人教a版数学【选修1-1】作业：3-3-2函数的极值与导数（含答案）
3.3.2 函数的极值与导数
课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极
大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)
＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数 y＝f(x)在点 x
＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近
的左侧__________，右侧__________．
我们把点 a 叫做函数 y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数 y＝f(x)的__________；点 b
叫做函数 y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数 y＝f(x)的__________．极小值点、极大
值点统称为 __________，极大值和极小值统称为 ________．极值反映了函数在
____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质．
2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不
一定”)是函数的极值点．
3．一般地，求可导函数 f(x)的极值的方法是：
解方程 f′(x)＝0.当 f′(x0)＝0时：
(1)如果在 x0附近的左侧__________，右侧__________，那么 f(x0)是__________；
(2)如果在 x0附近的左侧__________，右侧__________，那么 f(x0)是__________；
(3)如果 f′(x)在点 x0的左右两侧符号不变，则 f(x0)____________．
一、选择题
1. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图，则函数 f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
2．已知函数 f(x)，x∈R，且在 x＝1处，f(x)存在极小值，则( )
A．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
B．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
C．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
D．当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
3．函数 f(x)＝x＋1
x
在 x>0时有( )
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
4．函数 f(x)的定义域为(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)
在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．函数 f(x)＝x3－3bx＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
A．0
0 D．b<1
2
6．已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为( )
A．－12 D．a<－3或 a>6
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．若函数 f(x)＝x2＋a
x＋1
在 x＝1处取极值，则 a＝______.
8．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1处有极值－2，则 a、b 的值分别为________、________.
9．函数 f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则 a 的取值范围是
________．
三、解答题
10．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.
11．设函数 f(x)＝x3－9
2
x2＋6x－a.
(1)对于任意实数 x，f′(x)≥m 恒成立，求 m 的最大值；
(2)若方程 f(x)＝0有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．
能力提升
12．已知函数 f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a0 f′(x)>0 f′(x)<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值
极值点 极值 某一点附近 局部
2．导数为零 不一定
3．(1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 极小值 (3)不是极值
作业设计
1．C
2．C [∵f(x)在 x＝1处存在极小值，
∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.]
3．A [∵f′(x)＝1－1
x2
，由 f′(x)>0，
得 x>1或 x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由
f′x<0，
x>0.
得 00，
∴f(x)在(0，＋∞)上有极小值．]
4．A [f(x)的极小值点左边有 f′(x)<0，极小值点右边有 f′(x)>0，因此由 f′(x)的图象知只
有 1个极小值点．]
5．A [f′(x)＝3x2－3b，要使 f(x)在(0,1)内有极小值，则
f′0<0
f′1>0
，即
－3b<0
3－3b>0
，
解得 00 时，图象与 x 轴的左
交点两侧 f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧 f′(x)的值分别小于零、大于零．所
以才会有极大值和极小值．
∴4a2－12(a＋6)>0得 a>6或 a<－3.]
7．3
解析 f′(x)＝2xx＋1－x2＋a
x＋12
＝
x2＋2x－a
x＋12
.
∵f′(1)＝0，∴
1＋2－a
4
＝0，∴a＝3.
8．1 －3
解析 因为 f′(x)＝3ax2＋b，
所以 f′(1)＝3a＋b＝0. ①
又 x＝1时有极值－2，所以 a＋b＝－2. ②
由①②解得 a＝1，b＝－3.
9.
2
2
，＋∞
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a 或 x<－a，f′(x)<0时，得－a0.
a>0
解得 a> 2
2
.
10．解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝－2或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
从表中可以看出，当 x＝－2时，函数 f(x)有极大值，且 f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当 x＝2时，函数 f(x)有极小值，
且 f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)f′(x)＝(1－x)e－x.令 f′(x)＝0，解得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 极大值
函数 f(x)在 x＝1处取得极大值 f(1)，且 f(1)＝1
e
.
11．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6.
因为 x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，
即 3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得 m≤－
3
4
，
即 m 的最大值为－
3
4
.
(2)因为当 x<1时，f′(x)>0；
当 12时，f′(x)>0.
所以当 x＝1时，f(x)取极大值 f(1)＝5
2
－a；
当 x＝2时，f(x)取极小值 f(2)＝2－a，
故当 f(2)>0或 f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．
解得 a<2或 a>5
2
.
12．(1)解 当 a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
因为 f′(x)＝(x－1)(3x－5)，
故 f′(2)＝1，又 f(2)＝0，
所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y＝x－2.
(2)证明 因为 f′(x)＝3(x－a)(x－a＋2b
3
)，
由于 a
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