【数学】2020届一轮复习北师大版全称量词、存在量词课时作业

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【数学】2020届一轮复习北师大版全称量词、存在量词课时作业

‎2020届一轮复习北师大版 全称量词、存在量词 课时作业 知识点一 全称命题与特称命题的判断 ‎1.下列命题中全称命题的个数是(  )‎ ‎①任意一个自然数都是正整数;‎ ‎②有的等差数列也是等比数列;‎ ‎③三角形的内角和是180°.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案 C 解析 ①③是全称命题,②是特称命题.‎ ‎2.下列命题为特称命题的是(  )‎ A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于3‎ 答案 D 解析 选项A、B、C均为全称命题.故选D.‎ ‎3.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题:‎ ‎(1)凸n边形的外角和等于2π;‎ ‎(2)有一个有理数x0满足x=3;‎ ‎(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.‎ 解 (1)∀x∈{x|x是凸n边形},x的外角和是2π.‎ ‎(2)∃x0∈Q,x=3.‎ ‎(3)∀α∈R,sin2α+cos2α=1.‎ 知识点二 全称命题与特称命题的真假判定 ‎4.下列命题中的假命题是(  )‎ A.∃x∈R,lg x=0 B.∃x∈R,tanx=1‎ C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0‎ 答案 C 解析 选项A,lg x=0⇒x=1;选项B,tanx=1⇒x=+kπ(k∈Z);选项C,x3>0⇒x>0;选项D,2x>0⇒x∈R.‎ ‎5.四个命题:①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.‎ 答案 0‎ 解析 ①当x=1时,x2-3x+2=0,故①为假命题;②因为x=±时,x2=2,而±为无理数,故②为假命题;③因为x2+1>0(x∈R)恒成立,故③为假命题;④原不等式可化为x2-2x+1>0,即(x-1)2>0,当x=1时(x-1)2=0,故④为假命题.‎ 知识点三 全称命题与特称命题的应用 ‎6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.‎ 答案 m≥ 解析 因为x1∈[-1,3],所以f(x1)∈[0,9],又因为对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),即∃x2∈[0,2],g(x2)≤0,即x2-m≤0,所以m≥x2,m≥2,即m≥.‎ 一、选择题 ‎1.下列命题为特称命题的是(  )‎ A.奇函数的图象关于原点对称 B.sin=cosx C.棱锥仅有一个底面 D.存在大于等于3的实数x,使x2-2x-3≥0‎ 答案 D 解析 A,B,C中的命题都省略了全称量词“所有”,所以A,B,C都是全称命题;D中的命题含有存在量词“存在”,所以D是特称命题,故选D.‎ ‎2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是(  )‎ A.存在一个α,使tan(90°-α)=tanα B.存在实数x0,使sinx0= C.对一切α,sin(180°-α)=sinα D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 答案 A 解析 只有A,B两个选项中的命题是特称命题.因为|sinx|≤1,所以sinx0=不成立,故B中命题为假命题,又因为当α=45°时,tan(90°-α)=tanα,故A中命题为真命题.‎ ‎3.下列命题中,是正确的全称命题的是(  )‎ A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0‎ B.菱形的两条对角线相等 C.∃x0∈R,=x0‎ D.对数函数在定义域上是单调函数 答案 D 解析 A中含有全称量词“任意”,a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,是假命题.B,D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一定相等;C是特称命题,故选D.‎ ‎4.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列四个命题中假命题的是(  )‎ A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)‎ B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)‎ C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)‎ D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)‎ 答案 C 解析 由题意:x0=-为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的.‎ ‎5.下列4个命题:‎ p1:∃x0∈(0,+∞),x0< x0;‎ p2:∃x0∈(0,1),logx0>logx0;‎ p3:∀x∈(0,+∞),x>logx;‎ p4:∀x∈,x‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(1,3)))x恒成立,故p1是假命题;由对数函数y=logx和y=logx的图象,得当x∈(0,1)时,logx>logx恒成立,故p2是真命题;由指数函数y=x和对数函数y=logx的图象,得当x∈(0,+∞)时,x>logx不一定成立,故p3是假命题;在平面直角坐标系中画出y=x和y=logx的图象,如图所示,两函数图象在第一象限内有交点M,当x=时,log>,故当x∈时,xx2;‎ ‎②∃α∈R,使得sin3α=3sinα;‎ ‎③∃a∈R,对∀x∈R,使得x2+2x+a<0;‎ ‎④∀a∈R,有f(x)=x2-ax-1的图象与x轴恒有公共点.‎ 其中真命题的序号为________.‎ 答案 ②④‎ 解析 ①中,当x=0时,x4=x2,故为假命题;②中,当α=kπ(k∈Z)时,sin3α=3sinα成立,故为真命题;③中,由于函数f(x)=x2+2x+a的图象开口向上,一定存在x∈R,使x2+2x+a≥0,故为假命题;④中,对∀a∈R,Δ=(-a)2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以f(x)=x2-ax-1的图象与x轴恒有公共点,故为真命题.‎ ‎8.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 a≤-2或a=1‎ 解析 ∀x∈[1,2],x2-a≥0,即a≤x2,‎ 当x∈[1,2]时恒成立,∴a≤1.‎ ‎∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0,‎ 即方程x2+2ax+2-a=0有实根,‎ ‎∴Δ=4a2-4(2-a)≥0.∴a≤-2或a≥1.‎ 又p∧q为真,故p、q都为真,‎ ‎∴ ‎∴a≤-2或a=1.‎ 三、解答题 ‎9.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假.‎ ‎(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0;‎ ‎(2)对任意实数x1,x2,若x10(a>0,且a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题.‎ ‎(2)是全称命题.‎ 存在x1=0,x2=π,x10,∴命题(4)是假命题.‎ ‎10.(1)命题p:∀x∈R,sinxcosx≥m.若命题p是真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)命题q:∃x∈R,sinxcosx≥m.若命题q是真命题,求实数m的取值范围.‎ 解 设函数f(x)=sinxcosx,x∈R,‎ 则f(x)=sin2x,‎ 所以函数f(x)的值域是.‎ ‎(1)由于命题p是真命题,‎ 即对任意x∈R,sinxcosx≥m恒成立,‎ 所以对任意x∈R,f(x)≥m恒成立.‎ 又函数f(x)的最小值为-,所以只需m≤-,‎ 所以实数m的取值范围是.‎ ‎(2)由于命题q是真命题,即存在实数x满足sinxcosx≥m成立,‎ 所以存在实数x,满足f(x)≥m成立.‎ 由于函数f(x)的最大值为,‎ 所以m≤,‎ 所以实数m的取值范围是.‎
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