高三数学周清测试题

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高三数学理科周清自主检测题 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 2013.12.28 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合        QP，QP，baQaogP  则若 0,,1,3 2 A.  0,3 B.  103 ，， C.  203 ，， D.  2103 ，，， 2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角 三角形，其直角边均为 1，则该几何体的体积为 A. 1 3 B. 1 2 C. 1 6 D.1 3.“ = 2  ”是“曲线  siny x   关于 y轴对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.在等差数列     1 3 5 7 92 3 54na a a a a a    中， ，则此数列 前 10项的和 10S  A.45 B.60 C.75 D.90 5. 设向量    cos , 1 , 2,sina b      ，若 a b   ，则 tan 4      等于 A. 1 3  B. 1 3 C. 3 D.3 6. 知△ABC的三个内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，且 等于则角BbaA ,1,3, 3   A. 2  B. 6  C. 6 5 D. 6  或 6 5 7.若实数 1 1 . e a dx x   则函数   sin cosf x a x x  的图象的一条对称轴方程为 A. 0x  B. 3 4 x    C. 4   D. 5 4 x    8. 函数 sin xy x  ， ( ,0) (0, )x     的图象可能是下列图象中的 9. 设变量 yx, 满足约束条件         01 022 022 yx yx yx ，则 1 1    x ys 的取值范围是 A.     2 3,1 B.     1, 2 1 C.  2,1 D.     2, 2 1 10. 已知函数 ( ) cos( )f x A x   ( 0, 0,0 )A       为奇函数，该函数的部分图象 如图所示， EFG 是边长为 2的等边三角形，则 (1)f 的 值为 A． 3 2  B． 6 2  C． 3 D． 3 已知 0x 是 x xf x 1) 2 1()(  的一个零点， )0,(),,( 0201 xxxx  ，则（ ） A. 0)(,0)( 21  xfxf B. 0)(,0)( 21  xfxf C. 0)(,0)( 21  xfxf D. 0)(,0)( 21  xfxf 12已知各项均不为零的数列 na ，定义向量 * 1 ),1,(),,( Nnnnbaac nnnn   。下列命题 中真命题是 A.  是等比数列则数列成立总有若 nnn a，bcNn  * B.  是等比数列则数列成立总有若 nnn a，bcNn //* C.  是等差数列则数列成立总有若 nnn a，bcNn  * D.  是等差数列则数列成立总有若 nnn a，bcNn //* 第 II 卷（共 90 分） 装 订 线 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分.） 13. 已知点 ),( nmA 在直线 022  yx 上，则 nm 42  的最小值为 . 14．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足 2 , ( )AP PM PA PB PC        则 等于 15. 已知函数  f x 的定义域为 1,5 ，部分对应值如下表，  f x 的导函数  y f x 的图 像如图所示，给出关于  f x 的下列命题： ①函数   2y f x x 在 时，取极小值 ②函数    0,1f x 在 是减函数，在 1,2 是增函数， ③当1 2a  时，函数  y f x a  有 4个零点 ④如果当  1,x t  时，  f x 的最大值是 2，那么的最小值为 0，其中所有正确命题序号为_________. 16．下列结论： ①直线 a，b为异面直线的充要条件是直线 a，b不相交； ②函数 x xxf 1lg)(  的零点所在的区间是 )10,1( ； ③将函数 ,1) 3 2cos()(  xxf 的图象向右平移 6  个单位后，对应的函数是偶函数。 ④已知函数 xxxf  22)( ，则 )2(  xfy 的图象关于直线 2x 对称. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） ABC 的内角A、B、C所对的边分别为 , ,a b c，且 sin sin sin 2 sina A b B c C a B   （I）求角 C； （II）求 3 sin cos 4 A B       的最大值. 18.（本小题满分 12分） 已知数列 na 是递增数列，且满足 1016· 6253  a，aaa 。 （1）若 na 是等差数列，求数列 na 的通项公式； （2）对于（1）中 na ，令 3 2)7( n nn ab  ，求数列 nb 的前 n项和 nT 。 19.（本题满分 12分）已知两点 A   2 )(,),1,1(,sin,cos OCxfOCOBOABxx  。 （1）求 )(xf 的对称轴和对称中心； （2）求 )(xf 的单调递增区间。 20（本题满分 12 分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，底面△ ABC为等腰直角三角形， 90ABC   ， D为棱 1BB 上一点，且平面 1DAC⊥平面 1 1AAC C . (Ⅰ)求证：D为棱 1BB 的中点；（Ⅱ） AB AA1 为何值时，二面角 1A AD C  的平面角为 60 . 21.（本小题满分 12分） 如图 1，平面四边形 ABCD关于直线 AC对称， 2,90,60  CDCA  ，把△ABD沿 BD折起（如图 2），使二面角 A―BD―C 的余弦值等于 3 3 。对于图 2，完成以下各小题： （1）求 A，C两点间的距离； （2）证明：AC平面 BCD； （3）求直线 AC与平面 ABD所成角的正弦值。 22.（本小题满分 14 分） 已知函数    lnf x x x ax a R   （I）若函数  f x 在区间 2 ,e  上为增函数，求 a的取值范围； （II）若对任意      1, , 1x f x k x ax x      恒成立，求正整数 k的值. 高三数学理科周清自主检测题（答案） 选择题：BAAAB BBCDD DD A B C A1 B1 C1D 第 20 题 图 填空题：13.4 14. 9 4  15. ①③④ 16.② ③ ④ 18.解：（1）根据题意： ,16,10 535362  aaaaaa 又 分所以解得 且的两根是方程所以 4.73,328 ,01610, 35 53 2 53   nad，，aa aa，xxaa n （2） 则,2 3 2)7( n n nn nab  分所以 得 12.22)1(222 ,2 21 )21(2222222 22)1(2)2(22212 22)1(232221 111 111321 1132 1321             nnn n n n nnn n nnn n nn n nnT nnT �，� �nnnT �nnT 19.解（1）由题设知， ),sin,(cos xxOA  ……………………2分 ),sin1,cos1(),1,1( xxOBOAOCOB  则 ………………3分 22 2 )sin1()cos1()( xxOCxf  ), 4 sin(223)cos(sin23   xxx …5分 分对称中心是 即 对称中心横坐标满足 分即对称轴是 对称轴是 9.),3, 4 ( , 4 ,, 4 7., 4 ,, 24      Zkk Z，kkx Zkkx Zkkx Zkkx      （2）当 分单增时 10)(, 2 2 42 2  ，xfZkkxk  分的单增区间是 12 4 2, 4 32)( , 4 2 4 32       Zkkkxf Zkkxk   20.解：（Ⅰ）过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点，取 AC 的中点 F，连 BF ﹑EF ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C，面 DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C 故直线DE 面 1 1ACC A ……3 分 又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC，易知 BF⊥AC，∴BF⊥面 AA1C1C 由此知：DE∥BF ，从而有 D，E，F，B 共面， 又易知 BB1∥面 AA1C1C，故有 DB∥EF ，从而有 EF∥AA1， 又点 F 是 AC 的中点，所以 DB ＝ EF ＝ 2 1 AA1 ＝ 2 1 BB1， 即D为 1BB 的中点 ……6 分 （Ⅱ）解法 1：建立如图所示的直角坐标系， 设 AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝ a ，则 D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， ),,0(),,0,(1 baDCbaDA  设面 DA1C 的法向量为 ),,( zyxn  则 00 ,00   bzayx bzyax 可取 ),,( abbn  ……8 分 又可取平面 AA1DB 的法向量 )0,,0( aBCm  cos ,m n ur r 22222 22 00 ab b aab abab mn mn         据 题 意 有 ： 2 1 2 22   ab b 解 得 ： AB AA1 ＝ 22  a b ……12 分 (Ⅱ)解法 2：延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G，易知 CB⊥面 AA1B1B，过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H，连 CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，由此知∠CHB 为二面角 A － A1D － C 的平面 角； ……9分 A C B A C B D y O x Z A C B A C B D H E F G 设 AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝ a；在直角三角形 A1A G 中，易知 AB ＝ BG. 在 Rt DBG 中，BH ＝ DG BGBD  ＝ 22 ba ab   ， 在 Rt CHB 中，tan∠CHB ＝ BH BC ＝ b ba 22  ， 据题意有： b ba 22  ＝ tan600 ＝ 3 ，解得： 22  a b 所以 AB AA1 ＝ 2. ……12 分 21.解：（1）取 BD 的中点 E，连接 AE，CE， 由 AB=AD，CB=CD 得， BD，BD，D，AE  AEC 就是二面角 A―BD―C 的平面角， 分1 3 3cos  AEC 在△ACE 中， ，，CEAE 26  分32,4 3 326226 ·cos·2222   AC AECCEAECEAEAC （2）由 AC=AD=BD=2 2 ，AC=BC=CD=2， 分平面 又 分 6 490 222222     BCDAC C，CDBCCD，BC，C，AC ACDACB ，ADCD，ACABBCAC   （3）以 CB，CD，CA 所在直线分别为 x 轴，y轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C－xyz， 则 分7).0,2,0(),0,0,0(),0,0,2()200( DC，B，，A 分 的正弦为所成角与平面于是 分则取 即则的法向量为设平面 12. 3 3 23 200 // sin 9),1,1,1(,1 , 022 022 , 0 0 ),,(                    CAn CAn ABDAC nzyx zy zx ADn ABn ，zyxnABD  