人教新课标A版高考数学黄金题系列第09题函数的单调性理

人教新课标A版高考数学黄金题系列第09题函数的单调性理

第 9 题 函数的单调性 I．题源探究·黄金母题 【例 1】已知函数    2 , 0 , 21f x xx    ，求函数的最大值和最小值． 【答案】 2 , 23   【解析】设 1 2,x x 是 0 , 2 上的任意两个实数，且 1 2x x ，则               1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 f x f x x x x x x x x x x x                   － 由 1 20 2x x   ，得   2 1 1 20 , 1 1 0x x x x     ， 所以    1 2 0f x f x － ，即    1 2f x f x ， 故  f x 在区间 0 , 2 上是增函数．因此，函数   2 1f x x    在区间  0 , 2 的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是  0 2f   ，最大值是   22 3f   ． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 一第 31 页例 4． 【母题评析】本题通过对函数 的单调性的判断或证明，进而 利用函数的单调性求出函数 在某一闭区间上的最大值和 最小值．本类考查方式是近几 年高考试题常常采用的命题 形式． 【思路方法】利用函数的单调 性的定义或借助函数的图象 判断函数的单调性，借助函数 的单调性研究函数的极值与 最值或比较大小或解不等式 等． II．考场精彩·真题回放 【例 2】【2017 高考天津卷】已知奇函数 ( )f x 在 R 上是增函数， ( ) ( )g x xf x ．若 2( log 5.1)a g  ， 0.8(2 )b g ， (3)c g ，则 a，b，c 的大 小关系为 A． a b c  B． c b a  C． b a c  D．b c a  【答案】C 【解析】因为 ( )f x 是奇函数且在 R 上是增函数，所以在 0x  时， ( ) 0f x  ，从而 ( ) ( )g x xf x 是 R 上的偶函数，且在[0, ) 上是增函数， 【命题意图】本类题通常主要 考查一些常见函数的图象与 性质，主要利用函数的单调性 比较大小． 【考试方向】这类试题在考查 题型上，通常基本以选择题或 填空题的形式出现，难度较 小，往往 与不等式的性质同 时考查． 2 2( log 5.1) (log 5.1)a g g   ， 0.82 2 ，又 4 5.1 8  ，则 22 log 5.1 3  ，所以即 0.8 20 2 log 5.1 3   ， 0.8 2(2 ) (log 5.1) (3)g g g  ，所以b a c  ，故选 C． 【例 3】【2017 高考山东卷】若函数  xe f x （ 2.71828e  是自然对数的底 数）在  f x 的定义域上单调递增，则称函数  f x 具有 M 性质．下列函数 中所有具有 M 性质的函数的序号为 ． ①   2 xf x  ；②   3 xf x  ；③   3f x x ；④   2 2f x x  【答案】①④ 【解析】试题分析：①   2 2 x x x x ee f x e         在 R 上单调递增，故   2 xf x  具有  性质；②   3 3 x x x x ee f x e         在 R 上单调递减， 故   3 xf x  不具有  性质；③   3x xe f x e x  ，令   3xg x e x  ，则    3 2 23 2x x xg x e x e x x e x       ，当 2x   时，   0g x  ，当 2x   时，   0g x  ，   3x xe f x e x  在  , 2  上单调递减，在  2,  上单调递增，故   3f x x 不具有  性质； ④    2 2x xe f x e x  ，令    2 2xg x e x  ，则      22 2 2 1 1 0x x xg x e x e x e x           ，     2 2x xe f x e x  在 R 上单调递增，故   2 2f x x  具有  性质． 【例 4】【2017 高考课标 2 卷】函数 的单调递增区间是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则 ，解得： 或 ，结合二 【难点中心】 （1）对于比较大小问题，简 单问题可直接借助一个的常 见函数的单调性，利用自变量 的大小关系，推出函数值的大 小关系，复杂一点的，有时需 要把式子适当变形，然后再构 造一个适当的函数，同样借助 这个函数的单调性，利用自变 量的大小关系，推出函数值的 大小关系．是基础题． （2）新定义问题，属于创新 题，符合新高考的走向．它考 查学生的阅读理解能力，接受 新思维的能力，考查学生分析 问题与解决问题的能力，新定 义的概念实质上只是一个载 体，解决新问题时，只要通过 这个载体把问题转化为我们 已经熟悉的知识即可． （3）求函数单调区间的常用 方法： ①定义法和导数法，通过解相 应不等式得单调区间； ②图象法，由图象确定函数的 单调区间需注意两点：一是单 调区间必须是函数定义域的 子集：二是图象不连续的单调 区间要分开写，用“和”或 次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数 的单调增区间为 ．故 选 D． 【例 5】【2016 高考新课标 I 卷】若 1a b  ， 0 1c  ，则（ ） A． c ca b B． c cab ba C． log logb aa c b c D． log loga bc c 【答案】C 【解析】 对于选项 A：由于 0 1c  ，所以函数 cy x 在 0, 上单调 递增．由 1a b  ，得 c ca b ．故 A 错误． 又 ca a b b      ，即 c cba ab ．故 B 错误． 对于选项 B：要比较 cab 与 cba 的大小，只需比较 a b 与 ca b      的大小．构造 函数 xay b      ，因为 1a b  ，所以 1a b  ，因此函数 xay b      在 R 上单 调递增．又 0 1c  ，对于选项 C:要比较 logba c 与 logab c 的大小关系， 只需比较 ln ln c b b 与 ln ln c a a 的大小，即比较 lnb b 与 lna a 的大小．构造辅助 函数   lnf x x x ，   ln 1f x x   ．令   0f x  得 1 ex  ．函数  f x 在 1,e     上单调递增，因此，若 1a b  ，得 ln lna a b b ，故 1 1 ln lna a b b  ．又 ln 0c  ，所以 ln ln ln ln c c a a b b  ，即 ln ln ln ln b c a c a b  ，得 log loga bb c a c ． 故选项 C 正确． 对于选项 D：比较 loga c 与 logb c 的大小，只需比较 ln ln c a 与 ln ln c b 的大小，即 比较 lna 与 lnb 的大小．又 1a b  ，得 ln ln 0a b  ，所以 1 1 ln lna b  ．又 ln 0c  ，得 ln ln ln ln c c a b  ，即 “，”连接，不能用“∪”连 接； ③ 利 用 复 合 函 数 “ 同 增 异 减”的原则，此时需先确定函 数的单调性． log loga bc c ．故选项 D 不正确．综上可得选 C． III．理论基础·解题原理 一、函数的单调性的基本概念 1．函数的单调性 一般地，设函数 )(xf 的定义域为 I ，区间 ID  ，如果对于任意 21, xx D ，当 21 xx  时， 若 )()( 21 xfxf  ，则函数 )(xf 在区间 D 上是增函数； 若 )()( 21 xfxf  ，则函数 )(xf 在区间 D 上是减函数； 2．函数的单调区间 若函数单调 )(xfy  在区间 D 上是增函数（或减函数），则称函数 )(xfy  在这一区间上具有(严 格的)单调性，区间 D 叫做 )(xfy  的单调区间． 二、辨明两个易误点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号 “∪”联结，也不能用“或”联结． (2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定 义域上”单调，如函数 xxf 1)(  在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减． 三、判断函数单调性的四种方法 (1)定义法： 取值、作差、变形、定号、下结论； (2)复合法：“同增异减”，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图象法： 如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 )(xf 的图象易作出，可由图象的直观性判断函数 单调性． (4)导数法： 利用导函数的正负判断函数单调性． 四、认识反应函数单调性的陌生函数符号 定义在 R 上的函数 )(xf 对任意 )(, 2121 xxxx  都有 0)()( 21 21   xx xfxf ，说明函数 )(xf 为减函数； 同样若 0)()( 21 21   xx xfxf ，说明函数 )(xf 为增函数；类似 0))()()(( 2121  xfxfxx 呢？ IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的奇偶性、 周期有联系，主要考查求值、比较大小、解不等式等． 【技能方法】 解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时， 可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再 借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、 比较大小、解不等式的目的． 【易错指导】 (1)求函数的单调区间，必须先求出函数的定义域，函数的单调区间是函数定义域的子集． (2)利用函数单调性解不等式时，要注意函数的定义域，特别是函数为偶函数时，注意使用“绝对值” V．举一反三·触类旁通 考向 1 判断函数的单调性（求函数的单调区间） 【例 1】【2018 安徽滁州 9 月联合质量检测】下列函数在  0,2 上是增函数的是（ ） A． 2y x  B． 1 2y x   C． 21 2 x y      D．  1 2 log 2y x  【答案】D 【例 2】【2017 高考北京卷】已知函数   13 3 x xf x       ，则  f x （ ） A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】    1 13 33 3 x x x xf x f x                   ，所以该函数是奇函数，并且 3xy  是增函数， 1 3 x y      是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选 A． 【名师点睛】本题属于基础题型，根据  f x 与  f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单 调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3） 利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利 用导数判断函数的单调性． 【例 3】【2018 辽宁鞍山一中一模】已知函数    2ln 2 3f x x x    ，则  f x 的增区间为（ ） A． , 1  B． 3, 1  C． 1,  D． 1,1 【答案】B 【解析】函数有意义，则： 2 2 3 0x x    ， 求解不等式可得函数的定义域为： 3 1x   ， 二次函数 2 2 3y x x    在区间 3, 1  上单调递增，在区间 1,1 上单调递减， 结合复合函数的单调性可得  f x 的增区间为 3, 1  ． 本题选择 B 选项． 点睛：求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函 数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及 利用导数的性质． 【跟踪练习】 1．下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( ) A．y＝ xe B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x| 【答案】B 2．【2017 江西六校联考】下列函数中，既是偶函数又在区间  0, 上单调递增的是（ ） A． 1y x  B． lgy x C． cosy x D． 2 2xy x  【答案】B 【解析】对于 A:函数在  0, 递减，不合题意； 对于 B : lgy x 是偶函数且在 0, 递增，符合题意； 对于 C： cosy x 是周期函数，在 0, 不单调，不合题意； 对于 D：此函数不是偶函数，不合题意；故选 B． 3．【2018 河北邢台模拟】函数   | g x x 的单调递增区间是 ( ) A． 0 +， B． 0， C． 2 ， D． 2 + ， 【答案】A 考向 2 函数的单调性与比较大小 【例 4】已知 ,x y R ，且 0x y  ，则（ ）． A． 1 1 0x y   B．sin sin 0x y  C． 1 1 02 2 x y           D． ln ln 0x y  【答案】C 【解析】 选项 A 错误：因为 1 1 1 10 0x y x y x y        ；选项 B 错误：三角函数 siny x 在 0, 上不是单调的，所以不一定有sin sinx y ．举反例如，当 2π 0x y y    时，sin sin 0x y  ；选 项 C 正确：由指数函数 1( ) 2 t f t      是减函数，可得； 1 1 1 10 0 02 2 2 2 x y x y x y                              ； 选项 D 错误：举一个反例如， ex  ， 1 ey  ． ,x y 满足 0x y  ，但 ln ln 0x y  ．故选 C． 【点评】利用函数的单调性比较大小是函数的最基本问题，选择一个适当的函数，利用函数在一个单调 区间上的单调性，根据自变量的大小关系，判断函数值的大小关系，显然，掌握所学的基本函数的单调 性就显得非常必要了． 【例 5】【2018 河南天一大联考】已知 ，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【跟踪练习】 1．【2018 河北省衡水模拟】已知函数  f x 为 R 内的奇函数，且当 0x  时，   1 cosxf x e m x    ， 记  2 2a f   ，  1b f   ，  3 3c f ，则 a ， b ， c 间的大小关系是（ ） A．b a c  B． a c b  C． c b a  D． c a b  【答案】D 【解析】函数  f x 是奇函数，则   00 1 cos0 0, 0f e m m       ，即当 0x  时，   1xf x e   ， 构造函数    g x xf x ，满足    g x g x  ，则函数  g x 是偶函数，则    ' 1 1xg x e x   ，当 0x  时， 1, 1 1xe x   ，据此可得：  ' 0g x  ，即偶函数  g x 在区间  0, 上单调递减，且：          2 2 , 1 1 , 3a g g b g g c g       ，结合函数的单调性可得：      1 2 3g g g  ，即： c a b  ．故选 D． 2．【2018 河北武邑中学第二次调研】已知 0 1a b c    ， logam c ， logbn c ， cr a ，则 m n r， ， 的大小关系是（ ） A． n m r  B． m r n  C． r m n  D． m n r  【答案】A 【解析】∵ 0 1a b c    ，∴ log 0am c  ， log 0bn c  ， 0cr a  ，且 log log 0c ca b  ，又 1log loga c c a  ， 1log logb c c b  ，∴ log log 0 c b ac c a   ，∴ n m r  ，故选 A． 3．【201 天津滨海八校联考】已知  f x 是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 1 2,x x ，都有    2 1 1 2 1 2 0x f x x f x x x   ，记  0.2 0.2 4.1 4.1 f a  ，  2.1 2.1 0.4 0.4 f b  ，  0.2 0.2 log 4.1 log 4.1 fc  ，则（ ） A． a c b  B． a b c  C． c b a  D．b c a  【答案】A 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根 据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 考向 3 函数的单调性与解不等式 【例 6】【2017 高考新课标 I 卷】函数 ( )f x 在 ( , )  单调递减，且为奇函数．若 ( 11)f   ，则满足 21 ( ) 1xf    的 x 的取值范围是 A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3] 【答案】D 【解析】 试题分析：因为 ( )f x 为奇函数且在 ( , )  单调递减，要使 1 ( ) 1f x   成立，则 x 满足 1 1x   ， 从而由 1 2 1x    得1 3x  ，即满足 1 ( 2) 1f x    成立的 x 的取值范围为[1,3]，选 D． 【考点】函数的奇偶性、单调性 【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题， 若 ( )f x 在 R 上为单调递增的奇函数，且 1 2( ) ( ) 0f x f x  ，则 1 2 0x x  ，反之亦成立． 【例 7】【2017 江苏，11】已知函数 3 1( ) 2 e e x xf x x x    ，其中 e 是自然对数的底数．若 2( 1) (2 ) 0f a f a  ≤ ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 1[ 1, ]2  【考点】利用函数性质解不等式 【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 ( ( )) ( ( ))f g x f h x 的形式，然后根据 函数的单调性去掉“ f ”，转 化为具体的不等式(组)，此时要注意 ( )g x 与 ( )h x 的取值应在外层函数的 定义域内． 【例 8】【2018 河南林州一中 10 月调研】设奇函数  f x 在 0, 上为增函数，且  2 0f  ，则不等式     0f x f x x    的解集为（） A．   2,0 2,   B．   , 2 0,2   C．   , 2 2,    D．   2,0 0,2  【答案】D 【解析】函数  f x 为奇函数，则    f x f x   ，     0f x f x x    ，化为  2 0f x x  ，等价于   0xf x  ，当 0x  时，解得 0 2x  ，当 0x  时， 2 0x   ，不等式的解集为    2,0 0,2  ， 故选 D． 【跟踪练习】 1．【2018 河北邢台模拟】函数  y f x 在 R 上为增函数，且    2 9f m f m  ，则实数 m 的取值范 围是( ) A． 9 +， B． 9 +， C． , 9  D． 9， 【答案】A 【解析】 函数  y f x 在 R 上为增函数，且    2 9f m f m  ， 2 9m m   ，解得 9m  ，故 选 A． 【方法点晴】本题主要考查抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题．根据抽象函数的单调性 解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉 以 轻 心 ）；（ 2 ） 注 意 应 用 函 数 的 奇 偶 性 （ 往 往 需 要 先 证 明 是 奇 函 数 还 是 偶 函 数 ）；（ 3 ） 化 成      f g x f h x 后再利用单调性和定义域列不等式组． 2．【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-  ，0）上单调递增．若实数 a 满足 )2()2( 1  ff a ，则 a 的取值范围是______． 【答案】 )2 3,2 1( 【点评】利用函数的单调性解不等式就是根据函数值的大小判断自变量的大小关系，进而解出不等式， 解答时也要注意函数的定义域的要求．另外解不等式时经常利用数形结合思想，在解题时既要想形又要 以形助数． 3．【2018 南宁摸底联考】已知函数 ， ，则 的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】由题意可得 f(-x)=f(x)，所以 f(x)是偶函数，又 = = ，所以原不等式 可化为 ，即 ， 又 x>0 时， >0，所以 f(x)在 上单调递增，上式转化为 解得 ，填 ． 【点睛】 对于复合函数值构造的不等式题型时，我们常对所给函数性质进行研究，如定义域，奇偶性，单调性， 再进行不等式中的比较．如本题，f(x)是偶函数且在在 上单调递增，所以可以利用偶函数与单调 性解不等式． 考向 4 利用导数判断函数的单调性 【 例 9 】【 例 2018 辽 宁 凌 源 三 校 联 考 】 已 知 函 数  f x 为 R 内 的 奇 函 数 ， 且 当 0x  时 ，   e 1 cosxf x m x    ，记  2 2a f   ，  1b f   ，  3 3c f ，则 , ,a b c 间的大小关系是 （ ） A．b a c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  【答案】C 【跟踪练习】 已知函数 )2-(xfy  的图象关于 )0,2( 对称，当 )0,(x ，有 0)()(  xfxfx 成立，则（ ） A. )2(4 1log)4 1(log2 2.0 2 1 2 1 2.0 ff  B． )2(4 1log)4 1(log2 2.0 2 1 2 1 2.0 ff  C． )2(4 1log)4 1(log2 2.0 2 1 2 1 2.0 ff  D． )2(4 1log)4 1(log2 2.0 2 1 2 1 2.0 ff 与 的大小不确定 【答案】A 【解析】函数 )2-(xfy  的图象关于 )0,2( 对称，说明函数 )(xfy  的图 象关于原点对称，令 2 )()()(,)()( x xfxfxxgx xfxg  ，由于当 )0,(x ，有 0)()(  xfxfx 成立，说明 )0,(x 时， 0)(  xg ， )(xg 在 )0,( 上为减函数，函数 )(xfy  的图象关于原点对称，则 )(xg 在 )0( ， 上 为 减 函数 ， 由 于 24 1log 2 1  ， 221 2.0  ， 则 )4 1(log)2( 2 1 2.0 gg  ， 即 4 1log )4 1(log 2 )2( 2 1 2 1 2.0 2.0 f f  ， 有 )2(4 1log)4 1(log2 2.0 2 1 2 1 2.0 ff  ，选 A 【点评】导数是解决函数问题的锐利武器，利用对函数求导，借助导数的正负，判断函数的增减，是解 决函数问题常用的方法，构造函数利用导数解题也是常用技巧． 考向 5 函数的单调性性与函数的零点 【例 10】【2018 广东广州模拟】已知 e 是自然对数的底数，函数   2xf x e x   的零点为 a ，函数   ln 2g x x x   的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A．      1f f a f b  B．      1f b f f a  C．      1f a f b f  D．      1f a f f b  【答案】D 点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数 y=f（x）在区 间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）•f（b）＜0，那么函数 y=f（x）在区间（a，b） 内有零点，即存在 c∈（a，b），使得 f（c）=O，这个 c 也就是 f（x）=0 的根． 【例 11】【2016 高考天津理数】已知函数 f（x）=      0,1)1(log 0,3)34(2 xx xaxax a （a>0，且 a≠1）在 R 上单 调递减，且关于 x 的方程 xxf  2)( 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） （A）（0， 3 2 ] （B）[ 3 2 ， 4 3 ] （C）[ 3 1 ， 3 2 ] { 4 3 }（D）[ 3 1 ， 3 2 ）  { 4 3 } 【答案】C 【解析】由 )(xf 在 R 上递减可知 4 3 3 1 10,13 043       aaa a ，由方程 xxf  2)( 恰好有两个不相 等的实数解，可知 211,23  aa ， 3 2 3 1  a ，又∵ 4 3a 时，抛物线 axaxy 3)34(2  与直 线 xy  2 相切，也符合题意，∴实数 a 的去范围是[ 3 1 ， 3 2 ]  { 4 3 }，故选 C． 【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【跟踪练习】 1．【2017 湖北七校联考】已知 )(xf 是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 )()12( 2 xfxfy   只有一个零点，则实数  的值是（ ） A． 4 1 B． 8 1 C． 8 7- D． 8 3- 【答案】C 2．【2017 广东广州模拟】已知函数      1,24 1,11)( 2 xxx xxxf 则函数 2)(2)(  xfxg x 的零点个数为 个． 【答案】2 【解析】 2)(2)(  xfxg x 的零点个数，即是方程 xxf 2 2)(  的根的个数，也就是 )(xfy  与 xy 2 2 的图象的交点个数，分别作出 )(xfy  与 xy 2 2 的图象，如图所示，由图象知 )(xfy  与 xy 2 2 的 图象有两个交点，所以函数 )(xg 有 2 个零点． 【点评】函数 )(xfy  的零点就是方程 0)( xf 的根，就是函数 )(xfy  的图象与 x 轴交点的横坐标； 若函数形如 )()( xgxfy  的形式，则函数的零点为函数 )(xfy  与 )(xgy  两个图象交点的横坐标， 函数零点的个数就是两图象的交点的个数．因此问题就转化为研究函数图象问题． 考向 6 函数的单调性与方程 【例 12】【2017 北京丰台一模】已知函数 ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命 题的编号） ① 是奇函数； ② 在 上是单调递增函数； ③方程 有且仅有 1 个实数根； ④如果对任意 ，都有 ，那么 的最大值为 2． 【答案】①②④ ，则方程 有一根 之间， 所以是错误的；对 于④中，如果对于任意 ，都有 ，即 恒成立，令 ， 且 ， 若 恒 成 立 ， 则 必 有 恒 成 立 ， 若 ， 即 恒成立，而 ，若有 ，所以是正确的，综上可得①②④正确． 【例 13】【2017 河北保定二模】已知定义在 上的函数 的导函数 是连续不断的，若方程 无解，且 ， ，设 ， ， ，则 的 大小关系是__________． 【答案】 【跟踪练习】 【2016 高考山东理数】已知函数      mxmmxx mxxxf ,42 ,)( 2 其中 0m ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________． 【答案】 ),3(  【解析】 试题分析： 画出函数图象如下图所示： 由图所示，要 bxf )( 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即 03,42 22  mmmmmmm ，解得 3m 【点评】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答本题，关键在 于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结 合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等． 考向 7 利用函数的单调性求参数范围 【例 14】【2018 豫南九校第二次质量检测】已知函数 在区间 上是减函数， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【例 15】【2017 湖北浠水模拟】若   cos2 cos 2f x x a x      在区间 ,6 2       上是增函数，则实数 a 的 取值范围为（ ） A． 2,  B． 2,  C． , 4  D． , 4  【答案】D 【 解 析 】 ∵   2cos2 cos 1 2sin sin2f x x a x x a x         22 2 2 22 sin sin 1 2 sin 12 16 16 4 8 a a a a ax x x              （ ） ， 令 sint x ，则 2 2 2 14 8 a af x g t t         （ ） （ ） ，由于 sint x 在区间 6 2       ， 上是增函数，故 1 12t （ ，），结合  f x 在区间 6 2       ， 上是增函数，可得 2 2 2 14 8 a af x g t t         （ ） （ ） 在 1 12 （ ，）上 单调递增，由于二次函数  g t 的图象的对称轴为 4 ax   ，∴ 14 a  ，∴ 4a   ，故选 D． 点睛：本题主要考查了复合函数的单调性，三角函数的单调性，含有参数的一元二次函数的单调性，属 于中档题；利用二倍角公式及诱导公式首先把函数变形成标准型的二次函数， 进一步利用复合函数的单 调性求出结果． 【例 16】【2017 云南昆明第二次统测】定义“函数  y f x 是 D 上的 a 级类周期函数” 如下: 函数  , Dy f x x  ，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有    af x f x T  恒成立，此时 T 为  f x 的周期．若  y f x 是 1, 上的 a 级类周期函数，且 1T  ，当  1,2x 时，   2 1f x x  ，且  y f x 是 1, 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范 围为（ ） A． 5 ,6    B． 2, C． 5 ,3    D． 10, 【答案】C 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参 数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等 式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂， 性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【例 17】【2017 广西高三上学期教育质量检测】已知定义在 R 上的奇函数  f x 在 0, 上递减，若    3 2 1f x x a f x    对  1,2x  恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A． 3,  B． , 3  C．  3, D．  ,3 【答案】C 【解析】由已知可得  f x 在 R 上是减函数，故原命题等价于 3 2 1,x x a x    ，即 3a x  3 1x  在 1,2 上恒成立，设   3 3 1f x x x    ，令   2' 3 3 0 1f x x x       ，当 1 1x   时  ' 0f x  ，当1 2x  时  ' 0f x  ，因此    max 1 3a f x f   ，故选 C． 【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得  f x 在 R 上是减函数；2．将原命题等价转化为 3a x  3 1x  在 1,2 上恒成立；3．利用导数工具求得  maxf x ，从而求得正解． 【跟踪练习】 1．【2018 江苏扬州模拟】已知函数   2 1 12 1 x xf x x   ，若    1 2f m f m   ，则实数 m 的取值范 围是_____． 【答案】 1 2      ， 【点睛】有关利用函数的奇偶性和单调性解不等式的问题有两类，一是根据函数的奇偶性把所解的不等 式化为两个函数值之间的大小问题，在借助函数的单调性比较两个自变量的大小，求出不等式的解，另 一种是需要构造函数，需要借助导数判断函数的单调性，借助已知函数的奇偶性判断构造函数的奇偶性， 模拟函数图象，再解出不等式．前者要求学生掌握一些常见的函数的奇偶性和单调性，如 2 1 2 1 x xy   ， 1lg 1 xy x   ，  2lg 1y x x   等，后者要求学生掌握一些常见的构造函数的方法，如  y xf x ，  2y x f x ，  f xy x  等． 2．【2017 江西四校联考】已知函数 x x axf 2 2)(  ，其在区间 ]1,0[ 上单调递增，则 a 的取值范围为（ ） A． ]1,0[ B． ]0,1[ C． ]1,1[ D． ]2 1,2 1[ 【答案】C 【解析】令 xt 2 ，则 ]2,1[t ， x x axf 2 2)(  在区间 ]1,0[ 上单调递增，转化为 t attf )( 在 ]2,1[ 上单调递增，又         )(, )(, )( 2 2 tatt a tat at t attf ，当 2ta  时， 01)( 2  t axf 在 ]2,1[ 恒成立，必 有 2ta  ，可求得 11  a ；当 2ta  时， 01)( 2  t atf 在 ]2,1[ 恒成立，必有 2ta  ，与 2ta  矛盾，所以此时 a 不存在．故选 C 3．【2017 河北衡水模拟】定义在 R 上的函数 )(xf 对任意 )(, 2121 xxxx  都有 0)()( 21 21   xx xfxf ，且函 数 )1(  xfy 的图象关于（1，0）成中心对称，若 ts, 满足不等式 )2()2( 22 ttfssf  ，则当 41  s 时， ts st   2 的取值范围是（ ） A． )2 1,3[  B． ]2 1,3[  C． )2 1,5[  D． ]2 1,5[  【答案】D 【点评】认识反应函数单调性的陌生函数符号“ 0)()( 21 21   xx xfxf ”或“ 0))()()(( 2121  xfxfxx ” 很有必要，这对迅速理解题意很有好处． 4．【2017 山东济宁 3 月模拟考】若函数    1 2 , 2,{ log , 2a a x a xf x x x     在 R 上单调递减，则实数 a 的取 值范围是__________． 【答案】 2 ,12      【解析】由题意得，因为函数    1 2 , 2,{ log , 2a a x a xf x x x     在 R 上单调递减，则 1 0 0 1{ 0 1a a a       且   2log 2 1 2 2 2a a a a      ，综合可得实数 a 的取值范围是 2 ,12      ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性的应用， 属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函 数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相 等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全． 考向 8 函数的单调性与实际应用问题 【例 18】【2016 高考江苏卷】（本小题满分 14 分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 1111 DCBAP  ，下部分的形状是 正四棱柱 1111 DCBAABCD  (如图所示)，并要求正四棱柱的高 1PQ 的四倍． （1）若 mPOmAB 2,6 1  则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m，则当 1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） 321 PO (2)设 A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则 0

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