【数学】2019届一轮复习全国通用版第70讲不等式的证明学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版第70讲不等式的证明学案

第70讲　不等式的证明 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：·≥2，并简单应用．‎ ‎2．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．‎ ‎3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，23‎ ‎2017·江苏卷，21(D)‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，24‎ ‎2015·全国卷Ⅱ，24‎ 不等式的证明是对必修5中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主．另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向.‎ 分值：5～10分 ‎1．比较法 作差比较法与作商比较法的基本原理：‎ ‎(1)作差法：a－b＞0⇔__a＞b__.‎ ‎(2)作商法：＞__1__⇔a＞b(a＞0，b＞0)．‎ ‎2．综合法与分析法 ‎(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过__推理论证__而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．‎ ‎(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__充分条件__，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种__执果索因__的思考和证明方法．‎ ‎3．反证法 先假设要证的命题__不成立__，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的__推理__，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)__矛盾__的结论，以说明假设__不正确__，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．‎ ‎4．放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地__放大__或__缩小__以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．‎ ‎5．数学归纳法 数学归纳法证明不等式的一般步骤：‎ ‎(1)证明当__n＝n0__时命题成立；‎ ‎(2)假设当__n＝k__(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明__n＝k＋1__时命题也成立．‎ 综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．‎ ‎6．柯西不等式 ‎(1)二维柯西不等式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2) (c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．‎ ‎(2)三维柯西不等式：设a1，a2，a3，b1，b2，b3均为实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．‎ ‎(3)n维柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．‎ ‎7．排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a‎1c1＋a‎2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.‎ 当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)．‎ ‎(1)用反证法证明命题“a，b，c全为‎0”‎时假设为“a，b，c全不为‎0”‎. (　×　)‎ ‎(2)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　√　)‎ ‎2．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(　D　)‎ A．2　　 B．3　　　　‎ C．4　　 D．5‎ 解析 ∵为a，b的等差中项，∴a＋b＝×2＝1.‎ α＋β＝1＋＋＝1＋＝1＋，‎ ‎∵≤，∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝1时“＝”成立．‎ ‎∴α＋β≥1＋4，即α＋β的最小值为5，故选D．‎ ‎3．设a>0，b>0，若是‎3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　B　)‎ A．8　　 B．4　　　　‎ C．1　　 D． 解析 因为‎3a·3b＝3，所以a＋b＝1，‎ ＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当＝，即a＝b＝时“＝”成立，故选B．‎ ‎4．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为____，最小值点为____.‎ 解析 设x2＋y2＝r2，则直线3x＋4y－2＝0与圆x2＋y2＝r2有交点，所以r≥＝，当r＝时，直线与圆相切，切点为直线3x＋4y＝2与4x－3y＝0的交点．‎ 因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值点为.‎ ‎5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2都有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)>x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，则称函数f(x)为“Ζ函数”，以下函数中为“Ζ函数”的序号为__②④__.‎ ‎①y＝－x3＋1；②y＝3x－2sin x－2cos x；‎ ‎③y＝④y＝ 解析 由x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)>x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，得(x1－x2)·(f(x1)－f(x2))>0，即或即f(x)是R上的增函数，易知①是R上的减函数；③是R上的偶函数；对于②，y′＝3＋2sin>0，即②为增函数；对于④，根据其图象都可以判定为增函数．‎ 一　比较法证明不等式 比较法证明不等式的步骤 ‎ (1)作差(商)；(2)变形；(3)判断差的符号(商与1的大小关系)；(4)下结论，其中“变形”是关键．作差比较法中，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．‎ ‎【例1】 已知a，b，x，y∈(0，＋∞)，且＞，x＞y.求证：＞.‎ 证明 方法一　(作差比较法)‎ ‎∵－＝，又＞且a，b∈(0，＋∞)，‎ ‎∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay. ‎ ‎∴＞0，即＞.‎ 方法二　(分析法)∵x，y，a，b∈(0，＋∞)，‎ ‎∴要证＞，只需证明x(y＋b)＞y(x＋a)，‎ 即证xb＞ya.‎ 而由＞＞0，∴b＞a＞0.‎ 又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立．故原不等式成立．‎ 二　分析法和综合法证明不等式 分析法和综合法证明不等式的技巧 证明不等式，主要从目标式的结构特征，综合已知条件，借助相关定理公式探索思路，如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过“倒推”——分析法，寻找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件出发综合写出证明过程．‎ ‎【例2】 设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：a＋b＋c≥.‎ 证明 要证a＋b＋c≥，‎ 由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．‎ 即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 ‎ ‎(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．‎ ‎∴原不等式成立．‎ 另：按照分析法的思路，由下至上写出证明的过程，便是书写更简单的综合法了．‎ 三　柯西不等式的应用 柯西不等式的应用类型及解题策略 ‎(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件．‎ ‎(2)求解析式的值，利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值．‎ ‎(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明．‎ ‎【例3】 已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋‎3c2＋6d2＝5，求证：1≤a≤2.‎ 证明 由柯西不等式得(2b2＋‎3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋‎3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由已知可得2b2＋‎3c2＋6d2＝5－a2，b＋c＋d＝3－a，‎ ‎∴5－a2≥(3－a)2，即1≤a≤2.‎ 当且仅当＝＝，即2b＝‎3c＝6d时等号成立．‎ ‎1．设a>b>c>0，则‎2a2＋＋－‎10ac＋‎25c2的最小值是(　D　)‎ A．1　　 B．2　　　　‎ C．3　　 D．4‎ 解析 ‎2a2＋＋－‎10ac＋‎25c2‎ ‎＝(a－‎5c)2＋a2－ab＋ab＋＋ ‎＝(a－‎5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋≥0＋2＋2＝4.‎ 当且仅当a－‎5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，‎ 如取a＝，b＝，c＝满足条件，故选D．‎ ‎2．若P＝＋＋(x>0，y>0，z>0)，则P与3的大小关系为__P<3__. ‎ 解析 ∵1＋x>0,1＋y>0,1＋z>0，‎ ‎∴＋＋<＋＋＝3，即P<3.‎ ‎3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：··≥8.‎ 证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，b＋c≥2，‎ c＋a≥2，‎ ··＝≥＝8.‎ ‎4．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．‎ 证明 由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．‎ 易错点　混淆恒成立问题、无解问题和有解问题 错因分析：转化为最值问题时，弄错大小或忽略等号导致错误．‎ ‎【例1】 已知关于x的不等式－＜a，①恒成立；②无解；③有解；分别求a的取值范围．‎ 解析 设g(x)＝－，‎ 则g(x)＝则－2≤g(x)≤2，‎ 所以①a∈(2，＋∞)；②a∈(－∞，－2]；③a∈(－2，＋∞)．‎ ‎【跟踪训练1】 (2018·湖北七市州联考)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|2x－3|＋2.‎ ‎(1)解不等式g(x)<5；‎ ‎(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．‎ 解析 (1)g(x)<5⇔|2x－3|<3⇔－3<2x－3<3⇔0a2b＋ab2.‎ 证明 (a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.‎ 因为a，b都是正数，所以a＋b>0.‎ 又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，‎ 即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.‎ ‎2．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.‎ 证明 因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥‎2a2bc，①‎ 同理，b2(a2＋c2)≥2ab‎2c，②‎ c2(a2＋b2)≥2abc2，③‎ ‎①②③相加得2(a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2)≥‎2a2bc＋2ab‎2c＋2abc2，‎ 从而a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2≥abc(a＋b＋c)．‎ 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.‎ ‎3．(2017·安徽联考)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．‎ 解析 (1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝ 由f(x)>－1，‎ 得或或 解得00，所以a2－a＋1>，‎ 综上所述当0.‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，＜.‎ 解析 (1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，‎ 解得x>－1，即－10，b>0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明 (1)(a＋b)(a5＋b5) ＝a6＋ab5＋b6＋a5b ‎＝(a3＋b3)2－‎2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋‎3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎6．(2018·东北三校二模)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：‎ ‎(1)＋＋≤；‎ ‎(2)＋＋≥.‎ 证明 (1)∵由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，‎ 当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，‎ ‎∴＋＋≤.‎ ‎(2)∵由柯西不等式得 ‎[(‎3a＋1)＋(3b＋1)＋(‎3c＋1)]· ‎≥2＝9‎ ，又a＋b＋c＝1，‎ ‎∴6≥9，‎ ‎∴＋＋≥.‎