2019届二轮复习主元法学案（全国通用）

2019届二轮复习主元法学案（全国通用）

‎ 主元法 所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用． 有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用。下面举例说明：‎ 例1.一次函数的保号性 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．‎ 分析：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的二次函数进行讨论，后续步骤比较繁琐；但是若变换一个角度，以为变量，使g(m)＝x2＋(m－4)x＋4－2m则问题转化为求一次函数（或常数函数）g(m)的值在[-1,1]内恒为正时，参数应满足的条件——“换位”思考优势明显.‎ 解析：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，‎ ‎ 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.‎ ‎ 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，‎ ‎ 所以解得x<1或x>3.‎ ‎ 故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．‎ 总结：一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.‎ 例2. 二次函数有解问题 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。‎ ‎(1)求炮的最大射程；‎ o x(km)‎ y(km)‎ ‎(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由。‎ 分析：本题是2012年江苏省高考题，以炮弹的射程为背景，实则考查的是二次函数问题。在第2问中，令y=3.2，得到一个关于k,a的二元二次方程之后，很多同学就不知道如何解决问题了。现在我们从代数角度分析，如果始终把a作为主元，那么利用二次函数根与系数的关系也只能得到k的范围而不是a的范围；转换一个角度，将k作为主元，就是关于k 的一元二次方程，在k>0时有解，问题迎刃而解。‎ 解：(1)最大射程是10千米。（过程略）‎ ‎(2)令y=3.2，则：在k>0时有解，由于此二次函数开口向上，对称轴大于0，且过点,故只要即可，解得：。所以飞行物的横坐标不超过6千米时，炮弹可以击中它。‎ 例3.二次不等式恒成立问题 不等式对任意R恒成立，求实数的取值范围． ‎ 分析：本题可将a或b看作主元，不妨以b作为主元，‎ 则原不等式恒成立，‎ 例3后的思考：1.在利用之后，如果不能恰好将消去怎么办？此时应该再次以为主元，整理成关于的一元二次不等式在时恒成立的问题，再次利用判别式就可解决问题。‎ ‎ 2.本题不等式的两侧都是关于的二次式，如果两边同除以，则可将作为主元，从而转化为关于的一元二次不等式恒成立问题。‎ 例4.构造二次齐次式 已知实数满足，求的取值范围.‎ 分析：本题可以利用基本不等式：，‎ 即 也可以构造二次齐次式： ‎ 则可将作为主元，从而转化为关于的一元分式函数。 答案：[1,9].‎ 例5.多元问题分步设定主元 不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：首先将b作为主元，设，这是关于b 的一元函数，因为，所以单调递增，则在上不等式恒成立时，只需，变量分离：，‎ 设，将x看作主元，求出h(x)的最小值即可。‎ 则，‎ 若，所以在上单调递减，在上单调递增，的最小值是 练习：‎ ‎1.不等式对满足的一切实数恒成立，求的取值范围.‎ ‎2.已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(‎2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范围.‎ ‎3. 函数的最大值为__________．‎ ‎4.设实数x,y满足：，求的最小值。‎ ‎5.已知函数若对任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。‎ 练习题答案：‎ ‎1．解：设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即 解得故的取值范围是. ‎ ‎2．解析：令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]时，g(a)>0恒成立，则，得.‎ 点评：对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。‎ ‎3．解：本题除了通过换元、基本不等式求解外，还可以将x看作主元，y看作参数，原函数可以化简为在时有解，利用判别式即可解决问题（别忘了讨论二次项系数等于0的情况）：，这就是常说的利用判别式法求函数值域。‎ ‎4．解：构造齐次式：，将作为主元，从而转化为关于的一元分式函数，求的最小值是。‎ ‎5．解：先将看作主元，记关于的一次函数，不等式恒成立，由于x>0，故单调递增，则只要即因此不等式上恒成立，变量分离，得：不等式 上恒成立，‎ 所以，即.‎