2019届二轮复习（文）算法、复数、推理与证明学案

2019届二轮复习（文）算法、复数、推理与证明学案

第一讲 算法、复数、推理与证明 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析 2018 Ⅰ卷 复数除法运算及模的运算·T2 1.程序框图是每年高考的必考 内容，主要考查循环结构的程序 框图的输出功能以及判断框内 循环体结束条件的填充，多为选 择题或填空题，试题难度不大． 2.对复数的考查，难度一般为容 易，常在选择题或填空题的前两 题的位置呈现．一般考查三个方 面：一是复数的概念，如实部、 虚部、模、共轭复数等；二是复 数的四则运算；三是复数的几何 意义． 3.推理与证明考查频次较低. Ⅱ卷 复数乘法运算·T1 程序框图问题·T8 Ⅲ卷 复数的乘法运算·T2 2017 Ⅰ卷 循环结构程序框图的判断条件问题·T10 复数的运算与纯虚数概念·T3 Ⅱ卷 循环结构程序框图的结果输出问题·T10 复数的乘法运算·T2 推理问题·T9 Ⅲ卷 循环结构程序框图的输入值的判断·T8 复数的几何意义·T2 2016 Ⅰ卷 循环结构程序框图的输出功能·T10 复数的概念与运算·T2 Ⅱ卷 循环结构程序框图的输出功能(以秦九 韶算法为背景)·T9 共轭复数·T2 推理问题·T16 Ⅲ卷 循环结构程序框图的输出功能·T8 共轭复数，复数的基本运算·T2 复数 授课提示：对应学生用书第 56 页 [悟通——方法结论] 1．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 (1)z 是实数⇔b＝0； (2)z 是虚数⇔b≠0； (3)z 是纯虚数⇔a＝0 且 b≠0. 2．共轭复数 复数 a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是 a－bi(a，b∈R)． 3．复数的四则运算法则 (1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； (2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i； (3)(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(a，b，c，d∈R)． 提醒：记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i；(3)1－i 1＋i ＝－i；(4)a＋bi i ＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝ －1，i4n＋3＝－i(n∈N)． [全练——快速解答] 1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设 z＝1－i 1＋i ＋2i，则|z|＝( ) A．0 B.1 2 C．1 D. 2 解析：∵z＝1－i 1＋i ＋2i＝ 1－i2 1＋i1－i ＋2i＝－2i 2 ＋2i＝i， ∴|z|＝1. 故选 C. 答案：C 2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D．2 解析：法一：由(1＋i)z＝2i 得 z＝ 2i 1＋i ＝1＋i， ∴|z|＝ 2. 故选 C. 法二：∵2i＝(1＋i)2， ∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得 z＝1＋i， ∴|z|＝ 2. 故选 C. 答案：C 3．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1 z ∈R，则 z∈R； p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2； p4：若复数 z∈R，则 z ∈R. 其中的真命题为( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 对于 p1，若1 z ∈R，即 1 a＋bi ＝ a－bi a2＋b2 ∈R，则 b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以 p1 为真命题． 对于 p2，若 z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则 ab＝0. 当 a＝0，b≠0 时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以 p2 为假命题． 对于 p3，若 z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则 a1b2＋a2b1 ＝0.而 z1＝ z 2，即 a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为 a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－ b2，所以 p3 为假命题． 对于 p4，若 z∈R，即 a＋bi∈R，则 b＝0⇒ z ＝a－bi＝a∈R，所以 p4 为真命题． 故选 B. 答案：B 4．(2017·高考天津卷)已知 a∈R，i 为虚数单位，若a－i 2＋i 为实数，则 a 的值为________． 解析：∵a∈R，a－i 2＋i ＝a－i2－i 2＋i2－i ＝2a－1－a＋2i 5 ＝2a－1 5 －a＋2 5 i 为实数，∴－a＋2 5 ＝ 0，∴a＝－2. 答案：－2 【类题通法】 复数的概念及运算问题的解题技巧 (1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为 mi(m∈R 且 m≠0)，利用复数相等求 解． (2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用待定系 数法求解． 算法 授课提示：对应学生用书第 57 页 [悟通——方法结论] 算法的两种基本逻辑结构 (1)循环结构分为当型和直到型两种． (2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环 体，不满足时则停止． (3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时 执行循环体，满足则停止． [全练——快速解答] 1．(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a＝－1，则输出的 S＝ ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：当 K＝1 时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行 K＝K＋1 后，K＝2； 当 K＝2 时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行 K＝K＋1 后，K＝3； 当 K＝3 时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行 K＝K＋1 后，K＝4； 当 K＝4 时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行 K＝K＋1 后，K＝5； 当 K＝5 时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行 K＝K＋1 后，K＝6； 当 K＝6 时，S＝－3＋1×6＝3，执行 K＝K＋1 后，K＝7＞6. 输出 S＝3.结束循环． 故选 B. 答案：B 2．(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的 正整数 N 的最小值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：假设 N＝2，程序执行过程如下： t＝1，M＝100，S＝0， 1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－100 10 ＝－10，t＝2， 2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－10 10 ＝1，t＝3， 3＞2，输出 S＝90＜91.符合题意． ∴N＝2 成立．显然 2 是最小值． 故选 D. 答案：D 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋…＋ 1 99 － 1 100 ，设计了如图所示的程序 框图，则在空白框中应填入( ) A．i＝i＋1 B．i＝i＋2 C．i＝i＋3 D．i＝i＋4 解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下. 循环 次数 ① ② ③ … ○50 N 0＋1 1 0＋1 1 ＋1 3 0＋1 1 ＋1 3 ＋1 5 … 0＋1 1 ＋1 3 ＋1 5 ＋…＋ 1 99 T 0＋1 2 0＋1 2 ＋1 4 0＋1 2 ＋1 4 ＋1 6 … 0＋1 2 ＋1 4 ＋1 6 ＋…＋ 1 100 S 1－1 2 1－1 2 ＋1 3 －1 4 1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋1 5 －1 6 … 1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋…＋ 1 99 － 1 100 因为 N＝N＋1 i ，由上表知 i 是 1→3→5，…，所以 i＝i＋2. 故选 B. 答案：B 4．(2018·西安八校联考)如图是求样本 x1，x2，…，x10 的平均数 x 的程序框图，则空白 框中应填入的内容为( ) A．S＝S＋xn B．S＝S＋xn n C．S＝S＋n D．S＝S＋xn 10 解析：由题可知，该程序的功能是求样本 x1，x2，…，x10 的平均数 x ，由于“输出 x ” 的前一步是“ x ＝S n ”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为 S＝S＋xn. 答案：A 【类题通法】 解答程序框图(流程图)问题的方法 (1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加 求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构． (2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环 体和输入条件、输出结果． (3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果， 找出规律. 推理与证明 授课提示：对应学生用书第 58 页 [悟通——方法结论] 两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程： 试验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般结论 (2)类比推理的思维过程： 试验、观察 → 联想、类推 → 猜测新的结论 [全练——快速解答] 1．(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老 师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩， 给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 解析：依题意，四人中有 2 位优秀，2 位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知 道自己的成绩，则乙、丙必有 1 位优秀，1 位良好，甲、丁必有 1 位优秀，1 位良好，因此， 乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此 选 D. 答案：D 2．(2018·日照模拟)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外 接圆面积为 S2，则S1 S2 ＝1 4.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切 球体积为 V1，外接球体积为 V2，则V1 V2 ＝________. 解析：设正四面体 ABCD 的棱长为 a，高为 h，四个面的面积均为 S，内切球半径为 r， 外接球半径为 R，则由 4×1 3 Sr＝1 3Sh，得 r＝1 4h＝1 4 × 6 3 a＝ 6 12a. 由相似三角形的性质可得 R＝ 6 4 a， 所以V1 V2 ＝ r R 3＝ 1 27. 答案： 1 27 3．根据下面一组等式： s1＝1， s2＝2＋3＝5， s3＝4＋5＋6＝15， s4＝7＋8＋9＋10＝34， s5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， s6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， …… 可得 s1＋s3＋s5＋…＋s2n－1＝________. 解析：n＝1 时，结果为 s1＝1＝14； n＝2 时，结果为 s1＋s3＝1＋15＝16＝24； n＝3 时，结果为 s1＋s3＋s5＝16＋65＝81＝34； …… 由此可以推知 s1＋s3＋s5＋…＋s2n－1＝n4. 答案：n4 【类题通法】 合情推理的解题思路 (1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而 归纳出一般结论． (2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出 类比对象的性质． (3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 授课提示：对应学生用书第 135 页 一、选择题 1．(2018·福州四校联考)如果复数 z＝ 2 －1＋i ，则( ) A．z 的共轭复数为 1＋i B．z 的实部为 1 C．|z|＝2 D．z 的实部为－1 解析：∵z＝ 2 －1＋i ＝ 2－1－i －1＋i－1－i ＝－2－2i 2 ＝－1－i，∴z 的实部为－1，故选 D. 答案：D 2．(2018·辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的 x＝－10，则输出的 y ＝( ) A．0 B．1 C．8 D．27 解析：开始 x＝－10，满足条件 x≤0，x＝－7；满足条件 x≤0，x＝－4，满足条件 x≤0， x＝－1；满足条件 x≤0，x＝2，不满足条件 x≤0，不满足条件 y＝23＝8.故输出的 y＝8.故选 C. 答案：C 3．i 是虚数单位，则复数 i(2 018－i)在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：复数 i(2 018－i)＝1＋2 018i，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选 A. 答案：A 4．(2018·广州模拟)若复数 z 满足(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝( ) A.2 5 B.3 5 C. 10 5 D. 10 解析：法一：由(1＋2i)z＝1－i，可得 z＝ 1－i 1＋2i ＝ 1－i1－2i 1＋2i1－2i ＝1－2i－i－2 5 ＝－1 5 －3 5i， 所以|z|＝ 1＋9 5 ＝ 10 5 ，选 C. 法二：由(1＋2i)z＝1－i 可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i||z|＝|1－i|，得到 5|z|＝ 2，故|z| ＝ 10 5 ，选 C. 答案：C 5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已 知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下 列判断正确的是( ) A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙 的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选 C. 答案：C 6．(2018·沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的 x 的值为( ) A．－3 B．－3 或 9 C．3 或－9 D．－9 或－3 解析：当输出的 y＝0 时，若 x≤0，则 y＝(1 2)x－8＝0，解得 x＝－3，若 x＞0，则 y＝2 －log3x＝0，解得 x＝9，两个值都符合题意，故选 B. 答案：B 7．(2018·长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( ) A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 017 项和 B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 018 项和 C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和 D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和 解析：由程序框图可得 S＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为 1，公差 为 4 的等差数列的前 1 009 项和．故选 C. 答案：C 8．(2018·山西八校联考)已知 a，b∈R，i 为虚数单位，若 3－4i3＝2－bi a＋i ，则 a＋b 等于 ( ) A．－9 B．5 C．13 D．9 解析：由 3－4i3＝2－bi a＋i 得，3＋4i＝2－bi a＋i ，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i ＝2－bi，则 3a－4＝2， 4a＋3＝－b， 解得 a＝2， b＝－11， 故 a＋b＝－9，故选 A. 答案：A 9．(2018·石家庄模拟)当 n＝4 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为( ) A．9 B．15 C．31 D．63 解析：执行程序框图，k＝1，S＝1；S＝3，k＝2；S＝7，k＝3；S＝15，k＝4；S＝31， k＝5＞4，退出循环．故输出的 S＝31，故选 C. 答案：C 10．(2018·西安八校联考)如图给出的是计算1 2 ＋1 4 ＋1 6 ＋…＋ 1 2 014 ＋ 1 2 016 的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是( ) A．i≤2 014? B．i≤2 016? C．i≤2 018? D．i≤2 020? 解析：依题意得，S＝0，i＝2；S＝0＋1 2 ，i＝4；…；S＝0＋1 2 ＋1 4 ＋…＋ 1 2 014 ＋ 1 2 016 ，i ＝2 018 不满足，输出的 S＝1 2 ＋1 4 ＋1 6 ＋…＋ 1 2 014 ＋ 1 20 16 ，所以题中的判断框内应填入的是 “i≤2 016”． 答案：B 11．(2018·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五 关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关 所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第 1 关收税金为持金的 1 2 ，第 2 关收税金为剩余金的1 3 ，第 3 关收税金为剩余金的1 4 ，第 4 关收税金为剩余金的1 5 ，第 5 关收税金为剩余金的1 6 ，5 关所收税金之和，恰好重 1 斤．问此人总共持金多少．则在此问 题中，第 5 关收税金( ) A. 1 20 斤 B. 1 25 斤 C. 1 30 斤 D. 1 36 斤 解析：假设原来持金为 x，则第 1 关收税金 1 2x；第 2 关收税金1 3(1－1 2)x＝ 1 2×3 x；第 3 关收税金1 4(1－1 2 －1 6)x＝ 1 3×4x；第 4 关收税金1 5(1－1 2 －1 6 － 1 12)x＝ 1 4×5x；第 5 关收税金1 6(1－1 2 －1 6 － 1 12 － 1 20)x＝ 1 5×6x.依题意，得 1 2x＋ 1 2×3x＋ 1 3×4x＋ 1 4×5x＋ 1 5×6x＝1，即(1－1 6)x＝1，5 6x ＝1，解得 x＝6 5 ，所以 1 5×6x＝ 1 5×6 ×6 5 ＝ 1 25.故选 B. 答案：B 12．(2018·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对 万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的 思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数 字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是( ) A．33 B．34 C．36 D．35 解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“ ”表示的二进制数为 100010，转化为十进制数为 0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选 B. 答案：B 二、填空题 13．若a＋bi i (a，b∈R)与(2－i)2 互为共轭复数，则 a－b＝________. 解析：a＋bi i ＝ia＋bi i2 ＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以 b ＝3，a＝－4，所以 a－b＝－4－3＝－7. 答案：－7 14．(2018·昆明模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多 1 项的规则排成如下数 阵： a1 a2，a3 a4，a5，a6 a7，a8，a9，a10 …… 若第 11 行左起第 1 个数为 am，则 m＝________. 解析：要求这个数阵第 11 行左起的第 1 个数是这个数列中的第几项，只需求出这个数 阵的前 10 行共有几项即可．因为第 1 行有 1 项，且每一行都比上一行多 1 项，所以前 10 行共有 1＋2＋3＋…＋10＝10×1＋10 2 ＝55 项，所以 m＝56. 答案：56 15．在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列{an}的 首项为 a1，公差为 d，根据等差数列的定义，可以得到 a2－a1＝d，a3－a2＝d，…，an－an－ 1＝d，将以上 n－1 个式子相加，即可得到 an＝a1＋(n－1)d.“斐波那契数列”是数学史上一 个著名的数列，在“斐波那契数列”{an}中，令 a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，an＋2＝an＋1＋an(n ∈N*)，当 a2 018＝t 时，根据上述方法可知数列{an}的前 2 016 项和是________． 解析：由题意知，a3－a2＝a1，a4－a3＝a2，…，a2 018－a2 017＝a2 016， 将以上 2 016 个式子相加，可得 a2 018－a2＝a1＋a2＋…＋a2 016＝S2 016. 因为 a2 018＝t，所以 S2 016＝t－1.故答案为 t－1. 答案：t－1 16．(2018·重庆模拟)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各 科课时数满足以下三个条件： ①数学课时数多于物理课时数； ②物理课时数多于体育课时数； ③体育课时数的两倍多于数学课时数． 则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为________． 解析：法一：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为 x，y， z，则由题意，得 x－y≥1， y－z≥1， 2z－x≥1， x，y，z∈N*， 则该学生的素质拓展课课表中的课时数为 x＋y＋z.设 x＋y＋z＝p(x－y)＋q(y－z)＋r(2z－x)＝(p－r)x＋(－p＋q)y＋(－q＋2r)z，比较等式两边的系 数，得 p－r＝1， －p＋q＝1， －q＋2r＝1， 解得 p＝4，q＝5，r＝3，则 x＋y＋z＝4(x－y)＋5(y－z)＋3(2z－x)≥4 ＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为 12. 法二：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为 x，y，z，则 2z＞x＞y＞z.由题意，知 z 的最小值为 3，由此易知 y 的最小值为 4，x 的最小值为 5，故该 学生的素质拓展课课表中的课时数 x＋y＋z 的最小值为 12. 答案：12