2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第七章不等式第3节基本不等式及其应用
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第3节 基本不等式及其应用
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
[常用结论与微点提醒]
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x>2，则x＋的最小值是( )
A.2 B.4 C.2 D.6
解析 ∵x>2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.
当x－2＝，即x＝4时等号成立.
答案 D
3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x<0，则x＋( )
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
解析 因为x<0，所以－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
答案 D
4.(2020·安徽江南十校联考)已知实数x满足logx>1，则函数y＝8x＋
的最大值为( )
A.－4 B.8 C.4 D.0
解析 由logx>1得0
0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
考点一 利用基本不等式求最值 多维探究
角度1 配凑法求最值
【例1－1】 (1)(2020·乐山一中月考)设00，则a＋的最小值为________.
解析 (1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(2)由题意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，当且仅当a＋＝，即a＝时等号成立.所以a＋的最小值为.
答案 (1) (2)
规律方法 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
角度2 常数代换法求最值
【例1－2】 (2019·龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝，∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.
答案 C
规律方法 常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
角度3 消元法求最值
【例1－3】 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A. B. C. D.
解析 因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得00，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.
(3)(角度3)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 (1)f(x)＝＝－
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立.
故f(x)的最小值为4.
(2)∵x>0，y>0，∴>0.
∵x＋2y＝5，∴＝
＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.
∴的最小值为4.
(3)由题意可得b＋c＝2－a>0，所以00，μ>0)，则＋的最小值为( )
A.16 B.8 C.4 D.2
(2)(2020·长沙模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB、三棱锥M－PBC、三棱锥M－PCA的体积.若f(M)＝，且＋≥ 8恒成立，则正实数a的最小值为________.
解析 (1)由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，故＋的最小值为16.故选A.
(2)∵PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，
∴VP－ABC＝××3×2×1＝1＝＋x＋y.
∴x＋y＝，则2x＋2y＝1.
∵a>0，∴＋＝(2x＋2y)＝2＋2a＋＋≥2＋2a＋4(当且仅当＝，即y＝x时，取等号)，因此2＋2a＋4≥8，解得a≥1，
∴正实数a的最小值为1.
答案 (1)A (2)1
规律方法 (1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.
【训练3】 (2020·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.
解析 ∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，当且仅当＝即m＝n时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2，故选B.
答案 B
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A.a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.a2＋b2>2ab
解析 因为和同号，所以＝＋≥2.
答案 C
2.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )
A.9 B.18 C.36 D.81
解析 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
答案 A
3.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2
B.<1(x∈R)
C.当x>0时，＋≥2
D.当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；
对于D，当00，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为( )
A.4 B. C. D.6
解析 圆的一般方程化成标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，依据圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，得a＋2b＝2(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋2b)＝×≥×(5＋2)＝(当且仅当a＝b＝时取等号).
答案 B
8.(2020·信阳模拟)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β的终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
解析 由已知可得tan α＝a，tan β＝，
∵α＝2β，∴tan α＝tan 2β，∴a＝，
即a＝，由a>0，b>0得>0，则00，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.
答案 8
11.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________.
解析 法一 由题意可设P(x0>0)，
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4.
法二 设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.
答案 4
12.(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________.
解析 ＝＝＝2＋.
∵x>0，y>0且x＋2y＝4，
∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴≥，
∴2＋≥2＋＝.
答案
B级 能力提升
13.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.(－∞，6] D.[6，＋∞)
解析 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立.
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2，
则f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
答案 D
14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为( )
A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2
解析 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
答案 D
15.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
解析 ∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
答案 4
16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a
的取值范围是________.
解析 对任意x∈N*，f(x)≥3，
即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案
C级 创新猜想
17.(新定义题)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________.
解析 由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时取等号，
故函数f(x)的最小值为3.
答案 1 3
