选修1-1课时提升作业十2-1-2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质精讲优练课型
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课时提升作业 十
椭圆的简单几何性质
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2015·广东高考)已知椭圆 + =1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= ( )
A.9 B.4 C.3 D.2
【解析】选 C.由题意得:m2=25-42=9,
因为 m>0,所以 m=3.
2.(2016·烟台高二检测)椭圆 + =1 与 + =1(0
b>0)有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标
是 ( )
A.(± ,0) B.(0,± )
C.(± ,0) D.(0,± )
【解析】选 A.直线 x+2y=2 与坐标轴的交点为椭圆的顶点,
又因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以 a=2,b=1,
所以 c= = .
所以椭圆的焦点坐标是(± ,0).
4.(2016·南昌高二检测)椭圆 + =1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是
F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D. -2
【 解 析 】 选 B. 因 为 A,B 分 别 为 左 右 顶 点 ,F1,F2 分 别 为 左 右 焦 点 , 所 以
|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即
a2=5c2,所以离心率 e= .
【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C.2- D. -1
【解析】选 D.设椭圆方程为 + =1(a>b>0),
因为 F1(-c,0),所以 P(-c,yP)代入椭圆方程得
+ =1,所以 = ,
又因为 b2=a2-c2,所以 =2c,所以 e2+2e-1=0,又 0b>0)的长轴,若把线段 AB 分为 100 等份,过每个分点作 AB 的垂线,
分别交椭圆的上半部分于点 P1,P2,…,P99,F1 为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…
+|F1P99|+|F1B|的值是 ( )
A.98a B.99a C.100a D.101a
【解析】选 D.设 F2 为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性
有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,
因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.
故结果应为 50×2a+|F1P50|=101a.
【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选 C 而致错.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,且长轴长为 12,离心率
为 ,则椭圆方程为 .
【解析】因为椭圆的焦点在 y 轴上,
所以设椭圆的方程为 + =1(a>b>0).
由 得
由 a2=b2+c2,得 b2=32.
故椭圆的方程为 + =1.
答案: + =1
7.(2016·济南高二检测)已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为 .
【解析】由椭圆的标准方程,易知 m>0 且 m≠5.
①若 05,则 a2=m,b2=5.
由 =1- = ,得 m= .
所以 m 的值为 3 或 .
答案:3 或
8.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 ·
的最大值为 .
【解题指南】设 P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.
【解析】由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 =3 ,因为
=(x0+1,y0), =(x0,y0),所以 · =x0(x0+1)+ =x0(x0+1)+
3 = +x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当
x0=2 时, · 取得最大值 +2+3=6.
答案:6
【误区警示】解题中容易不考虑 x0 的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵
坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率.
【解析】设椭圆方程为
+ =1(a>b>0),则 M(c, b).
代入椭圆方程,得 + =1,所以 = ,
所以 = ,即 e= .
【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c.则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M
点的坐标为(c, b),
则△MF1F2 为直角三角形.
在 Rt△MF1F2 中,
|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
即 4c2+ b2=|MF1|2.
而|MF1|+|MF2|= + b=2a,
整理得 3c2=3a2-2ab.
又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 = .
所以 e2= = =1- = ,
所以 e= .
10.(2016·潍坊高二检测)如图,已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,A
为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.
(2)若 =2 , · = ,求椭圆的方程.
【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2 为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c.
所以 a= c,e= = .
(2)由题意知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).
其中,c= ,设 B(x,y).
由 =2 ⇔(c,-b)=2(x-c,y),
解得 x= ,y=- ,即 B .
将 B 点坐标代入 + =1,得 + =1,
即 + =1,解得 a2=3c2.①
又由 · =(-c,-b)· =
⇒b2-c2=1,即有 a2-2c2=1.②
由①②解得 c2=1,a2=3,
从而有 b2=2.
所以椭圆方程为 + =1.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.( 2016·武汉高二检测)椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,椭圆 C 与 x 轴正半轴交于
点 A,与 y 轴正半轴交于 B(0,2),且 · =4 +4,则椭圆 C 的方程
为 ( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
【解析】选 C.由已知得 F(c,0),A(a,0),B(0,2),
所以 · =(c,-2)·(a,-2)=ac+4=4 +4,
所以
解得 a2=8,b2=4.
所以椭圆 C 的方程为 + =1.
2.(2016·长春高二检测)如图,F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>0,b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O
为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离
心率为 ( )
A. B. C. D. -1
【解析】选 D.由题意知 A .
把 A 代入椭圆 + =1(a>b>0),得 + =1,
所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),
整理,得 e4-8e2+4=0,
所以 e2= =4±2 .因为 00,所以 a2>1,
所以 1b>0)的右焦点,直
线 y= 与椭圆交于 B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
【解题指南】利用 kBF·kCF=-1 计算得出离心率的值.
【解析】将直线 y= 与椭圆的方程联立得 B ,C ,F(c,0),
则 kBF= ,kCF= ,
因为∠BFC=90°,所以 kBF·kCF= × =-1,
整理得 b2=3a2-4c2,所以 a2-c2=3a2-4c2,
即 3c2=2a2⇒e= = .
答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.已知椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 是椭圆上的一个动点,求 · 的取值范围.
【解析】由 + =1,得 F1(- ,0),F2( ,0),
设 P(x0,y0),则 =(- -x0,-y0),
=( -x0,-y0).
所以 · =( -5)+ .①
又 + =1,所以 =4- ,代入①,
得 · = -1,
因为 0≤ ≤9,所以 0≤ ≤5,
所以-1≤ · ≤4,
所以 · ∈.
【误区警示】本题易出现只注意到 ≥0 得出 · ≥-1 的错误,错误的原因是忽视
了点 P(x0,y0)在椭圆上,x0 应满足 x0∈.
6.已知椭圆 x2+ =1(00,所以 b=c,结合 b2=1-c2 得 b2= ,
所以椭圆的方程为 x2+ =1,即 x2+2y2=1.
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