2018届二轮复习6-4数列求和课件（全国通用）

2018届二轮复习6-4数列求和课件（全国通用）

6 . 4 　 数列求和 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 基本数列求和方法 (3) 使用已知求和公式求和的方法 , 即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法 . - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 非基本数列求和常用方法 (1) 倒序相加法 : 如果一个数列 { a n } 的前 n 项中与首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等 , 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法 , 如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的 . (2) 分组求和法 : 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 , 则求和时可用分组求和法 , 分别求和后再相加减 . 如已知 a n = 2 n + (2 n- 1), 求 S n . (3) 并项求和法 : 若一个数列的前 n 项和中两两结合后可求和 , 则可用并项求和法 . 如已知 a n = ( - 1) n f ( n ), 求 S n . (4) 错位相减法 : 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 , 那么这个数列的前 n 项和即可用错位相减法来求 , 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 . (5) 裂项相消法 : 把数列的通项拆成两项之差 , 在求和时中间的一些项可以相互抵消 , 从而求得其和 . - 5 - 知识梳理 考点自测 - 6 - 知识梳理 考点自测 - 7 - 知识梳理 考点自测 × √ √ √ √ √ - 8 - 知识梳理 考点自测 2 . 若数列 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n + 2 n- 1, 则数列 { a n } 的前 n 项和为 ( 　　 ) A.2 n +n 2 - 1 B.2 n+ 1 +n 2 - 1 C.2 n+ 1 +n 2 - 2 D.2 n +n- 2 3 . (2017 河北保定模拟 ) 若数列 { a n } 的通项公式是 a n = ( - 1) n (3 n- 2), 则 a 1 +a 2 + … +a 10 = ( 　　 ) A.15 B.12 C. - 12 D. - 15 C A 解析 : 因为 a n = ( - 1) n (3 n- 2), 所以 a 1 +a 2 + … +a 10 = ( - 1 + 4) + ( - 7 + 10) + … + ( - 25 + 28) = 3 × 5 = 15 . - 9 - 知识梳理 考点自测 4 . (2017 辽宁沈阳一模 , 文 4) 公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项 , S 8 = 32, 则 S 10 等于 ( 　　 ) A.18 B.24 C.60 D.90 C - 10 - 知识梳理 考点自测 - 11 - 考点一 考点二 考点三 考点四 分组求和与并项求和 例 1 已知 { a n } 是等差数列 ,{ b n } 是等比数列 , 且 b 2 = 3, b 3 = 9, a 1 =b 1 , a 14 =b 4 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 c n =a n +b n , 求数列 { c n } 的前 n 项和 . - 12 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 13 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 具有什么特点的数列适合并项求和 ? 具有什么特点的数列适合分组求和 ? 解题心得 1 . 若数列 { a n } 的通项公式为 a n = ( - 1) n f ( n ), 则一般利用并项求和法求数列 { a n } 的前 n 项和 . 2 . 具有下列特点的数列适合分组求和 : (1) 若 a n =b n ± c n , 且 { b n },{ c n } 为等差数列或等比数列 , 可采用分组求和法求 { a n } 的前 n 项和 ; - 14 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 1 (2017 福建福州一模 , 文 17) 已知等差数列 { a n } 的各项均为正数 , 其公差为 2, a 2 a 4 = 4 a 3 + 1 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; 解 (1) 因为等差数列 { a n } 的各项均为正数 , 其公差为 2, a 2 a 4 = 4 a 3 + 1 . 所以 ( a 1 + 2)( a 1 + 6) = 4 a 1 + 17, 解得 a 1 = 1 或 a 1 =- 5( 舍去 ) . 所以 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n- 1 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 考点四 错位相减法求和 例 2 (2017 山东 , 文 19) 已知 { a n } 是各项均为正数的等比数列 , 且 a 1 +a 2 = 6, a 1 a 2 =a 3 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2){ b n } 为各项非零的等差数列 , 其前 n 项和为 S n . 已知 S 2 n+ 1 =b n b n+ 1 , 求数列 的前 n 项和 T n . - 16 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 17 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 具有什么特点的数列适合用错位相减法求和 ? 解题心得 1 . 一般地 , 如果数列 { a n } 是等差数列 ,{ b n } 是等比数列 , 求数列 { a n ·b n } 的前 n 项和时 , 可采用错位相减法求和 , 解题思路是 : 和式两边先同乘等比数列 { b n } 的公比 , 再作差求解 . 2 . 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时 , 应特别注意将两式 “ 错项对齐 ”, 以便下一步准确写出 “ S n -qS n ” 的表达式 . - 18 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 2 (2017 天津 , 文 18) 已知 { a n } 为等差数列 , 前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ),{ b n } 是首项为 2 的等比数列 , 且公比大于 0, b 2 +b 3 = 12, b 3 =a 4 - 2 a 1 , S 11 = 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ) . 解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2 +b 3 = 12, 得 b 1 ( q+q 2 ) = 12, 而 b 1 = 2, 所以 q 2 +q- 6 = 0 . 又因为 q> 0, 解得 q= 2 . 所以 , b n = 2 n . 由 b 3 =a 4 - 2 a 1 , 可得 3 d-a 1 = 8 . ① 由 S 11 = 11 b 4 , 可得 a 1 + 5 d= 16, ② 联立 ①② , 解得 a 1 = 1, d= 3, 由此可得 a n = 3 n- 2 . 所以 ,{ a n } 的通项公式为 a n = 3 n- 2,{ b n } 的通项公式为 b n = 2 n . - 19 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (2) 设数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 T n , 由 a 2 n = 6 n- 2, 有 T n = 4 × 2 + 10 × 2 2 + 16 × 2 3 + … + (6 n- 2) × 2 n , 2 T n = 4 × 2 2 + 10 × 2 3 + 16 × 2 4 + … + (6 n- 8) × 2 n + (6 n- 2) × 2 n+ 1 , 上述两式相减 , 得 -T n = 4 × 2 + 6 × 2 2 + 6 × 2 3 + … + 6 × 2 n - (6 n- 2) × 2 n+ 1 =- (3 n- 4)2 n+ 2 - 16, 得 T n = (3 n- 4)2 n+ 2 + 16 . 所以 , 数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 (3 n- 4)2 n+ 2 + 16 . - 20 - 考点一 考点二 考点三 考点四 裂项相消法求和 例 3 (2017 全国 Ⅲ , 文 17) 设数列 { a n } 满足 a 1 + 3 a 2 + … + (2 n- 1) a n = 2 n , (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求数列 的前 n 项和 . - 21 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 裂项相消法的基本思想是什么 ? 解题心得 裂项相消法的基本思想就是把 a n 分拆成 a n =b n+k -b n ( k ∈ N * ) 的形式 , 从而达到在求和时绝大多数项相消的目的 . 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 { a n } 的通项公式 , 使之符合裂项相消的条件 . - 22 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 23 - 考点一 考点二 考点三 考点四 求和过程中 , 需讨论自然数 n 的奇偶性 - 24 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 25 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 4 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 = 2, S 5 = 30 . 数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 且 T n = 2 n - 1 . (1) 求数列 { a n },{ b n } 的通项公式 ; (2) 设 c n = ( - 1) n ( a n b n + ln S n ), 求数列 { c n } 的前 n 项和 . 解 (1) ∵ S 5 = 5 a 1 + = 10 + 10 d= 30, ∴ d= 2, ∴ a n = 2 n. 对数列 { b n }: 当 n= 1 时 , b 1 =T 1 = 2 1 - 1 = 1, 当 n ≥ 2 时 , b n =T n -T n- 1 = 2 n - 2 n- 1 = 2 n- 1 , 当 n= 1 时也满足上式 , ∴ b n = 2 n- 1 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (2) c n = ( - 1) n ( a n b n + ln S n ) = ( - 1) n a n b n + ( - 1) n ln S n , ∴ ln S n = ln n ( n+ 1) = ln n+ ln( n+ 1) . 而 ( - 1) n a n b n = ( - 1) n · 2 n· 2 n- 1 =n· ( - 2) n , 设数列 {( - 1) n a n b n } 的前 n 项和为 A n , 数列 {( - 1) n ln S n } 的前 n 项和为 B n . A n = 1 · ( - 2) 1 + 2 · ( - 2) 2 + 3 · ( - 2) 3 + … +n· ( - 2) n , ① 则 - 2 A n = 1 · ( - 2) 2 + 2 · ( - 2) 3 + 3 · ( - 2) 4 + … +n· ( - 2) n+ 1 , ② ① - ② 得 3 A n = ( - 2) 1 + ( - 2) 2 + ( - 2) 3 + … + ( - 2) n -n· ( - 2) n+ 1 - 27 - 考点一 考点二 考点三 考点四 当 n 为偶数时 , B n =- (ln 1 + ln 2) + (ln 2 + ln 3) - (ln 3 + ln 4) + … + [ln n+ ln( n+ 1)] = ln( n+ 1) - ln 1 = ln( n+ 1), 当 n 为奇数时 , B n =- (ln 1 + ln 2) + (ln 2 + ln 3) - (ln 3 + ln 4) + … - [ln n+ ln( n+ 1)] =- ln( n+ 1) - ln 1 =- ln( n+ 1), 由以上可知 , B n = ( - 1) n ln( n+ 1), ∴ 数列 { c n } 的前 n 项和为 - 28 - 考点一 考点二 考点三 考点四 1 . 数列求和 , 一般应从通项入手 , 若通项未知 , 先求通项 , 再通过对通项变形 , 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式 , 从而选择合适的方法求和 . 2 . 解决非等差、非等比数列的求和 , 主要有两种思路 (1) 转化的思想 , 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 , 这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 ; (2) 不能转化为等差或等比数列的数列 , 往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 考点四 1 . 直接应用公式求和时 , 要注意公式的应用范围 . 2 . 在应用错位相减法求和时 , 注意观察未合并项的正负号 . 3 . 在应用裂项相消法求和时 , 要注意消项的规律具有对称性 , 即前面剩多少项 , 后面就剩多少项 .