2020届二轮复习利用几何关系求解圆锥曲线问题学案（全国通用）

2020届二轮复习利用几何关系求解圆锥曲线问题学案（全国通用）

微专题 74 利用几何关系求解最值问题 一、基础知识： 1、利用几何关系求最值的一般思路: （1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关 （2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时， 便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法 取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的， 寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在 定点连成的线段延长线上。 （3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段 用其它线段进行表示，进而找到最值位置 （4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时 最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。 2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段（详见例 1） （2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切 线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。 （3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的 相互转化。 （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注 意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题： （1）已知圆C 及圆外一定点 P ，设圆C 的半径为 r 则圆上点到 P 点 距离的最小值为 PM PC r  ，最大值为 PN PC r  （即连 结 PC 并延长， M 为 PC 与圆的交点， N 为 PC 延长线与圆的交点 （2）已知圆C 及圆内一定点 P ，则过 P 点的所有弦中最长的为直径， 最短的为与该直径垂直的弦 MN 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为 2 22AB r d  ，若 AB 最小，则 d C P A B 要取最大，在圆中 CP 为定值，在弦绕 P 旋转的过程中， d CP ，所以 d CP 时， AB 最小 （3）已知圆 C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的 最小值为 C lPM d r  ，距离的最大值为 C lPN d r  （过圆心C 作l 的垂线，垂足为 P ，CP 与圆 C 交于 M ，其 反向延长线交圆C 于 N （4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的 切线，切线长的最小值为 PM 解： 2 2PM CP r  ，则若 PM 最小，则只需 CP 最小即可， 所以 P 点为过C 作l 垂线的垂足时， CP 最小 过 P 作圆的切线，则切线长 PM 最短 4、与圆锥曲线相关的最值关系： （1）椭圆：设椭圆方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ① 焦半径：焦半径的最大值为 a c ，最小值为 a c ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为 22b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （2）双曲线：设双曲线方程为   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     ① 焦半径：焦半径的最小值为 a c ，无最大值 ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为 22b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （3）抛物线：设抛物线方程为 2 2y px ① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 2 p ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 2p 二、典型例题： l M C P N l C P M 例 1：已知在平面直角坐标系中，点    1,1 , 3,4A B ， P 为 x 轴上一动点，则 PA PB 的 最小值为___________ 思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大 于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得： 5AB  ，但从图像上发现无论 P 在何处， PA PB AB  ，无法取到等号。（即使 , ,P A B 共线时 等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线 段。作 A 关于 x 轴的对称点 'A ，从而有 'AP A P ，所 以 PA PB 转化为 'PA PB ，可知当 ' , ,A P B 三点共线时，  ' ' min 41PA PB A B   ，即 min 41PA PB  答案： 41 小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。 同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。 （2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段 转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件 例 2：设抛物线 2 4y x 上一点 P 到此抛物线准线的距离为 1d ，到直线 :3 4 12 0l x y   的 距离为 2d ，则 1 2d d 的最小值为（ ） A. 3 B. 16 5 C. 18 5 D. 4 思路：通过作图可观察到直接求 1 2d d 的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可 得 1d 为 P 到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为 PF （其中 F 是抛物线的焦点，  1,0F ），所以 1 2 2d d PF d   ， 观察图像可得： 2 3 1 12 35F lPF d d       答案：A 例 3：已知过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的弦与抛物线交于 ,A B 两点，过 ,A B 分别作 y 轴的垂 线，垂足分别为 ,C D ，则 AC BD 的最小值为__________ 思路：设抛物线的准线为l ，由抛物线 2 4y x 可知 : 1l x   ， 观察图像可知 1, 1A l B lAC d BD d     。而由抛物线定义可 得 ： ,A l B ld AF d BF   ， 所 以 1 1 2AC BD AF BF AB       ， 即 要 求 出 AC BD 的最小值，只需求出 AB 的最小值，即抛物线焦点弦 的最 小值 ，由抛 物线 性质可 知当 AB x 轴时 ， AB 最小， min 2 4AB p  ，所以  min 2AC BD  答案： 2 例 4：已知点 3, 12P    在抛物线  2: 2 0E x py p  的准线上，过点 P 作抛物线的切线， 若 切 点 A 在 第 一 象 限 ， F 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 点 M 在 直 线 AF 上 ， 点 N 在 圆    2 2: 2 2 1C x y    上，则 MN 的最小值为（ ） A. 1 5 B. 6 5 C. 2 D. 6 2 1 思路：由图像可知，固定 M 点，则圆C 上到 M 距离的最小值 1CM r CM   ，所以只 需在直线上找到与圆心C 距离最小的点，即C 到直线 AF 的 距离。需要确定抛物线方程和 A 点坐标，由 3, 12P    可得准 线 方 程 为 1y   ， 所 以 2p  ， 抛 物 线 方 程 为 2 214 4x y y x   ， 焦 点  0,1F 设 21, 4A a a     ， 则 ' 1 2y x ， 切 线 斜 率 1 2k a ， 从 而 21 1 14 43 2 2 a k a a a       ， 即  4,4A ， 4 1 3 4 0 4AFk   ，所以直线 AF 方程：3 4 4 0x y   ，从而  min 22 6 8 4 11 53 4 MN        答案：A 例 5：抛物线 2y x  上的点到直线 4 3 8 0x y   距离的最小值是（ ） A. 1 4 B. 4 3 C. 8 5 D. 3 思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于 x 的函数，设抛物线上的点  2,P x x ，则 2 2 2 2034 3 8 3 3 20 1 4 5 5 3 5 3P l xx x d             ，所以最小值为 4 3 思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最 小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切 点坐标为  0 0,x y ，所求函数的导数 ' 2y x  ，因为切线与 4 3 8 0x y   平行，所以 0 42 3x   ，可得 0 2 3x  ，进而 2 0 0 4 9y x    ，故切线方程为： 4 4 2 9 3 3y x       ，整理后 可得： 44 3 03x y   ，所以两直线距离 48 3 4 5 3d        ， 即抛物线上的点到距离的最小值 答案：B 例 6 ： 已 知 点 M 是 抛 物 线 2 4y x 的 一 点 ， F 为 抛 物 线 的 焦 点 ， A 在 圆    2 2: 4 1 1C x y    上，则 MA MF 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 思路：本题含两个动点 ,M A ，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定 M ，则圆 上距离 M 最近的点为 MC 与圆的交点，即 min 1MA MC r MC    ，所以只需考虑 MC MF 的最小值即可，通过移动 M 可知，无论 M 位于何处， MC MF CF  ， 所以 CF 不是最小值。考虑转移线段，抛物线的准线 : 1l x   ，则 M lMF d  ，所以 5M l C lMC MF MC d d      （ 即 C 到 准 线 的 距 离 ， 所 以 1 1 4C lMA MF MC MF d        答案：C 例 7：已知动点  ,P x y 在椭圆 2 2 125 16 x y  上，若点 A 的坐标 为 3,0 ， 1, 0AM PM AM     ，则 PM  的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 思路：由椭圆方程可知 A 即为椭圆的焦点，由 1AM  可知 M 是以 A 为圆心，半径为 1 的 圆上的点，P 在圆外，且由 0PM AM   可得 PM AM ，所以 PM 即为圆上的切线，PM  的 最 小 值 即 切 线 长 的 最 小 值 ， 由 圆 的 性 质 可 得 ： 2 22 1PM PA r PA    ，所以只需找到 PA 的最小 值即可，由椭圆性质可知： min 5 3 2PA a c     ，故 2 min min 1 3PM PA   答案：B 例 8：设 1F 是椭圆 2 2 125 16 x y  的左焦点，P 是椭圆上的任意一点， 点 M 的坐标为  6,4 ，则 1PM PF 的最大值为___________ 思路：先作出椭圆图像，标出定点 1,M F 的位置，若从 1F M 入手， 则由图发现无论 P 在何处， 1 1PM PF F M  。与所求最大值 不符。考虑进行线段转移，发现 1PF 为左焦半径，所以考虑作出右焦点  2 3,0F ，利用 1 2 2 10PF PF a   进 行 线 段 转 移 。 即 1 210PM PF PM PF    ， 只 需 求 出  2 maxPM PF ， 结 合 图 像 可 得 2 2PM PF F M  ， 且    2 2 2 6 3 4 0 5F M      ，从而可得：  1 2max 10 15PM PF F M    答案：15 例 9：设 P 是椭圆 2 2 19 5 x y  上一点， ,M N 分别是两圆  2 2 1 : 2 1C x y   和 2 :C  2 22 1x y   上的点，则 PM PN 的最小值和最大值分别为（ ） A. 4,8 B. 2,6 C. 6,8 D. 8,12 思路：本题有三个动点 , ,P M N ，但观察可得 ,PM PN 之间没 有联系，所以若 PM PN 达到最小，则只需 ,PM PN 分别 达 到 最 小 即 可 。 固 定 P 点 ， 可 知 1 1 1 2 2 2min min1, 1PM PC r PC PN PC r PC        ，所以 1 2 2PM PN PC PC    ，可知    1 22,0 , 2,0C C 恰好为椭圆两个定点，所 以由椭圆定义可得： 1 2 2 6PC PC a   ，所以 min 6 2 4PM PN    ，同理可知： 1 1 1 2 2 2max max1, 1PM PC r PC PN PC r PC        ， 所 以  max 6 2 8PM PN    答案：A 例 10 ： 设 ,P Q 分 别 为  22: 6 2C x y   和 椭 圆 2 2 110 x y  上 的 点 ， 则 ,P Q 两 点 间 的 最 大 距 离 是 ___________ 思路：本题中 ,P Q 均为动点，所以考虑先固定一点不动， 比如Q 点，寻找此时达到最值时 P 位置的规律，进而再让 Q 运动起来，找到最值。观察图像可得Q 点固定时， PQ 达到的最大值时 P 在QC 延长线与 C 的交点处，即 PQ QC r  ，由于 2r  ，所以只需找到 QC 的最大值即可，设  ,Q x y ，而  0,6C ，则  2 22 6QC x y   ，由 2 2 110 x y  可得  2 210 1x y  ，代入 消去 x 可得：     2 2 22 2 210 1 6 9 12 46 9 503QC y y y y y               ，因为  1,1y   ，所以当 2 3y   时， 2 max 50 5 2QC QC   ，从而 6 2PQ QC r   答案： 6 2 三、历年好题精选 1、（2014，安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 , , 1, 0a b a b a b         ，点 Q 满足  2OQ a b    ，曲线  | cos sin ,0 2C P OP a b          ，区域  | 0 ,P r PQ R r R      ，若C  为两段分离的曲线，则（ ） A. 1 3r R   B. 1 3r R   C. 1 3r R   D. 1 3r R   2、已知直线 1 : 4 3 6 0l x y   和直线 2 : 1l x   ，则抛物线 2 4y x 上一动点 P 到直线 1 2,l l 的距离之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 11 5 D. 37 16 3、已知点  4,0A 和  2,2B ， M 是椭圆 2 2 125 9 x y  上一动点，则 MA MB 的最 大值为_________ 4、已知点 3, 12P    在抛物线  2: 2 0E x py p  的准线上，过点 P 作抛物线的切线，若切 点 A 在第一象限， F 是抛物线的焦点，点 M 在直线 AF 上，点 N 在圆    2 2: 2 2 1C x y    上，则 MN 的最小值为（ ） A. 1 5 B. 6 5 C. 2 D. 6 2 1 5、已知圆    2 2 1 : 2 3 1C x y    ，圆    2 2 2 : 3 4 9C x y    , ,M N 分别是圆 1 2,C C 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM PN 的最小值为 （ ） A．5 2 4 B． 17 1 C． 6 2 2 D． 17 6、（2016，绵阳二模）已知点 P 在单位圆 122  yx 上运动，点 P 到直线3 4 10 0x y   与 3x  的距离分别记为 1 2,d d ，则 1 2d d 最小值为_________． 7、已知点 P 是双曲线 2 2 136 64 x y  的右支上一点， ,M N 分别是圆  2 210 4x y   和  2 210 1x y   上的点，则 PM PN 的最大值为_________ 习题答案： 1、答案：A 解析：由 ,a b   的特点可以以 ,a b   所在直线为坐标轴建系，则有    1,0 , 0,1a b   ， 所以曲线C 上点的坐标为 cos ,sin  ，即圆心是原点的单位圆；另一方面  2, 2OQ  可得  2, 2 , 2Q OQ  ，所以 区域为以Q 为圆心， ,r R 为半径的 圆环。通过数形结合可得若C  为两段分离的曲线，意味着以Q 为圆心， ,r R 为 半径的圆均与单位圆相交。所以 1 1 1 3 1 OQ r R r R OQ R            2、答案：A 解析：观察直线 2l 的方程恰好是抛物线的准线，所以想到 P 到 2l 的距离与 PF 相等（ F 是抛 物线的焦点）。以此为突破口进行线段转移，所以 1 2 1P l P l P ld d d PF     ，通过作图观察 可得 1 1P l F ld PF d   （等号成立条件：P 为 F 到 1l 的垂线与抛物线的焦点），且  1,0F ， 所以  1 2 1min 4 0 6 25P l P l F ld d d        3、答案：10＋2 10 解析：可知 A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点 为  1 4,0A  ，连接 1BA 并延长交椭圆于 1M ，则 1M 是使 MA MB 取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点 M 有： 2 2 1 12 2 2 5 6 2 10 2 10MA MB a MA MB a A B            4、答案：A 解析：由点 3, 12P    在抛物线准线上可得： 2p  2 21: 4 4E x y y x    ' 1 2y x  设 21, 4A a a     2 ' 1 1 14| 3 2 2 AP x a a k y a a        解得： 4, 1a a   （舍）  4,4A 由  0,1F 可得 AF 的方程为： 31 3 4 4 04y x x y      M 在直线 AF 上， N 在圆上     2 2 3 2 4 2 4 6 11 15 53 4C lMN d r               5、答案：A 解析：设圆 1 2,C C 的半径为 1 2,r r ，即 1 2 1 3 r r    ，可知 1 1 2 2,PM PC r PN PC r    1 2 1 2 1 2 4PM PN PC PC r r PC PC         1 2,3C 关于 x 轴对称点为  ' 1 2, 3C     2 2' ' 1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 5 2PC PC PC PC C C           5 2 4PM PN    ，等号成立条件： ' 1 2, ,C C P 共线 6、答案： 4 55 5  解析：设点  cos ,sinP   ，可得 1 2 2 3cos 4sin 10 10 4sin 3cos 53 4 d          ， 2 3 cosd   ，所以    1 2 1 4 55 4sin 8cos 5 sin5 5d d           ，所以 1 2d d 的 最小值为 4 55 5  7、答案：15 解析：在双曲线 2 2 136 64 x y  中， 6, 8, 10a b c      1 210,0 , 10,0F F  1 2 2 12PF PF a   1 1 2 2,MP PF MF PN PF NF    1 1 2 2 15PM PN PF MF PF NF      