人教版高中数学选修4-4练习：第二讲三直线的参数方程word版含解析

人教版高中数学选修4-4练习：第二讲三直线的参数方程word版含解析

第二讲 参数方程 三、直线的参数方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1．直线 x＝1＋tcos α， y＝－2＋tsin α (α为参数，0≤α<π)必过点( ) A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(2，－1) 解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的 直线． 答案：A 2．对于参数方程 x＝1－tcos 30°， y＝2＋tsin 30° 和 x＝1＋tcos 30°， y＝2－tsin 30°， 下列结 论正确的是( ) A．是倾斜角为 30°的两平行直线 B．是倾斜角为 150°的两重合直线 C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线 D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解 析 ： 因 为 参 数 方 程 x＝1－tcos 30°， y＝2＋tsin 30°， 可 化 为 标 准 形 式 x＝1＋tcos 150°， y＝2＋tsin 150°， 所以其倾斜角为 150°. 同理，参数方程 x＝1＋tcos 30°， y＝2－tsin 30°， 可化为标准形式 x＝1＋（－t）cos 150°， y＝2＋（－t）sin 150°， 所以其倾斜角也为 150°. 又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B 3．若直线 x＝1－2t， y＝2＋3t (t 为参数)与直线 4x＋ky＝1 垂直，则常数 k＝( ) A.8 3 B．－6 C．6 D．－8 3 解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－3 2 ， 由题意得直线 4x＋ky＝1 的斜率为－4 k ， 故－3 2 × －4 k ＝－1，解得 k＝－6. 答案：B 4．直线 x＝tcos θ， y＝tsin θ (t 是参数，0≤θ<π)与圆 x＝4＋2cos α， y＝2sin α (α 是参数)相切，则θ＝( ) A.π 3 B.2π 3 C.π 6 或5π 6 D.π 3 或2π 3 解析：直线为 y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相 切，所以圆心(4，0)到直线 xtan θ－y＝0 的距离等于半径 2，即 |4tan θ| tan2θ＋1 ＝2，解得 tan θ＝± 3 2 ，易知θ＝π 6 或5π 6 . 答案：C 5．若圆的方程为 x＝－1＋2cos θ， y＝3＋2sin θ (θ为参数)，直线的方程为 x＝2t－1， y＝6t－1 (t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( ) A．相交过圆心 B．相交而不过圆心 C．相切 D．相离 解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是 2，直线的普通方程是 3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2| 10 ＝2 10 5 ＝ 8 5<2，故 直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题 6．已知直线的参数方程是 x＝－1－tsin π 6 ， y＝2＋tcos π 6 (t 为参数)，则直线 的倾斜角的大小是________． 解析：将直线的参数方程化简，得 x＝－1－1 2t， y＝2＋ 3 2 t (t 为参数)．消 去参数 t，得直线的普通方程为 y＝－ 3x－ 3＋2，因为直线的斜率 是－ 3，故倾斜角的大小是2π 3 . 答案：2π 3 [来源:Z。xx。k.Com] 7．已知直线 l：x＝2t， y＝1＋4t(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心 C 到直线 l 的距离为________．[来源:学科网 ZXXK] 解析：直线 l 的普通方程为 2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐 标方程为 x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)． 故圆心 C 到直线 l 的距离为|2－0＋1| 22＋12 ＝3 5 5 . 答案：3 5 5 [来源:学科网] 8．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： x＝t， y＝t－a(t 为参数)过椭 圆 C： x＝3cos φ， y＝2sin φ (φ为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________． 解析：直线 l： x＝t， y＝t－a，消去参数 t 后得 y＝x－a. 椭圆 C： x＝3cos φ， y＝2sin φ， 消去参数φ后得x2 9 ＋y2 4 ＝1. 又椭圆 C 的右顶点为(3，0)，代入 y＝x－a 得 a＝3. 答案：3[来源:学科网 ZXXK] 三、解答题 9 ． 已 知 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x＝1＋4cos θ， y＝2＋4sin θ (θ为参数)，直线 l 经过定点 P(3，5)，倾斜角为π 3. (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程； (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)曲线 C：(x－1)2＋(y－2)2＝16， 直线 l： x＝3＋1 2t， y＝5＋ 3 2 t (t 为参数)． (2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程可得 t2＋(2＋3 3)t－3＝0， 设 t1，t2 是方程的两个根，则 t1t2＝－3， 所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3. 10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0 的直线与 x 轴的交点为 P，与椭圆 x＝2cos θ， y＝sin θ (θ为参数)交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|. 解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0 的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1， 所以直线与 x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标 化为直角坐标还是(1，0)]， 所以直线的参数方程为 x＝1－ 2 2 t， y＝ 2 2 t (t 为参数)．① 椭圆的普通方程为 x2＋4y2＝4，② 将①代入②中，得 5t2－2 2t－6＝0，③ 因为Δ＝128>0，根据参数 t 的几何意义知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|＝6 5. B 级 能力提升 1．一条直线的参数方程是 x＝1＋1 2t， y＝－5＋ 3 2 t (t 为参数)，另一条直线 的方程是 x－y－2 3＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离 是( ) A．2 3 B．4 3 C. 3 2 D. 3 4 解析：由题意可知，点(1，－5)在直线 x＝1＋1 2t， y＝－5＋ 3 2 t (t 为参数)上．将 参数方程代入 x－y－2 3＝0，得 6＋ 1 2 － 3 2 t＝2 3，所以 t＝2 3－6 1 2 － 3 2 ＝4 3，根据 t 的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距 离是 4 3. 答案：B 2．已知直线 C1 的参数方程 x＝t－1， y＝2t＋1 (t 为参数)，曲线 C2 的极 坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线 C1，C2 相交于 A，B 两点，则|AB|＝ ________． 解析：曲线 C2 的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标 方程为 x2＋y2－4y＝0， 将 C1： x＝t－1， y＝2t＋1，代入，得 5t2－6t－2＝0， 则 t1 ＋ t2 ＝ 6 5 ， t1t2 ＝ － 2 5 ， 则 |AB| ＝ 1＋22 |t1 － t2| ＝ 5· （t1＋t2）2－4t1t2＝ 5× 6 5 2＋4×2 5 ＝2 95 5 . 答案：2 95 5 3．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标 系，已知曲线 C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点 P(－2， －4)的直线 l 的参数方程为： x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点． (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；[来源:Zxxk.Com] (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值． 解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标 方程为 y2＝2ax， 直线 x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)化为普通方程为 y＝x－2. (2)将 x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t 代入 y2＝2ax 得 t2－2 2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0. 则有 t1＋t2＝2 2(4＋a)，t 1t2＝8(4＋a)， 因为|MN|2＝|PM|·|PN|. 所以(t1－t2)2＝t1·t2， 即(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2－5t1t2＝0， 故 8(4＋a)2－40(4＋a)＝0， 解得 a＝1 或 a＝－4(舍 去)． 故所求 a 的值为 1.