【数学】2020届一轮复习北师大版充要条件课时作业
2020届一轮复习北师大版 充要条件 课时作业
1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
2．“cosα＝－”是“α＝2kπ＋，k∈Z”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当α＝2kπ＋，k∈Z时，cosα＝－；反过来，若cosα＝－，则α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.所以“cosα＝－”是“α＝2kπ＋，k∈Z”的必要不充分条件．
3．设{an}是等比数列，则“a1
0时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列，当a1<0时，解得03，即m>2.
6．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明 (1)必要性：由<，
得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0，及x>y，得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
一、选择题
1．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由cos2α＝cos2α－sin2α，∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．
2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
3．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0 D．2x<1
答案 B
解析 ∵|x|＝x⇔x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
4．“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0与直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由两直线平行，可得解得a＝－1；当a＝－1时，两直线的方程分别为x－3y－3＝0和x－3y＋1＝0，可知两直线平行．故“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0与直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的充要条件．
5．设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件．s是r的充要条件，则s是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由题可知，pqr⇔s，则p⇒s，sp，故s是p的必要不充分条件．
二、填空题
6．“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．
答案 a<－1
解析 函数y＝x2－2x－a没有零点⇔Δ＝(－2)2－4×1×(－a)<0⇔a<－1.
7．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
答案 －1
解析 由x2＞1得x＜－1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，即{x|x＜a}{x|x＜－1或x＞1}．所以a的最大值为－1.
8．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的充要条件是________．
答案 00)上不是单调函数⇔⇔00时，A＝[a,3a]，此时有解得1≤a≤2；
当a<0时，A＝[3a，a]，此时A∩B＝∅，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1,2]．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明 (充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．
于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，又{an}为等比数列，∴＝p，
故＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
