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文档介绍
2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题. 知识点 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为θ. 则 a·b=x1x2+y1y2. (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|= x2+y2. 若表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 a=(x2-x1,y2 -y1),|a|= x2-x12+y2-y12. (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. (3)cos θ= a·b |a||b| = x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 . 思考 若两个非零向量的夹角满足 cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角吗? 答案 不一定,当 cos θ<0时,两向量的夹角θ可能是钝角,也可能是 180°. 1.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.( × ) 2.若两个非零向量的夹角θ满足 cos θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.( × ) 提示 当两向量同向共线时,cos θ=1>0,但夹角θ=0°,不是锐角. 3.两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足 x1y2-x2y1=0,则向量 a 与 b 的夹角为 0°.( × ) 4.若向量 a=(1,0),b= 1 2 , 1 2 ,则|a|=|b|.( × ) 提示 |a|=1,|b|= 1 2 2+ 1 2 2= 2 2 ,显然|a|≠|b|. 一、数量积的坐标运算 例 1 已知 a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于( ) A.10 B.-10 C.3 D.-3 答案 B 解析 a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. 反思感悟 进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关 系 (1)|a|2=a·a. (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 跟踪训练 1 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C 解析 因为 a=(1,-1),b=(-1,2), 所以 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0), 则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. 二、平面向量的模 例 2 已知平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),求 a-2b 及其模的大小. 解 ∵a=(3,5),b=(-2,1), ∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), ∴|a-2b|= 72+32= 58. 反思感悟 求向量 a=(x,y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,即 a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|= a2= x2+y2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量 运算的相互转化. 跟踪训练 2 已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 2,则|b|等于( ) A. 5 B. 10 C.5 D.25 答案 C 解析 ∵a=(2,1),∴a2=5, 又|a+b|=5 2,∴(a+b)2=50, 即 a2+2a·b+b2=50, ∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5. 三、平面向量的夹角、垂直问题 例 3 (1)已知|a|=1,b=(0,2),且 a·b=1,则向量 a 与 b 夹角的大小为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案 C 解析 因为|a|=1,b=(0,2),且 a·b=1, 设 a 与 b 的夹角为θ, 则 cos θ= a·b |a||b| = 1 1× 0+22 = 1 2 . 又因为θ∈[0,π],则θ=π 3 . 所以向量 a 与 b 夹角的大小为 π 3 . (2)设向量 m=(2x-1,3),向量 n=(1,-1),若 m⊥n,则实数 x的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 因为向量 m=(2x-1,3),向量 n=(1,-1),m⊥n, 所以 m·n=(2x-1)×1+3×(-1)=2x-1-3=0,解得 x=2. 反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法:由 cos θ= a·b |a||b| = x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 直接求出 cos θ. (2)注意事项:利用三角函数值 cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是 0°≤θ≤180°.利用 cos θ= a·b |a||b| 判断θ的值时,要注意 cos θ<0 时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为 180°; cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为 0°. 跟踪训练 3 已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=________. 答案 7 解析 ∵a=(-1,2),b=(m,1), ∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3). 又 a+b 与 a 垂直,∴(a+b)·a=0, 即(m-1)×(-1)+3×2=0, 解得 m=7. 1.若向量 a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则 x等于( ) A.3 B.-3 C.5 3 D.-5 3 答案 A 解析 a·b=-x+6=3,故 x=3. 2.已知 a=(3,4),b=(5,12),则 a 与 b 夹角的余弦值为( ) A.63 65 B. 65 C. 13 5 D. 13 答案 A 解析 |a|= 32+42=5,|b|= 52+122=13. a·b=3×5+4×12=63. 设 a 与 b 的夹角为θ,所以 cos θ= 63 5×13 = 63 65 . 3.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C 解析 ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2 =2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0, ∴n2=3,∴|a|= 12+n2=2. 4.若平面向量 a=(1,-2)与 b 的夹角是 180°,且|b|=3 5,则 b 等于( ) A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 答案 A 解析 由题意,设 b=λa=(λ,-2λ)(λ<0), 则|b|= λ2+-2λ2= 5|λ|=3 5, 又λ<0,∴λ=-3,故 b=(-3,6). 5.已知向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|等于( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 答案 B 解析 由题意可得 a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解得 x=2. 再由 a+b=(x+1,-1)=(3,-1), 可得|a+b|= 10. 1.知识清单: (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b 为非零向量). (3)cos θ= x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 (θ为非零向量 a,b 的夹角). 2.方法归纳:化归与转化. 3.常见误区:两向量夹角的余弦公式易记错. 1.设向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是( ) A.|a|=|b| B.a·b=0 C.a∥b D.(a-b)⊥b 答案 D 解析 a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0, 所以(a-b)⊥b. 2.已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案 B 解析 ∵|a|= 10,|b|= 5,a·b=5, ∴cos θ= a·b |a||b| = 5 10× 5 = 2 2 (θ为 a,b 的夹角). 又∵a,b 的夹角的范围为[0,π]. ∴a 与 b 的夹角为 π 4 . 3.已知向量 a=(1,2),b=(-1,m),若 a⊥b,则 m的值为( ) A.-2 B.2 C.1 2 D.-1 2 答案 C 解析 因为向量 a=(1,2),b=(-1,m),a⊥b, 所以 a·b=-1+2m=0,解得 m=1 2 . 4.a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2-4a·b 等于( ) A.23 B.57 C.63 D.83 答案 D 解析 3|a|2-4a·b=3[(-4)2+32]-4(-4×5+3×6)=83. 5.已知向量 a=(1,-2),b=(x,4),且 a∥b,则|a-b|等于( ) A.5 3 B.3 5 C.2 5 D.2 2 答案 B 解析 因为 a∥b,所以 4+2x=0,所以 x=-2, a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6), 所以|a-b|=3 5. 6.已知 a=(-1,1),b=(1,2),则 a·(a+2b)=________. 答案 4 解析 ∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4. 7.设向量 a=(1,0),b=(-1,m).若 a⊥(ma-b),则 m=________. 答案 -1 解析 由题意得 ma-b=(m+1,-m), 根据向量垂直的充要条件可得 1×(m+1)+0×(-m)=0, 所以 m=-1. 8.设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=________. 答案 -2 解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,得 a·b=0, 即 m+2=0,解得 m=-2. 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解 (1)∵a⊥b, ∴a·b=0,即 1×(2x+3)+x×(-x)=0, 解得 x=-1或 x=3. (2)∵a∥b,∴1×(-x)-x(2x+3)=0, 解得 x=0或 x=-2. 当 x=0时,a=(1,0),b=(3,0), ∴a-b=(-2,0),∴|a-b|=2. 当 x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2), ∴a-b=(2,-4), ∴|a-b|=2 5. ∴|a-b|=2或 2 5. 10.已知 a=(1,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围. 解 ∵a=(1,-1),b=(λ,1), ∴|a|= 2,|b|= 1+λ2,a·b=λ-1. 又∵a,b 的夹角α为钝角, ∴ λ-1<0, 2 1+λ2≠1-λ, 即 λ<1, λ2+2λ+1≠0. ∴λ<1且λ≠-1. ∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 11.已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案 B 解析 因为 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1), 由(m+n)⊥(m-n), 可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3. 12.已知OA→=(-2,1),OB→=(0,2)且AC→∥OB→,BC→⊥AB→,则点 C的坐标是( ) A.(2,6) B.(-2,-6) C.(2,-6) D.(-2,6) 答案 D 解析 设 C(x,y),则AC→=(x+2,y-1), BC→=(x,y-2),AB→=(2,1), ∵AC→∥OB→,∴2(x+2)=0,① ∵BC→⊥AB→,∴2x+y-2=0,② 由①②可得 x=-2, y=6, ∴C(-2,6). 13.设 m=(a,b),n=(c,d),规定两向量 m,n 之间的一个运算“⊗”为 m⊗n=(ac-bd,ad +bc),若已知 p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则 q 的坐标为________. 答案 (-2,1) 解析 设 q=(x,y),则 p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3). ∴ x-2y=-4, y+2x=-3, ∴ x=-2, y=1. ∴q=(-2,1). 14.如图所示,在矩形 ABCD中,AB= 2,BC=2,点 E在边 CD上,且DE→=2EC→,则AE→ ·BE→ 的值是________. 答案 32 9 解析 以 A为原点,AB所在直线为 x轴、AD所在直线为 y轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵AB= 2,BC=2, ∴A(0,0),B( 2,0),C( 2,2),D(0,2), ∵点 E在边 CD上,且DE→=2EC→, ∴E 2 2 3 ,2 .∴AE→= 2 2 3 ,2 ,BE→= - 2 3 ,2 , ∴AE→ ·BE→=- 4 9 +4=32 9 . 15.已知向量 a=(1,1),b=(1,m),其中 m为实数,则当 a 与 b 的夹角在 0, π 12 内变动时, 实数 m的取值范围是( ) A.(0,1) B. 3 3 , 3 C. 3 3 ,1 ∪(1, 3) D.(1, 3) 答案 C 解析 如图,作OA→=a,则 A(1,1). 作OB1→ ,OB2→ , 使∠AOB1=∠AOB2= π 12 , 则∠B1Ox=π 4 - π 12 = π 6 , ∠B2Ox= π 4 + π 12 = π 3 , 故 B1 1, 3 3 ,B2(1, 3). 又 a 与 b 的夹角不为 0,故 m≠1. 由图可知实数 m的取值范围是 3 3 ,1 ∪(1, 3). 16.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD为矩形,求点 C的坐标并求矩形 ABCD两条对角线所成的锐角的余弦 值. (1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴AB→=(1,1),AD→=(-3,3). 又∵AB→ ·AD→=1×(-3)+1×3=0, ∴AB→⊥AD→,即 AB⊥AD. (2)解 ∵AB→⊥AD→,四边形 ABCD为矩形, ∴DC→=AB→ . 设 C点坐标为(x,y),则AB→=(1,1),DC→=(x+1,y-4), ∴ x+1=1, y-4=1, 解得 x=0, y=5. ∴C点坐标为(0,5). 由于AC→=(-2,4),BD→=(-4,2), ∴AC→ ·BD→=8+8=16. 又|AC→ |=2 5,|BD→ |=2 5, 设AC→与BD→的夹角为θ, 则 cos θ= AC→ ·BD→ |AC→ ||BD→ | = 16 20 = 4 5 >0, ∴矩形 ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为 4 5 .查看更多