2018届二轮复习对数与对数函数学案(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习对数与对数函数学案(全国通用)

‎ 2.6 对数与对数函数 考情考向分析 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性;以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质,题型一般为填空题,中低档难度.‎ ‎1.对数的概念 一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中__a__叫做对数的底数,__N__叫做真数.‎ ‎2.对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:‎ ‎①loga(MN)=logaM+logaN;‎ ‎②loga=logaM-logaN;‎ ‎③logaMn=nlogaM (n∈R).‎ ‎(2)对数的性质 ‎①=__N__;②logaaN=__N__(a>0,且a≠1).‎ ‎(3)对数的换底公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).‎ ‎3.对数函数的图象与性质 y=logax a>1‎ ‎01时,y>0;‎ 当01时,y<0;‎ 当00‎ ‎(6)在(0,+∞)上是增函数 ‎(7)在(0,+∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.‎ 知识拓展 ‎1.换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab=;‎ ‎(2)=logab.‎ 其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.‎ ‎2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故00,则loga(MN)=logaM+logaN.( × )‎ ‎(2)对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × )‎ ‎(3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ )‎ ‎(4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P80习题T6]log29·log34·log45·log52=________.‎ 答案 2‎ ‎3.[P83例2]已知a=,b=log2,c=,则a,b,c的大小关系为________.‎ 答案 c>a>b 解析 ∵01.‎ ‎∴c>a>b.‎ ‎4.[P85练习T2]函数y=的定义域是________.‎ 答案  解析 由(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1.‎ ‎∴0且a≠1),则实数a的取值范围是____________________.‎ 答案 ∪(1,+∞)‎ 解析 当01时,loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).‎ 题型一 对数的运算 ‎1.设2a=5b=m,且+=2,则m=________.‎ 答案  解析 由已知,得a=log2m,b=log5m,‎ 则+=+=logm2+logm5=logm10=2.‎ 解得m=.‎ ‎2.计算:÷=________.‎ 答案 -20‎ 解析 原式=(lg 2-2-lg 52)×=lg×10‎ ‎=lg 10-2×10=-2×10=-20.‎ ‎3.计算:=________.‎ 答案 1‎ 解析 原式 ‎= ‎= ‎====1.‎ 思维升华 对数运算的一般思路 ‎(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.‎ ‎(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.‎ 题型二 对数函数的图象及应用 典例 (1)如图,已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.‎ ‎①求证:O,C,D三点共线;‎ ‎②当BC∥x轴时,求A点的坐标.‎ ‎①证明 因为A,B在函数y=log8x的图象上,‎ 所以设它们的坐标分别为(x1,log8x1),(x2,log8x2),‎ 又AC∥y轴,BD∥y轴,且点C,D在函数y=log2x的图象上,从而C,D的坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).‎ 由O,A,B三点共线,知kOA=kOB,即=,‎ 即=,即=,‎ 所以kOC=kOD,从而O,C,D三点共线.‎ ‎②解 由BC∥x轴,知yB=yC,即log8x2=log2x1,于是log8x2=log8x,得x2=x,代入=,得=,=.‎ 因为x1≠1,所以x=3,得x1=,从而点A的坐标为.‎ ‎(2)当01时,不符合题意,舍去.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 引申探究 若本例(2)变为方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为__________.‎ 答案  解析 若方程4x=logax在上有解,则函数y=4x和函数y=logax在上有交点,‎ 由图象知解得01时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个交点.‎ 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 对数函数的单调性 典例 (1)已知函数f(x)=loga(ax2-x+1),其中a>0且a≠1.‎ ‎①当a=时,求函数f(x)的值域;‎ ‎②当f(x)在区间上为增函数时,求a的取值范围.‎ 解 ①令u(x)=ax2-x+1,‎ 当a=时,u(x)=x2-x+1=(x-1)2+.‎ 因为u(x)的值域为,‎ 即u(x)≥,‎ 所以logu(x)≤1,‎ 即函数f(x)的值域为(-∞,1].‎ ‎②当a>1时,因为y=logau(x)是关于u(x)的增函数,‎ 所以f(x)在区间上为增函数的充要条件是u(x)在上单调递增且恒正,‎ 从而解得a≥2;‎ 当00在区间(-∞,-2]上恒成立且函数y=x2-ax-3a在(-∞,-2]上单调递减,则≥-2且(-2)2-(-2)a-3a>0,解得实数a的取值范围是[-4,4).‎ 命题点2 和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1).‎ ‎(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.‎ 解 (1)∵a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,‎ 则t(x)=3-ax为减函数,‎ 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,‎ 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,‎ 即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.‎ ‎∴a<.‎ 又a>0且a≠1,∴a的取值范围为(0,1)∪.‎ ‎(2)假设存在这样的实数a,t(x)=3-ax,‎ ‎∵a>0,∴函数t(x)为减函数.‎ ‎∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat为增函数,∴a>1.‎ 当x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),‎ ‎∴即 故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.‎ 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.‎ ‎(2)解决与对数函数有关的复合函数问题,首先要确定函数的定义域,根据“同增异减”原则判断函数的单调性,利用函数的最值解决恒成立问题.‎ 跟踪训练 (1)(2018届无锡一中质检)已知函数f(x)=loga(00,解得-b0),∴b=1.‎ ‎∴f(x)=loga(00,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是__________.‎ 答案  解析 当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,‎ 则f(x)min=loga(8-2a)>1,且8-2a>0,‎ 解得11在区间[1,2]上恒成立,‎ 知f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0.‎ ‎∴a>4,且a<4,故不存在.‎ 综上可知,实数a的取值范围是.‎ 比较指数式、对数式的大小 考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一.‎ ‎(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.‎ ‎(2)解题时要根据实际情况 构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.‎ 典例 (1)设a=log3π,b=log2,c=log3,则a,b,c的大小关系是________.‎ 答案 a>b>c 解析 因为a=log3π>log33=1,b=log2b,又==(log23)2>1,c>0,‎ 所以b>c,故a>b>c.‎ ‎(2)设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是________.‎ 答案 c1,b=log0.40.5∈(0,1),‎ c=log80.4<0,∴a>b>c.‎ ‎(3)若实数a,b,c满足loga2a>c 解析 易知y=f(x)是偶函数.当x∈(0,+∞)时,f(x)=f=|log2x|,且当x∈[1,+∞)时,f(x)=log2x单调递增,又a=f(-3)=f(3),b=f=f(4),所以b>a>c.‎ ‎1.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则a,b,c的大小关系是________.‎ 答案 c2.‎ ‎∵c=0.83.1,∴00,a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为________.‎ 答案 (0,+∞)‎ 解析 令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数,又M=2-,‎ 因此M的单调递增区间为.‎ 又x2+x>0,所以x>0或x<-,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).‎ ‎7.函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是__________.‎ 答案  解析 函数f(x)的定义域为,‎ 令t=2x+1(t>0).‎ 因为y=log5t在(0,+∞)上为增函数,‎ t=2x+1在上为增函数,‎ 所以函数y=log5(2x+1)的单调递增区间是 .‎ ‎8.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是__________.‎ 答案 [0,+∞)‎ 解析 当x≤1时,由21-x≤2,解得x≥0,所以0≤x≤1;‎ 当x>1时,由1-log2x≤2,解得x≥,所以x>1.‎ 综上可知x≥0.‎ ‎9.设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且ab>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=________,b=________.‎ 答案 4 2‎ 解析 令logab=t,∵a>b>1,∴00,则实数a的取值范围是________.‎ 答案  解析 当00,即0<-a<1,‎ 又2×-a>0,所以1时,函数f(x)在区间上是增函数,‎ 所以loga(1-a)>0,即1-a>1,且2×-a>0,‎ 解得a<0,且a<1,此时无解.‎ 综上所述,实数a的取值范围是.‎ ‎12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x>0时,f(x)=logx.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)解不等式f(x2-1)>-2.‎ 解 (1)当x<0时,-x>0,‎ 则f(-x)=.‎ 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).‎ 所以当x<0时,f(x)=,‎ 所以函数f(x)的解析式为 f(x)= ‎(2)因为f(4)==-2,f(x)是偶函数,‎ 所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).‎ 又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,‎ 所以0<|x2-1|<4,解得--2成立,‎ 所以不等式的解集为(-,).‎ ‎13.已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则下列结论正确的是________.(填序号)‎ ‎①(a-1)(b-1)<0;‎ ‎②(a-1)(a-b)>0;‎ ‎③(b-1)(b-a)<0;‎ ‎④(b-1)(b-a)>0.‎ 答案 ④‎ 解析 由a,b>0且a≠1,b≠1,及logab>1=logaa可得,当a>1时,b>a>1,当0<a<1时,0<b<a<1,‎ 代入验证只有④满足题意.‎ ‎14.已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.‎ 答案  解析 当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,由题意可知原条件等价于f(x)min≥g(x)min,‎ 即0≥-m,所以m≥.‎ ‎15.关于函数f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题:‎ ‎①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;‎ ‎②在区间(-∞,0)上,函数y=f(x)是减函数;‎ ‎③函数f(x)的最小值为lg 2;‎ ‎④在区间(1,+∞)上,函数f(x)是增函数.‎ 其中是真命题的序号为________.‎ 答案 ①③④‎ 解析 ∵函数f(x)=lg (x≠0,x∈R),显然f(-x)=f(x),‎ 即函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,故①正确;‎ 当x>0时,f(x)=lg =lg =lg,令t(x)=x+,x>0,则t′(x)=1-,可知当x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,t(x)单调递增,即f(x)在x=1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误,③正确,④正确,故答案为①③④.‎ ‎16.已知函数f(x)=ln .‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;‎ ‎(2)对于x∈[2,6],f(x)=ln >ln 恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)由>0,解得x<-1或x>1,‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),‎ 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,‎ f(-x)=ln =ln ‎=ln-1=-ln =-f(x),‎ ‎∴f(x)=ln 是奇函数.‎ ‎(2)当x∈[2,6]时,f(x)=ln >ln 恒成立,∴>>0,‎ ‎∵x∈[2,6],∴0
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