【数学】2020届一轮复习北师大版证明不等式的基本方法课时作业
证明不等式的基本方法
(30分钟 60分)
1.已知函数f(x)=|x+2|.
(1)解不等式f(x)>4-|x+1|.
(2)已知a+b=2(a>0,b>0),求证:-f(x)≤+.
【解析】(1)不等式f(x)>4-|x+1|,
即|x+1|+|x+2|>4,
当x<-2时,不等式化为-(x+1)-(x+2)>4,解得x<-3.5;
当-2≤x≤-1时,不等式化为-(x+1)+(x+2)>4,无解;
当x>-1时,不等式化为(x+1)+(x+2)>4,解得x>0.5;
综上所述:不等式的解集为(-∞,-3.5)∪(0.5,+∞).
(2)因为+=(a+b)
=≥4.5,
当且仅当a=,b=时等号成立.
由题意知,-f(x)
=-|x+2|≤=4.5,
所以-f(x)≤+.
2.设函数f(x)=|x-3|,g(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+g(x)<2.
(2)对任意的实数x,y,若f(x)≤1,g(y)≤1,求证:|x-2y+1|≤3.
【解析】(1)当x<2时,原不等式可化为
3-x+2-x<2,可得x>,所以
3时,原不等式可化为x-3+x-2<2,可得x<,所以32|m-n|.
【解析】(1)依题意
f(x)=|x-1|-|x+2|
=
由-2<-2x-1<0解得-0,故|1-4mn|2>4|m-n|2,故|1-4mn|>2|m-n|.
4.(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x)>8-|2x-2|的解集为M.
(1)求M.
(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(2a)-f(-2b).
【解析】(1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得
|x+4|+|2x-2|>8.
①当x≤-4时不等式转化为-x-4-2x+2>8,
解得x<-,所以此时x≤-4;
②当-48,
解得x<-2,所以此时-48,
解得x>2,所以此时x>2,
综上,M={x|x<-2或x>2}.
(2)因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|
≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,
所以要证f(ab)>f(2a)-f(-2b),只需证
|ab+4|>|2a+2b|,
即证(ab+4)2>(2a+2b)2,
即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2,
即证a2b2-4a2-4b2+16>0,
即证(a2-4)(b2-4)>0.
因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4,
所以(a2-4)(b2-4)>0成立,所以原不等式成立.
5.(2019·大兴模拟)已知函数f(x)=|x|-|x-1|.
(1)若f(x)≥|m-1|的解集非空,求实数m的取值范围.
(2)若两正数x,y满足x2+y2=M,M为(1)中可取到的最大值,求证:x+y≥2xy.
【解析】(1)去绝对值符号可得f(x)=
所以f(x)max=1.
所以|m-1|≤1,解得0≤m≤2,
所以实数m的取值范围为[0,2].
(2)由(1)知,M=2,所以x2+y2=2,
因为x>0,y>0,
所以要证x+y≥2xy,只需证
(x+y)2≥4x2y2,即证2(xy)2-xy-1≤0,
即证(2xy+1)(xy-1)≤0,
因为2xy+1>0,所以只需证xy≤1.
因为2xy≤x2+y2=2,
所以xy≤1成立所以x+y≥2xy.
6.(2018·宜宾模拟)设函数f(x)=|2x-1|+2|x+1|.
(1)若存在x0∈R使得f(x0)+m2≤m+5,求实数m的取值范围.
(2)若m是(1)中的最大值,且a3+b3=m,证明:00,
所以a+b>0,
又2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=(a+b)[(a+b)2-3ab]
≥(a+b)
=(a+b)3,
所以(a+b)3≤8,
所以00,b>0,且a+b=+.
求证:(1)a+b≥2.
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
【证明】(1)a+b=+,a>0,b>0,得ab=1.
由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,当且仅当a=b时取等号,即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,
则a2+a<2且b2+b<2,
则a2+a+b2+b<4,
即(a+b)2+a+b-2ab<4,
由(1)知ab=1,因此(a+b)2+a+b<6①,而a+b≥2,因此(a+b)2+a+b≥6②,①②矛盾,因此假设不成立,原结论成立.
