浙江省杭州市重点高中 高考数学 4 月命题比赛参赛试题 8

浙江省杭州市重点高中 高考数学 4 月命题比赛参赛试题 8

浙江省杭州市重点高中 高考数学 4 月命题比赛参赛试题 8 选择题部分（共 50 分） 参考公式： 球的表面积公式 棱柱的体积公式 24S R V Sh 球的体积公式 其中 S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 34 3 V R 棱台的体积公式 其中 R表示球的半径 1 1 2 2 1 ( ) 3 V h S S S S   棱锥的体积公式 其中 1 2,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 1 3 V Sh h表示棱台的高 其中 S表示棱锥的底面积， h表示棱锥的高 如果事件 ,A B互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．全集 RU  ， A = }4|{ 2 xx ，B ={ 1log| 3 xx }， 则 BA = A．{ 2| xx } B．{ | 2 3x x  } C．{ | 3x x  } D．{ 2| xx 或 2 3x  } 2．某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数 的 2 倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为（ ） （A） 32 （B）36 （C）18 （D）86 3．已知两条不同的直线m、 n，两个不同的平面 、  ，则下列命题中的真命题是 A．若 m ， n ，  ，则m n . B．若 m ， n∥  ，  ，则m n . C．若m∥ ， n∥  ， ∥  ，则m∥ n . D．若m∥ ， n  ，  ，则m∥ n . 4．已知数列 naaaa nnn  11 ,1,}{ 中 ，利用如图所示的 程序框图计算该数列的第 10 项，则判断框中应填的语句是 （ ） （A） 10n （B） 10n （C） 9n （D） 9n 5．已知函数   x xxf       2 1lg 有两个零点 1x 、 2x ，则有 ( ) .A 021 xx .B 121 xx .C 121 xx .D 10 21  xx 6. 双曲线 1 3 2 2  yx 的左右焦点为 F1,F2，过点 F2的直 l 与右支交于点 P,Q，若|PF1|=|PQ|， 则|PF2|的值为（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 7．数列 }{ na 满足 2 1 1  nn aa )(  Nn ， 12 a ， nS 是 }{ na 的前 n项和，则 21S 的值为 A．6 B． 2 11 C． 2 9 D．10 8．在△ABC 中， sin 2cos cos cos 2sin sin A C A A C A    是角 A、B、C 成等差数列的 （ ）A．充 分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分 也不必要条件 9.设 O 为△ABC 的外心，且   02OCOBOA ，则△ABC 的内角 C= （ ） （A） 6  （B） 4  （C） 3  （D） 2  10、若函数   2 1f x x  ，则函数      lng x f f x x  在0， 1 上的不同零点个数为 （ ） A．2 B．5 C．4 D．3 非选择题部分（共 100 分） 注意事项： 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 11．计算 2 2(1 ) 1 2 ii i      ．12．若不等式组 0 0 2 4 x y y x s y x          表示的平面区域 是一个三角形，则 s的取值范围是 ．13. 在集合   ZyZxyxyx  ,,4050, 且 内任取 1 个元素，能 使代数式 0 12 19 34  yx 成立的概率是 ； 14.一个容器的外形是一个棱长为 2 的正方体，其三视图 如图所示，则容器的容积为 15．二项式 5        x mx 的展开式中 3x 的系数为10，则实数m等 于___▲ ． 16．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2分的概率为b，不得分的概率为 c（ a、 b、 (0 ,1)c ），已知他投篮一次得分的数学期望为 2（不计其它得分情况），则 ab的最大值 为 . 17．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号 l， 2，…，8。则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分 14 分）已知向量 (sin ,1 cos )m B B   与向量 (2,0)n   的夹角为 3  ，其中 A, B, C 是△ABC 的内角． （1）求角 B 的大小； （2）求 sin sinA C 的取值范围． 19．（本题满分 14 分）数列{ }na 中， 3 1 2 11, ( 1, 2,3 ).n na a a a a n       （1）求 1 2, a a 的值； （2）求数列{ }na 的前 n项和 nS 及数列{ }na 的通项公式； （3）设 2logn nb S ，存在数列{ }nc 使得 3 4 1 ( 1)( 2)n n n nc b b n n n S       ，试求数列{ }nc 的前 n项和 nT ． A O B C D 20（本题满分 14 分）如图，已知△AOB，∠AOB＝ 2  ，∠BAO＝ 6  ，AB＝4，D 为线段 AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线 AO 旋转而成的．记二面角 B－AO－C 的大小为 ． （1）当平面 COD⊥平面 AOB 时，求 的值； （2）当 ∈[ 2  ， 2 3  ]时，求二面角 C－OD－B 的余弦值的取值范围． 21．（本小题满分 15 分） 如图，过点 (0, 2)D  作抛物线 2 2 ( 0)x py p  的切线 l，切点 A 在第二象限．. （1）求切点 A 的纵坐标； （2）若离心率为 2 3 的椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 恰好经过切点 A，设切线 l交椭圆 的另一点为 B，记切线 l、OA、OB 的斜率分别为 kkkkkk 42,,, 2121 若 ，求椭圆 方程． 22．(本小题满分 15 分) 已知函数 txexf x 2)( 2  ， 2 122)( 22  ttexxg x 。 （Ⅰ）求 )(xf 在区间 ),0[  的最小值； （Ⅱ）求证：若 1t ，则不等式 )(xg ≥ 2 1 对于任意的 ),0[ x 恒成立； （Ⅲ）求证：若 Rt ，则不等式 )(xf ≥ )(xg 对于任意的 Rx 恒成立。 高考模拟试卷 数学（理）卷参考答案及评分标准 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分。 （1）B （2）C （3）A （4）D （5）A （6）B （7）C （8）A （9）B （10）D 二、填空题：每小题 4 分，满分 28 分。 （11） i 5 14  （12）    2,0,4  （13） 30 11 （14） 3 2 （15）2 （16） 1 6 (17) 31 三、解答题 18．（本题满分 14 分）已知向量 (sin ,1 cos )m B B   与向量 (2,0)n   的夹角为 3  ，其中 A, B, C 是△ABC 的内角． （1）求角 B 的大小； （2）求 sin sinA C 的取值范围． 18．解：（1）∵ m→=（sinB，1-cosB) ,与向量 n→=（2，0）所成角为 , 3  ∴ 2sin 1 1,cos 2 2 22 2 2cos B B B    …………………………………………3 分 ∴ 20 , , , 2 3 3 BB B     又 即 ……………3 分 （2）：由（1） 3 A C    可得∴ ) 3 sin(cos 2 3sin 2 1) 3 sin(sinsinsin   AAAAACA ……………………………………2分 A O B C D ∵ 3 0   A ∴ 3 2 33   A ……………………………………………………………2 分 ∴                   1, 2 3sinsin,1, 2 3) 3 sin( CAA  ………… 4分 19．（本题满分 14 分）数列{ }na 中， 3 1 2 11, ( 1, 2,3 ).n na a a a a n       （1）求 1 2, a a 的值； （2）求数列{ }na 的前 n项和 nS 及数列{ }na 的通项公式； （3）设 2logn nb S ，存在数列{ }nc 使得 3 4 1 ( 1)( 2)n n n nc b b n n n S       ，试求数列{ }nc 的前 n项和 nT ． 19 解：（1） 1 2 1 1, 2 2 a a  ；…….2 分 （2） 22nnS  ；……………………….3 分 3 1 , 1 2 2 2 n n n a n      ， ………………………3 分 （3） 21 2 ( 1)( 2) n nc n n n      …………………3 分 1 1 2 1( 1) 2 2 n n nc c c n n            ……………….3 分 20（本题满分 14 分）如图，已知△AOB，∠AOB＝ 2  ，∠BAO＝ 6  ，AB＝4，D 为线段 AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线 AO 旋转而成的．记二面角 B－AO－C 的大小为 ． （1）当平面 COD⊥平面 AOB 时，求 的值； （2）当 ∈[ 2  ， 2 3  ]时，求二面角 C－OD－B 的余弦值的取值范围． y A O B C D (第 20 题) x z 解法一： （1）解：如图，以 O 为原点，在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x轴，OB，OA 所在的直线分别为 y轴，z轴建 立空间直角坐标系 O－xyz， 则 A (0，0，2 3 )，B (0，2，0)， D (0，1， 3 )，C (2sin ，2cos ，0)． 设 1n  ＝(x，y，z)为平面 COD 的一个法向量， 由 1 1 0, 0, n OD n OC            得 sin cos 0, 3 0, x y y z         取 z＝sin ，则 1n  ＝( 3 cos ，－ 3 sin ，sin )． 因为平面 AOB 的一个法向量为 2n  ＝(1，0，0)， 由平面 COD⊥平面 AOB 得 1n   2n  ＝0， 所以 cos ＝0，即 ＝ 2  ． ………………………7 分 （2）设二面角 C－OD－B的大小为 ， 由（1）得 当 ＝ 2  时， cos ＝0； 当 ∈( 2  , 2 3  ]时，tan ≤－ 3 ， cos = 1 2 1 2| || | n n n n      ＝ 2 3 cos 3 sin   ＝－ 2 3 4 tan 3  ， 故－ 5 5 ≤cos ＜0． 综上,二面角 C－OD－B 的余弦值的取值范围为[－ 5 5 ，0]．…………14 分 解法二： （1）解：在平面 AOB 内过 B 作 OD 的垂线，垂足为 E， 因为平面 AOB⊥平面 COD， 平面 AOB∩平面 COD＝OD， F A O B D E 所以 BE⊥平面 COD， 故 BE⊥CO． 又因为 OC⊥AO， 所以 OC⊥平面 AOB， 故 OC⊥OB． 又因为 OB⊥OA，OC⊥OA， 所以二面角 B－AO－C 的平面角为∠COB， 即 ＝ 2  ． ………………………………………7 分 （2）解：当 ＝ 2  时，二面角 C－OD－B的余弦值为 0； 当 ∈( 2  , 2 3  ]时， 过 C 作 OB 的垂线，垂足为 F，过 F作 OD 的垂线，垂足为 G，连结 CG， 则∠CGF 的补角为二面角 C－OD－B的平面角． 在 Rt△OCF 中，CF＝2 sin ，OF＝－2cos ， 在 Rt△CGF 中，GF＝OF sin 3  ＝－ 3 cos ，CG＝ 2 24sin 3cos  ， 所以 cos∠CGF ＝ FG CG ＝－ 2 2 3 cos 4sin 3cos    ． 因为 ∈( 2  , 2 3  ]，tan ≤－ 3 ， 故 0＜cos∠CGF＝ 2 3 4 tan 3  ≤ 5 5 ． 所以二面角 C－OD－B 的余弦值的取值范围为 [－ 5 5 ，0]． ……………14 分 21．（本小题满分 15 分） 如图，过点 (0, 2)D  作抛物线 2 2 ( 0)x py p  的切线 l，切点 A 在第二象限．. （1）求切点 A 的纵坐标； （2）若离心率为 2 3 的椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 恰好经过切点 A，设切线 l交椭圆的另 一点为 B，记切线 l、OA、OB 的斜率分别为 kkkkkk 42,,, 2121 若 ，求椭圆方程． 【解析】（本小题满分 15 分） 解：（1）设切点 ),( 00 yxA ，且 p x y 2 2 0 0  ， 由切线 l的斜率为 p x k 0 ，得 l的方程为 p x x p x y 2 2 00  ，又点 )2,0( D 在 l上， 2 2 2 0  p x ， 即点 A的纵坐标 0y 2 ． …………5分 （2）由（1）得 )2,2( pA  ，切线斜率 p k 2  ，设 ),( 11 yxB ，切线方程为 2 kxy ， 由 2 3 e ，得 22 4ba  ．…………7分 所以椭圆方程为 1 4 2 2 2 2  b y b x ，且过 )2,2( pA  ， 42  pb ．………9分 由 041616)41( 44 2 222 222       bkxxk byx kxy ，             2 2 10 210 41 416 41 16 k bxx k kxx ， …………………11 分 ∴ 0 1 1 2 0 1 22 y yk k x x    1 0 0 1 0 1 2x y x y x x   1 0 0 1 0 1 ( 2) 2 ( 2)x kx x kx x x     1 0 0 1 2 43 x xk x x    1 0 0 0 1 2( ) 23 x x xk x x     2 2 2 32 4 1 43 16 4 1 4 k p kk b k      2 2 32 4 (1 4 ) 3 16 4 k p k k b      4k ．将 p k 2  ， 42  pb 代入 得 ： 32p ， 所 以 144,36 22  ab ， ∴ 椭 圆 方 程 为 1 36144 22  yx ． ………………15 分 22．(本小题满分 15 分) 已知函数 txexf x 2)( 2  ， 2 122)( 22  ttexxg x 。 （Ⅰ）求 )(xf 在区间 ),0[  的最小值； （Ⅱ）求证：若 1t ，则不等式 )(xg ≥ 2 1 对于任意的 ),0[ x 恒成立； （Ⅲ）求证：若 Rt ，则不等式 )(xf ≥ )(xg 对于任意的 Rx 恒成立。 解(Ⅰ): )(222)( 22 tetexf xx  ………………………………………………1分 ①若 1t ∵ 0x ，则 12 xe ，∴ 02  te x ，即 0)(  xf 。 ∴ )(xf 在区间 ),0[  是增函数，故 )(xf 在区间 ),0[  的最小值是 1)0( f 。……3 分 ②若 1t 令 0)(  xf ，得 tx ln 2 1  . 又当 )ln 2 1,0[ tx 时， 0)(  xf ；当 ),ln 2 1(  tx 时， 0)(  xf ， ∴ )(xf 在区间 ),0[  的最小值是 ttttf ln)ln 2 1(  ………………………………5 分 综上，当 1t 时， )(xf 在区间 ),0[  的最小值是 1)0( f ，当 1t 时， )(xf 在区间 ),0[  的最小值是 ttttf ln)ln 2 1(  。………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）证明:当 1t 时， 2 32)( 2  xexxg ，则 )(222)( xeexxg xx  ， ……………………………………………………………………………………………7 分 ∴ )1(2])([  xexg , 当 ),0[ x 时，有 0])([  xg ，∴ )(xg  在 ),0[  内是增函数， ∴ 02)0()(  gxg ， ∴ )(xg 在 ),0[  内是增函数， ∴对于任意的 ),0[ x ， 2 1)0()(  gxg 恒成立。…………………………………10 分 (Ⅲ)证明: 2 1222)()( 222  ttextxexgxf xx ) 2 1()(22 222  xetext xx , 令 2 12) 2 (2) 2 1()(22)( 22 2222     xxeeextxetextth xzx xx 则当 Rt 时, )(th ≥ 2 12 22  xxee xx 2 1)( 2   xe x ,……………………………………………………12 分 令 xexF x )( ,则 1)(  xexF , 当 0x 时, 0)(  xF ；当 0x 时， 0)(  xF ；当 0x 时， 0)(  xF ， 则 xexF x )( 在 ]0,( 是减函数，在 ),0(  是增函数， ∴ 1)0()(  FxexF x ，∴ 0 2 1)( 2   xe x ， ∴ 0)( th ，即不等式 )(xf ≥ )(xg 对于任意的 Rx 恒成立。………………………15 分 萧山五中 命题人 毛国伟 朱玲