逐步变形，直至可代入已知条件即可 . 【 解析 】 选 B.cos α + sin α =2 =2cos =2sin =2sin =2 × 　角度 2 　“拼凑角”求值  【 典例 】 (1) 已知 sin ， α∈ ，求 cos α 的值 . (2)α ， β 为锐角， cos(α+β)= ， cos(2α+β)= ，求 cos α 的值 . 　 【 思路导引 】 对已知条件和所求结论中的角进行分析，看已知条件中的角 如何“拼凑”成结论中的角 . 【 解析 】 (1) 因为 α ∈ ，所以 所以 所以 cos α =cos (2) 因为 α ， β 为锐角，所以 0< α + β < π . 又因为 cos( α + β )= >0 ， 所以 0< α + β < ， 又因为 cos(2 α + β )= ， 所以 0<2 α + β < ， 所以 sin( α + β )= ， sin(2 α + β )= ， 所以 cos α = =cos(2 α + β )·cos( α + β )+sin(2 α + β )·sin( α + β ) 　 【 变式探究 】 1. 将本例 (1) 的条件改为“ sin ，且 ”，如何解答？ 【 解析 】 因为 sin ，且 ， 所以 < α + < π ， 所以 cos 所以 cos α =cos 2. 将本例 (1) 的条件改为“ sin ， α∈ ” ，求 cos 的值 . 【 解析 】 因为 < α < ，所以 - 又因为 sin <0 ，所以 - - α <0 ， 所以 cos 所以 cos 【 解题策略 】 解决三角函数的求值问题的关键点 (1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2) 当“已知角”有一个时通常有两种思路： ①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； ②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式 . 【 题组训练 】 1. 已知 α 为锐角， β 为第三象限角，且 cos α= ， sin β=- ，则 cos(α- β) 的值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 α 为锐角，且 cos α = ，所以 sin α = . 因为 β 为第三象限角，且 sin β =- ，所以 cos β = ，所以 cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β = 2. 已知 cos ，则 cos α+sin α 的值为 _______.  【 解析 】 因为 cos 所以 cos α +sin α = 答案： 【 补偿训练 】 若 sin α -sin β = ， cos α -cos β = ，则 cos( α - β ) 的值 为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【 解析 】 选 A. 由 sin α -sin β = ， cos α -cos β = ，得 sin 2 α +sin 2 β - 2sin α sin β = ， ① cos 2 α +cos 2 β -2cos α cos β = ， ② ① + ② 得 2-2(sin α sin β +cos α cos β )=1. 所以 sin α sin β +cos α cos β = . 所以 cos( α - β )= . 类型三　给值求角问题 ( 数学运算 ) 【 典例 】 已知 0<α< ， - <β<0 ，且 α ， β 满足 sin α= ， cos β= ， 求 α-β. 　 【 解题策略 】 已知三角函数值求角的解题步骤 (1) 界定角的范围：根据条件确定所求角的范围； (2) 求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限； (3) 求角：结合三角函数值及角的范围求角 . 【 跟踪训练 】 已知 cos α= ， cos(α+β)=- ， α ， β∈ ，则 β=_______.  【 解析 】 因为 α ， β ∈ ，所以 α + β ∈(0 ， π ). 因为 cos α = ， cos( α + β )=- ， 所以 sin α = ， sin( α + β )= ， 所以 cos β =cos =cos( α + β )cos α +sin( α + β )·sin α = 因为 0< β < ，所以 β = . 答案： 课堂检测 · 素养达标 1. 计算 cos 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B. 【 解析 】 选 C. 2.( 教材二次开发：练习改编 ) 设 α∈ ，若 sin α= ，则 等于 ( ) 【 解析 】 选 A. 因为 α ∈ ， sin α = ，所以 cos α = . 所以 3. 已知 sin ， ，则 cos α 的值是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 ，所以 < α + < π 且 sin ，所以 cos 所以 cos α = 4.cos =_______.  【 解析 】 答案： 5. 已知 cos =cos α ，则 tan α =_______.  【 解析 】 因为 cos =cos α cos +sin α sin = cos α + sin α =cos α ， 所以 sin α = cos α . 所以 ，即 tan α = . 答案：